Caratteristiche dei grafici delle funzioni: 5 fatti importanti

Caratteristiche dei grafici delle funzioni

Caratteristiche dei grafici delle funzioni, questo articolo discuterà il concetto di presentazione grafica delle funzioni oltre al valore di una variabile presente in una funzione. In modo che i lettori possano facilmente comprendere la metodologia.

Quale grafico rappresenta le funzioni f (X) = | x-2 | - 1?

Uno sguardo all'espressione sul lato destro ci fa chiedere, cosa sono quelle due barre intorno a -2? Ebbene, quelle barre sono la notazione per una funzione molto speciale in matematica, nota come funzione modulo o funzione valore assoluto. Questa funzione è così importante in teoria delle funzioni che vale qualche parola sulla sua origine.

Diciamo che dobbiamo decidere il tempo necessario per andare da una città all'altra. In questo caso, non ci interesserà solo la distanza tra le due città? La direzione avrà importanza? Allo stesso modo, nello studio del calcolo, ci viene spesso richiesto di analizzare la vicinanza di due numeri, che è il valore assoluto della loro differenza. Non ci interessa se la differenza è positiva o negativa. Matematico tedesco Karl Weierstrass fu colui che si rese conto della necessità di una funzione che esprimesse il valore assoluto di un numero. Nell'anno 1841, Weierstrass definì la funzione Modulo e utilizzò le due barre come simbolo. 

f (x) = x per ogni x> 0

= -x per tutti gli x <0

= 0 per x = 0

Abbreviato come f (x) = | x |

Dalla definizione è chiaro che questa funzione non ha alcun effetto su un numero positivo. Tuttavia, cambia un numero negativo in un numero positivo avente lo stesso valore assoluto. Quindi

| 5 | = 5

 7-2 5 =

| -5 | = 5

| 2-7 | = 5

Per disegnare il grafico di | x |, dovremmo iniziare con il grafico di f (x) = x che è semplicemente una linea retta attraverso l'origine, inclinata di 45 gradi rispetto al lato positivo dell'asse X

Si può dire che la metà superiore di questo grafico sarà mantenuta da f (x) = | x | poiché questa funzione non cambia i numeri positivi. La metà inferiore del grafico, tuttavia, deve cambiare lato, perché | x | deve essere sempre positivo. Quindi, tutti i punti nella metà inferiore di f (x) = x verranno ora sostituiti nella metà superiore, mantenendo la stessa distanza dall'asse X. In altre parole, l'intero METÀ SINISTRA DI f (x) = | x | È IN REALTÀ LA RIFLESSIONE DELLA METÀ INFERIORE DI f (x) = x attorno all'asse X.

Nella figura sopra, la metà destra mostra i grafici di | x | ex sovrapposto, mentre la metà sinistra mostra uno come riflesso di un altro. È essenziale notare che questa tecnica può essere estesa a qualsiasi funzione. In altre parole, è facile immaginare il grafico di | f (x) | se conosciamo già il grafico di f (x). La chiave è sostituire la metà inferiore con il suo riflesso sull'asse X.

Ora sappiamo come tracciare |x|. Ma il nostro problema originale richiede la trama di |x-2|. Bene, questo non è altro che un spostamento di origine da (0,0) a (2,0) in quanto diminuisce semplicemente la lettura X di tutti i punti di 2 unità, trasformando così f(x) in f(x-2).

Ora il -1 è l'unica cosa rimasta di cui occuparsi. Significa sottrarre 1 da tutti i punti su | x-2 |. In altre parole, significa tirare il grafico verticalmente verso il basso di 1 unità. Quindi, il nuovo vertice sarebbe (2, -1) invece di (2,0)

Quale grafico rappresenta le funzioni f (X) = - | x-2 | - 1?

Bene, dovrebbe essere abbastanza facile dopo l'analisi che abbiamo appena fatto. L'unica differenza qui è un segno meno prima di |x-2|. Il segno meno inverte semplicemente il grafico di |x-2| rispetto all'asse X. Quindi, possiamo riavviare il precedente problema subito dopo il punto dove avevamo il grafico di |x-2|. Ma, questa volta prima di considerare il -1, invertiamo il grafico.

Dopodiché, lo trascineremo verso il basso di un'unità per incorporare -1. Ed è fatto.

Il grafico di una funzione deve essere lineare se ha quale caratteristica?

Cos'è una linea retta? Normalmente è definita come la distanza minima tra due punti su una superficie piana. Ma può anche essere definito da un'altra angolazione. Poiché il piano XY è un insieme di punti, possiamo considerare qualsiasi linea su questo piano come il luogo o la traccia di un punto in movimento o un punto le cui coordinate X, Y stanno cambiando.

Muoversi lungo una linea retta implica che il movimento avvenga senza un cambio di direzione. In altre parole, se un punto inizia a muoversi da un dato punto e si muove solo in una data direzione, si dice che stia seguendo una linea retta. Quindi, se vogliamo esprimere il grafico lineare come una funzione, dobbiamo trovare un'equazione per la condizione di direzione costante.

Ma come esprimere la direzione matematicamente? Bene, poiché abbiamo già due assi di riferimento nel piano XY, la direzione di una linea può essere espressa dall'angolo che fa con uno qualsiasi dei due assi. Quindi, supponiamo che una linea retta sia inclinata di un angolo α. Ma ciò significherebbe una famiglia di linee parallele e non solo una. Quindi, α non può essere l'unico parametro di una linea.

Notare che le linee differiscono solo per l'intercetta Y. L'intercetta Y è la distanza dall'origine del punto in cui la linea incontra l'asse Y. Chiamiamo questo parametro, C. Quindi, abbiamo due parametri, α e C. Ora, proviamo a derivare l'equazione della retta.

Dalla figura dovrebbe essere chiaro dal triangolo rettangolo, che per qualsiasi punto (x, y) sulla retta la condizione di governo deve essere                      

(yc) / x = tanα.

y = xtanα + c

⟹y = mx + c dove m = tanα

Quindi, qualsiasi equazione della forma y = ax + b deve rappresentare una linea retta. In altre parole f (x) = ax + b è la forma desiderata di una funzione per essere lineare.

Lo stesso può essere derivato anche dalla definizione convenzionale di una linea retta che afferma che una linea è il percorso più breve tra due punti su una superficie piana. Quindi, siano (x1, y1) e (x2, y2) due punti su una linea retta.

Per qualsiasi altro punto sulla linea, una condizione può essere derivata equiparando le pendenze dei due segmenti di linea formati dai tre punti poiché la linea deve mantenere la sua pendenza in tutti i segmenti. Da qui l'equazione                                 

                                                                   (yy₁) / (xx₁) = (y₂-y₁)/(X₂-x₁)

                                                            ⟹y (x₂-x₁) + x (y₁-y₂) + (x₁y₂-y₁x₂) = 0

Questa equazione ha la forma Ax + By + C = 0 che può essere scritta nella forma, y ​​= ax + b, che conosciamo come la forma di una funzione lineare.

Quale grafico viene utilizzato per mostrare il cambiamento in una variabile fornita quando viene modificata una seconda variabile?

Per disegnare un grafico ideale di una funzione, avremmo bisogno di un'espressione algebrica definita o di un numero infinito di punti dati. Nella vita reale, entrambi non sono disponibili la maggior parte delle volte. I dati che abbiamo sono sparsi. In altre parole, potremmo avere un elenco di (x, y) punti che possono essere tracciati sul grafico, ma i punti potrebbero non essere molto densamente localizzati. Ma dobbiamo collegare comunque questi punti, poiché non c'è altro modo per guardare il modello o l'andamento delle variabili. Un grafico così ottenuto è noto come grafico a linee.

È così chiamato perché i punti vicini sono uniti con linee rette. Questo grafico è più adatto per illustrare una connessione tra due variabili in cui una dipende dall'altra ed entrambe stanno cambiando. I grafici delle serie temporali sono esempi di grafici a linee in cui l'asse X rappresenta il tempo in unità di ore / giorni / mesi / anni e l'asse Y rappresenta la variabile il cui valore cambia nel tempo.

Vendite	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019
Anno	4000	4700	4450	4920	5340	5120	5450	5680	5560	5900

Funzione periodica

Quando la variabile dipendente ripete il suo valore in un periodo o intervallo definito della variabile indipendente, la funzione viene chiamata periodica. L'intervallo è chiamato periodo o periodo fondamentale, a volte anche periodo base o periodo primo. Il criterio affinché una funzione sia periodica è per una costante reale T, f (x + T) = f (x). Il che significa che f (x) ripete il suo valore dopo ogni T unità di x. Possiamo annotare il valore della funzione in qualsiasi punto e troveremo lo stesso valore nelle unità T a destra ea sinistra di quel punto. Questa è la caratteristica di una funzione periodica.

La figura sopra mostra il comportamento periodico di Sinx. Prendiamo due valori casuali di x, come x1 e x2 e tracciamo linee parallele all'asse x da sin (x1) e sin (x2). Notiamo che entrambe le linee incontrano nuovamente il grafico a una distanza di esattamente 2π. Quindi il periodo di Sinx è 2π. Quindi possiamo scrivere sin (x + 2 π) = sinx per ogni x. Anche le altre funzioni trigonometriche sono periodiche. Cosine ha lo stesso periodo di Sin e così anche Cosec e Sec. Tan ha un punto π e così anche Cot.

Quale termine indica il numero di cicli di una funzione periodica che avvengono in un'unità orizzontale?

Un periodo completo è chiamato ciclo. Quindi, c'è esattamente un ciclo in T unità di x. Quindi ci sono cicli 1 / T in una unità di x. Il numero 1 / T è di particolare importanza nello studio delle funzioni periodiche poiché indica la frequenza con cui la funzione ripete i suoi valori. Quindi il termine "frequenza" viene assegnato al numero 1 / T. La frequenza è indicata da "f", che non deve essere confusa con la "f" della funzione. Maggiore è la frequenza, maggiore è il numero di cicli per unità. Frequenza e periodo sono inversamente proporzionali tra loro, correlati come f = 1 / T o T = 1 / f. Per Sin (X), il periodo è 2π, quindi la frequenza sarebbe 1 / 2π.

Consigli d'uso:

1. Calcola il periodo e la frequenza di Sin (3x)

Poiché Sin (x) ha un ciclo in 2π, Sin (3x) avrà 3 cicli in 2π mentre x progredisce 3 volte più velocemente in Sin (3x). Quindi la frequenza sarebbe 3 volte quella di Sin (x), cioè 3 / 2π. Ciò rende il periodo 1 / (3 / 2π) = 2π / 3

2. Calcola il periodo di Sin2x + sin3x

Nota che anche qualsiasi multiplo intero del periodo fondamentale è un punto. In questo problema, ci sono due componenti della funzione. Il primo ha un periodo di π e il secondo 2π / 3. Ma questi due sono diversi, quindi nessuno dei due può essere il periodo della funzione composta. Ma qualunque sia il periodo della composizione, deve essere anche un periodo dei componenti. Quindi, deve essere un multiplo intero comune per entrambi. Ma potrebbero essercene infinitamente molti. Quindi il periodo fondamentale sarebbe il minimo comune multiplo dei periodi dei componenti. In questo problema è Lcm (π, 2π / 3) = 2π 

3. Calcola il periodo di (Sin2x + Sin5x) / (Sin3x + Sin4x)

È banale ma piuttosto interessante osservare che la regola che abbiamo inventato nel problema precedente, si applica effettivamente a qualsiasi composizione di funzioni periodiche. Quindi, in questo caso anche il periodo effettivo sarebbe il LCM dei periodi dei componenti. Questo è LCM (π, 2π / 5,2π / 3, π / 2) = 2π

4. Calcola il periodo di Sinx + sin πx

All'inizio, sembra ovvio che il periodo dovrebbe essere LCM (2π, 2), ma poi ci rendiamo conto che un tale numero non esiste in quanto 2π è irrazionale così sono i suoi multipli e 2 è razionale e lo sono anche i suoi multipli. Quindi, non potrebbe esserci alcun multiplo intero comune a questi due numeri. Quindi, questa funzione non è periodica.

La funzione della parte frazionaria {x} è periodica.

f (x) = {x}

Questa è nota come funzione della parte frazionaria. Lascia la parte intera più grande di un numero reale e esclude solo la parte frazionaria. Quindi, il suo valore è sempre compreso tra 0 e 1 ma mai uguale a 1. Il grafico dovrebbe chiarire che ha un periodo 1.

                                                                           

CONCLUSIONE

Finora abbiamo discusso le caratteristiche dei grafici delle funzioni. Ora dovremmo essere chiari sulle caratteristiche e sui diversi tipi di grafici. Avevamo anche un'idea dell'interpretazione grafica delle funzioni. Il prossimo articolo tratterà molti più dettagli su concetti come intervallo e dominio, funzioni inverse, varie funzioni e relativi grafici e molti problemi risolti. Per approfondire lo studio, sei incoraggiato a leggere di seguito

Calcolo di Michael Spivak.

Algebra di Michael Artin.

Per ulteriori articoli di matematica, per favore clicca qui.