Variabile casuale binomiale: 3 fatti interessanti da sapere

Variabile casuale binomiale e di Poisson e sue proprietà

    La variabile casuale che si occupa del risultato di successo e fallimento dell'esperimento casuale per n ripetizioni era nota come variabile casuale binomiale la definizione della sua funzione di massa di probabilità si occupa solo della probabilità di successo p e della probabilità di fallimento q, la definizione con esempi abbiamo già visto, ora con la comprensione vediamo alcune delle proprietà di tale variabile casuale discreta,

Aspettativa e varianza della variabile casuale binomiale

Aspettativa e varianza della variabile casuale binomiale con n ripetizioni ep come probabilità di successo sono

E [X] = np

e Var (X) = np (1-p)

Consideriamo ora per mostrare a questi due l'aspettativa della variabile casuale di potenza k seguendo la definizione di funzione di massa di probabilità per variabile casuale binomiale come,

dove Y è un'altra variabile casuale binomiale con n-1 prove ep come probabilità di successo, Se prendiamo il valore di k = 1, otterremo

E [X] = np

e se sostituiamo k = 2 otterremo

EX²] = npE [Y + 1]

= np [(n-1) p + 1]

quindi ci arriveremo facilmente

Var (X) = E [X²] - (E [X])²

= np [(n-1) p + 1] - (np)²

= np (1-p)

Esempio: Per una moneta imparziale fai l'esperimento di lanciare 100 volte e per il numero di code che appaiono in questo caso trova la media, la varianza e la deviazione standard di tale esperimento.

La coda per un lancio ha la probabilità di successo p = 1/2 = 0.5

quindi la media di tale esperimento è

E [X] = np

poiché l'esperimento è binomiale in quanto solo il successo o il fallimento lo otterremo per n numero di ripetizioni

quindi μ=np

μ = 100x (0.5) = 50

Allo stesso modo saranno la varianza e la deviazione standard

Var (X) = np (1-p)

σ²= np(1-p)

Il valore sarebbe

σ² = (100) (0.5) (0.5) = 25

Esempio:     Trova la media e la deviazione standard per la probabilità di 0.1 difettosità nell'azienda produttrice di bulloni dal lotto di 400 bulloni.

qui n=400, p=0.1, media= np =400×0.1=40

da

σ²= np(1-p)

quindi la deviazione standard sarà

Esempio: Trovare il probabilità di esattamente, minore e almeno 2 successi se la media e la deviazione standard per la variabile casuale binomiale sono rispettivamente 4 e 2.

Poiché media = np = 4

e varianza = np(1-p) = 2,

quindi 4(1-p)=2

(1-p) = 1/2

p = 1- (1/2)

mettendo questo valore nel mezzo che otteniamo

np = 4

n (1/2) = 4

n = 8

probabilità di esattamente 2 successi sarà

probabilità di meno di 2 successi sarà

p (X <2)

= P (0) + P (1) = ⁸C₀ p⁰q⁸ + ⁸C₁ p¹q⁷

= (1/256) +8 x (1/2) x (1/2)⁷ = 9 / 256

Probabilità di almeno 2 successi

p (X> 2) = 1- p (X <2)

= 1-P (0) - P (1) = 1- [P (0) + P (1)] = 1- (9/256) = 247/256

Variabile casuale di Poisson

    La variabile casuale discreta X che assume i valori 0,1,2 …… .. è nota come variabile casuale di Poisson fornita per ogni λ> 0 la sua funzione di massa di probabilità deve essere

or

as

Quando n è molto grande e la probabilità di successo p è molto piccola in tal caso la variabile casuale di Poisson con la sua funzione di massa di probabilità è diventata l'approssimazione della variata casuale binomiale con il rispettivo pmf perché l'aspettativa in questo caso che è np sarà moderata e ciò sarebbe essere λ = np .

Esempio: Trova la probabilità che ci sia almeno un errore di battitura su ogni pagina del libro che ha distribuzione di Poisson con media 1/2 per una singola pagina.

Lascia che la variabile casuale discreta X denoti gli errori nella pagina. quindi la variabile casuale di Poisson ha la funzione di massa di probabilità come

l = 1/2

Esempio: Trova la probabilità che il campione di 10 articoli prodotti da una macchina con 0.1 possibilità di produzione difettosa abbia al massimo un articolo difettoso.

Questo possiamo risolvere sia con la funzione di massa di probabilità binomiale che con la funzione di massa di probabilità di Poisson, quindi risolviamo questo con Poisson

Aspettativa e varianza della variabile aleatoria di Poisson

Aspettativa e varianza della variabile casuale di Poisson con n ripetizioni ep come probabilità di successo sono

E [X] = np = λ

ed          

Var (X) = np = λ

Prima di mostrare il risultato dobbiamo tenere presente che la variabile casuale di Poisson non è altro che l'approssimazione della variabile casuale binomiale quindi np= λ ora l'aspettativa utilizzando la funzione massa di probabilità sarà

Ciò significa che il valore matematico atteso della variabile casuale di Poisson è uguale al suo parametro, analogamente per calcolare la varianza e la deviazione standard della variabile casuale di Poisson è necessaria l'aspettativa del quadrato di X quindi,

La somma di cui sopra è ovvia poiché due delle somme sono l'aspettativa e la somma delle probabilità.

Quindi il valore della varianza che otterremo è

Var (X) = E [X²] - (E [X])²

= λ

quindi nel caso della variabile casuale di Poisson la media e la varianza hanno lo stesso valore cioè np come parametro.

I Variabile casuale di Poisson è l'approssimazione utile per la ricerca di diversi processi, ad esempio la ricerca del numero di terremoti entro un determinato periodo di tempo, la ricerca del numero di elettroni durante un tempo fisso dal catodo riscaldato, la ricerca del possibile numero di morti durante il tempo specificato o il numero di guerre entro un anno specifico ecc

Esempio : Calcola la probabilità che il numero totale di passeggeri in due giorni sia inferiore a 2. Se il numero di arrivi di passeggeri con media 5 segue la variabile casuale di Poisson. media = np = 5

Se consideriamo il numero di passeggeri in due giorni inferiore a 2 lo sarebbe

quindi la probabilità sarà il combinazione di questi due giorni come

=e ^{all'10 ottobre}[1+5+5]

=11e ^{all'10 ottobre}

= 114.5410^-5

= 4.994 * 10^-4

Esempio: Calcola la probabilità di 4 o più condensatori difettosi da un pacco di 100 condensatori a condizione che il difetto di fabbricazione dei condensatori sia dell'1%.

Qui p=1% =0.01 e n= 100 * 0.01 =1

quindi possiamo usare la funzione di massa di probabilità delle variabili casuali di Poisson PMF

media = np = 100 * 0.01 = 1

quindi la probabilità di 4 o più condensatori difettosi sarà

=1-[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)]

Esempio: se ci sono 0.002 possibilità che un prodotto sia difettoso dalla produzione, per una confezione contenente 10 di tali prodotti, quale sarebbe la probabilità che un tale pacchetto non abbia prodotti difettosi, uno difettoso e due difettosi dalla spedizione di 50000 pacchetti dello stesso prodotto.

Qui per un singolo pacchetto probabilità di difetto cioè p=0.002, n=10

quindi la media np=0.002*10= 0.020

troveremo per ogni caso come

Quindi dalla tabella è chiaro che il numero di blade difettosi nei pacchetti zero, uno e due sarà rispettivamente 4900,980,10.

Conclusione:

   In questo articolo abbiamo discusso alcune proprietà di uno dei Variabile casuale binomiale, Variabile casuale di Poisson ed esperimento casuale. Anche un'altra variabile casuale discreta, ovvero la variabile casuale di Poisson, discussa con le proprietà. Anche la distribuzione per la funzione di massa di probabilità, aspettativa, varianza e deviazione standard è stata presa per una migliore comprensione. Pagina di matematica.

Schemi di probabilità e statistica di Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

DOTT. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Sono il DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ho completato il mio dottorato di ricerca. in Matematica e lavorando come professore assistente in Matematica. Avere 12 anni di esperienza nell'insegnamento. Avere vaste conoscenze in Matematica Pura, precisamente in Algebra. Avere l'immensa capacità di progettare e risolvere problemi. Capace di motivare i candidati a migliorare le loro prestazioni.
Adoro contribuire a Lambdageeks per rendere la matematica semplice, interessante e autoesplicativa sia per i principianti che per gli esperti.