Contenuto: trave a sbalzo
- Definizione di trave a sbalzo
- Schema corpo libero trave a sbalzo
- Condizioni limite della trave a sbalzo
- Determinare il taglio interno e il momento flettente nella trave a sbalzo in funzione di x
- Determinazione della forza di taglio e del momento flettente agenti a una distanza di 2 m dall'estremità libera su una trave a sbalzo con carico uniformemente distribuito (UDL)
- L'equazione della curva di deflessione per una trave a sbalzo con carico distribuito uniformemente
- Trave a sbalzo Rigidità e vibrazione
- Flessione della trave a sbalzo dovuta al puro momento flettente che induce la sollecitazione di flessione
- Trovare la sollecitazione di flessione a sbalzo indotta a causa del carico distribuito uniformemente (UDL)
- Domanda e risposta sulla trave a sbalzo
Definizione di trave a sbalzo
https://en.wikipedia.org/wiki/Cantilever
Una trave a sbalzo è una trave la cui estremità è fissa e l'altra estremità è libera. Il supporto fisso impedisce lo spostamento e il movimento rotatorio della trave a quella estremità. La trave a sbalzo consente la caratteristica a sbalzo senza alcun supporto aggiuntivo. Quando il carico viene applicato all'estremità libera della trave, il cantilever trasmette quel carico al supporto dove applica la forza di taglio [V] e il Momento flettente [BM] all'estremità fissa.
Schema corpo libero trave a sbalzo
Si consideri una trave a sbalzo con carico puntuale che agisce sull'estremità libera della trave.
Di seguito è riportato il diagramma a corpo libero per la trave a sbalzo:
Condizioni al contorno della trave a sbalzo
Le forze di reazione e il momento in A possono essere calcolati applicando condizioni di equilibrio di
\\somma F_y=0, \\somma F_x=0 ,\\somma M_A=0
Per l'equilibrio orizzontale
\\somma F_x=0
R_ {HA} = 0Per l'equilibrio verticale
\\somma F_y=0
\\\\R_{VA}-W=0
\\\\R_{VA}=WPrendendo il momento su A, il momento in senso orario positivo e il momento in senso antiorario viene considerato negativo
WL-M_A = 0
M_A = WL
Determinare il taglio interno e il momento flettente nella trave a sbalzo in funzione di x
Considera la trave a sbalzo con carico uniformemente distribuito mostrato nella figura sotto.
Il carico risultante che agisce sulla trave dovuta a UDL può essere dato da
W = Area di un rettangolo
L = L * l
W = wL
Equivalent Point Load wL agirà al centro della trave. cioè a L / 2
Il diagramma a corpo libero del raggio diventa
Il valore della reazione in A può essere calcolato applicando le condizioni di equilibrio
\\somma F_y=0, \\somma F_x=0 ,\\somma M_A=0
Per l'equilibrio orizzontale
\\somma F_x=0
\\\\R_{HA}=0Per l'equilibrio verticale
\\somma F_y=0
\\\\R_{VA}-wL=0
\\\\R_{VA}=wLPrendendo il momento su A, il momento in senso orario positivo e il momento in senso antiorario viene considerato negativo
wL*\\frac{L}{2}-M_A=0 \\\\M_A=\\frac{wL^2}{2}Sia XX la sezione di interesse a una distanza di x da un'estremità libera
Secondo la convenzione del segno discussa in precedenza, se iniziamo a calcolare la forza di taglio da Lato sinistro o estremità sinistra della trave, Forza che agisce verso l'alto è preso come Positivo, ed Forza che agisce verso il basso è preso come Negativo.
La forza di taglio in A è
S.F_A = R_ {VA} = wLnella regione XX è
S.F_x=R_{VA}-w[Lx] \\\\S.F_x=wL-wL+wx=wxLa forza di taglio in B è
SF=R_{VA}-wL \\\\S.F_B=wL-wL=0I valori della forza di taglio in A e B indicano che la forza di taglio varia linearmente dall'estremità fissa all'estremità libera.
Per la BMD, se iniziamo a calcolare il momento flettente da Lato sinistro o estremità sinistra della trave, Momento in senso orario è preso come Positivo ed Momento antiorario è preso come Negativo.
BM in A
B.M_A=M_A=\\frac{wL^2}{2}BM presso X
B.M_x=M_A-w[Lx] \\\\B.M_x=\\frac{wL^2}{2}-\\frac{w(Lx)^2}{2}
\\\\B.M_x=wx(L-\\frac{x}{2})BM in B
B.M_B=M_A-\\frac{wL^2}{2}
\\\\B.M_B=\\frac{wL^2}{2}-\\frac{wL^2}{2}=0
Determinazione della forza di taglio e del momento flettente agenti a una distanza di 2 m dall'estremità libera su una trave a sbalzo con carico uniformemente distribuito (UDL)
Si consideri la trave a sbalzo con carico uniformemente distribuito mostrato nella figura sotto. w = solo 20 N / m. L = 10 m, x = 2 m
Il carico risultante che agisce sulla trave dovuta a UDL può essere dato da
W = Area di un rettangolo
W = 20 * 10
W = 200 N
Equivalent Point Load wL agirà al centro della trave. cioè a L / 2
Il diagramma a corpo libero del raggio diventa,
Il valore della reazione in A può essere calcolato applicando le condizioni di equilibrio
\\somma F_y=0, \\somma F_x=0 ,\\somma M_A=0
Per l'equilibrio orizzontale
\\somma F_x=0
\\\\R_{HA}=0Per l'equilibrio verticale
\\somma F_y=0
\\\\R_{VA}-wL=0
\\\\R_{VA}=200NPrendendo il momento su A, il momento in senso orario positivo e il momento in senso antiorario viene considerato negativo
200*\\frac{10}{2}-M_A=0
\\\\M_A=1000 \\;N-mSia XX la sezione di interesse a una distanza di x da un'estremità libera
Secondo la convenzione del segno discussa in precedenza, se iniziamo a calcolare la forza di taglio da Lato sinistro o estremità sinistra della trave, Forza che agisce verso l'alto è preso come Positivo, ed Forza che agisce verso il basso è preso come Negativo.
La forza di taglio in A è
S.F_A=R_{VA}=wL \\\\S.F_A=200 Nnella regione XX è
S.F_x=R_{VA}-w[Lx] \\\\S.F_x=wL-wL+wx=wxper x = 2 m
\\\\S.F_x=wx=20*2=40\\;N
La forza di taglio in B è
SF=R_{VA}-wL \\\\S.F_B=wL-wL=0I valori della forza di taglio in A e B indicano che la forza di taglio varia linearmente dall'estremità fissa all'estremità libera.
Per la BMD, se iniziamo a calcolare il momento flettente da Lato sinistro o estremità sinistra della trave, Momento in senso orario è preso come Positivo ed Momento antiorario è preso come Negativo.
BM in A
B.M_A = M_A
B.M_A=1000\\;Nm
BM presso X
B.M_x = M_A-w [Lx]
\\\\B.M_x=\\frac{wL^2}{2}-\\frac{w(L-x)^2}{2}=wx[L-\\frac{x}{2}]\\\\B.M_x=20*2*[10-\\frac{2}{2}]=360\\;N.mBM in B
B.M_B=M_A-\\frac{wL^2}{2}=1000-\\frac{20*10^2}{2}=0
L'equazione della curva di deflessione per una trave a sbalzo con carico distribuito uniformemente
Si consideri la trave a sbalzo di lunghezza L mostrata nella figura sotto con carico uniformemente distribuito. Deriveremo l'equazione per la pendenza e deviazione per questa trave utilizzando il metodo di doppia integrazione.
Il momento flettente agente alla distanza x dall'estremità sinistra può essere ottenuto come:
M=-wx* \\frac{x}{2}Utilizzando l'equazione differenziale della curva,
\\frac{d^2y}{dx^2}=M = \\frac{-wx^2}{2}Integrando una volta ottenuto,
EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+C_1………..[1]Integrando l'equazione [1] otteniamo,
EIy= \\frac{-wx^4}{24}+C_1 x+C_2……..[2]Le costanti delle integrazioni possono essere ottenute utilizzando le condizioni al contorno,
In x = L, dy / dx = 0; poiché il supporto in A resiste ai movimenti. Quindi, dall'equazione [1], otteniamo,
C_1=\\frac{wL^3}{6}In x = L, y = 0, nessuna deviazione al supporto o estremità fissa A Quindi, dall'equazione [2], otteniamo,
0= \\frac{-wL^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} *L+C_2C_2= \\frac{-wL^4}{8}Sostituendo il valore della costante in [1] e [2] otteniamo nuovi insiemi di equazioni come
EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}………..[3]EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}……..[4]Valutare la pendenza ax = 12 me la deflessione massima dai dati forniti: io = 722 cm4 , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm
Dalle equazioni precedenti: in x = 12 m,
EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-20*12^3}{6}+\\frac{20*20^3}{6}\\frac{dy}{dx}=0.01378 \\;radiantiDall'equazione [4]
EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}210*10^9*722*10^{-8}*y= \\frac{-20*12^4}{24}+\\frac{20*20^3}{6} -\\frac{20*20^4}{8}y=-0.064 \\;m
Trave a sbalzo Rigidità e vibrazione
La rigidità può essere definita come la resistenza alla flessione flettente o alla deformazione al momento flettente. Il rapporto tra il carico massimo applicato e la deflessione massima di una trave può essere chiamato rigidità della trave.
Per una trave a sbalzo con una forza W all'estremità libera, la deflessione massima è data da
δ=\\frac{WL^3}{3EI}Dove W = carico applicato, L = lunghezza della trave, E = modulo di young, I = secondo momento d'inerzia
La rigidità è data da,
k=W/δ \\\\k=W/\\frac{WL^3}{3EI}
\\\\k=\\frac{3EI}{L^3} La frequenza naturale può essere definita come la frequenza alla quale un sistema tende a vibrare in assenza di qualsiasi forza motrice o resistente.
ω_n=\\quadrato{k/m}
\\\\ω_n=\\sqrt{\\frac{3EI}{L^3m} }
Dove m = massa della trave.
Flessione della trave a sbalzo dovuta al momento flettente puro che induce sollecitazione di flessione
Quando un membro è sottoposto a coppie uguali e opposte nel piano del membro, è definito come flessione pura. In pura flessione, la forza di taglio che agisce sulla trave è zero.
Presupposti: il materiale è omogeneo
La legge di Hook è applicabile
Il membro è prismatico
Una coppia viene applicata nel piano del membro
Nessuna deformazione della sezione trasversale della trave avviene dopo la flessione
Il profilo di deformazione deve essere lineare dall'asse neutro
La distribuzione delle sollecitazioni è lineare dall'asse neutro alle fibre superiori e inferiori della trave.
L'equazione di Eulero-Bernoulli per il momento flettente è data da
\\frac{M}{I}=\\frac{\\sigma_b}{y}=\\frac{E}{R}M = Momento flettente applicato sulla sezione trasversale della trave.
I = Secondo momento d'inerzia dell'area
σ = Sollecitazione di flessione indotta nell'asta
y = Distanza verticale tra l'asse neutro della trave e la fibra o l'elemento desiderato in mm
E = Modulo di Young in MPa
R = Raggio di curvatura in mm
Sollecitazione a flessione per trave a sbalzo con diametro d, e il carico applicato W può essere dato come,
Lo sforzo di flessione agirà sul supporto fisso della trave
Il momento applicato M = WL
Secondo momento d'inerzia dell'area
I=\\frac{\\pi}{64}d^4La distanza verticale tra l'asse neutro della trave e la fibra o l'elemento desiderato
y = d / 2
Lo stress di flessione è indicato come
σ=\\frac{Mio}{I}
\\\\σ=\\frac{32WL}{\\pi d^3}Trovare lo sforzo di flessione che agisce sulla trave a sbalzo con carico distribuito uniformemente (UDL)
Si consideri una trave a sbalzo con carico uniformemente distribuito mostrato nella figura seguente io = 722 cm4 , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm
Le forze di reazione e il momento in A possono essere calcolati applicando condizioni di equilibrio di
\\somma F_y=0, \\somma F_x=0 ,\\somma M_A=0
Per l'equilibrio orizzontale
\\somma F_x=0
\\\\R_{HA}=0Per l'equilibrio verticale
\\somma F_y=0
\\\\R_{VA}-wL=0
\\\\R_{VA}=200NPrendendo il momento su A, il momento in senso orario positivo e il momento in senso antiorario viene considerato negativo
200*\\frac{10}{2}-M_A=0
\\\\M_A=1000 \\;N-mSollecitazione di flessione
σ=\\frac{Mio}{I}
σ=\\frac{1000*50*10^{-3}}{2*722*10^{-8}}
σ=3.238\\;MPa
Domanda e risposta sulla trave a sbalzo
Q.1 Qual è il rapporto tra il carico massimo applicato e la deflessione massima di una trave chiamata?
Risposta: La rigidità può essere definita come la resistenza alla flessione flettente o alla deformazione al momento flettente. Il rapporto tra il carico massimo applicato e la flessione massima di una trave può essere chiamato rigidità della trave.
Q.2 Definisci una trave a sbalzo?
Risposta: Una trave a sbalzo è una trave la cui estremità è fissa e l'altra è libera. Il supporto fisso impedisce lo spostamento e il movimento rotatorio della trave a quella estremità. La trave a sbalzo consente la caratteristica a sbalzo senza alcun supporto aggiuntivo. Quando il carico viene applicato all'estremità libera della trave, il cantilever trasmette quel carico al supporto dove applica la forza di taglio [V] e il Momento flettente [BM] verso l'estremità fissa.
Q.3 Una trave a sbalzo è soggetta a un carico distribuito uniformemente su tutta la lunghezza della trave, quale sarà la forma del diagramma forza di taglio e momento flettente?
Risposta: Per una trave a sbalzo soggetta a carico uniformemente distribuito sulla lunghezza della trave, la forma del diagramma della forza di taglio sarà una curva lineare e Diagramma del momento flettente sarà una curva parabolica.
Q.4 Un cantilever è soggetto a un carico variabile uniformemente sulla lunghezza della trave a partire da zero da un'estremità libera, quale sarà la forma del diagramma forza di taglio e momento flettente?
Risposta: Per una trave a sbalzo soggetta a carico uniformemente variabile per tutta la lunghezza della trave, la forma del diagramma della forza di taglio sarà la curva parabolica e il diagramma del momento flettente sarà una curva cubica o di terzo grado.
Q.5 Dove agiscono la tensione e la compressione nella flessione delle travi a sbalzo?
Ans: Per una trave a sbalzo di una data campata, la sollecitazione flessionale massima sarà all'estremità fissa della trave. Per il carico netto verso il basso, la massima sollecitazione di flessione a trazione viene applicata sulla parte superiore della sezione trasversale e max sollecitazione di compressione agisce sulla fibra inferiore della trave.
Q.6 Un cantilever è soggetto al Momento (M) per tutta la lunghezza della trave, quale sarà la forza di taglio e il momento flettente?
Risposta: Per una trave a sbalzo soggetta a momento M sulla lunghezza della trave, la forza di taglio sarà zero, poiché nessuna forza flettente esterna agirà sulla trave e il momento flettente rimarrà costante per l'intera lunghezza della trave.
Per conoscere la forza del materiale (clicca qui)e diagramma del momento flettente CLICCA QUI
Sono Hakimuddin Bawangaonwala, un ingegnere di progettazione meccanica con esperienza in progettazione e sviluppo meccanico. Ho completato M. Tech in Ingegneria della progettazione e ho 2.5 anni di esperienza di ricerca. Fino ad ora pubblicati Due articoli di ricerca sulla tornitura di metalli duri e sull'analisi degli elementi finiti delle attrezzature per il trattamento termico. La mia area di interesse è la progettazione di macchine, la resistenza dei materiali, il trasferimento di calore, l'ingegneria termica, ecc. Competente nei software CATIA e ANSYS per CAD e CAE. Altro che Ricerca.