13 Fatti sulla disuguaglianza di Chebyshev e sul teorema del limite centrale

Nella teoria della probabilità il La disuguaglianza di Chebyshev & teorema limite centrale si occupano delle situazioni in cui vogliamo trovare la distribuzione di probabilità della somma di un gran numero di variabili casuali in condizioni approssimativamente normali, Prima di guardare i teoremi limite vediamo alcune delle disuguaglianze, che fornisce i limiti per le probabilità se il si conoscono media e varianza.

La disuguaglianza di Markov

La disuguaglianza di Markov per la variabile casuale X che assume solo valore positivo per a>0 è

per dimostrare questo per a>0 considerare

Dal

ora prendendo le aspettative di questa disuguaglianza otteniamo

il motivo è

che dà la disuguaglianza di Markov per a>0 come

La disuguaglianza di Chebyshev

 Per il finito media e varianza della variabile casuale X la disuguaglianza di Chebyshev per k>0 è

dove sigma e mu rappresentano la varianza e la media della variabile casuale, per dimostrarlo usiamo il La disuguaglianza di Markov come variabile casuale non negativa negative

per il valore di a come quadrato costante, quindi

questa equazione è equivalente a

come chiaramente

Esempi di disuguaglianze di Markov e Chebyshev:

1. Se la produzione di un determinato articolo viene presa come variabile casuale per la settimana con media 50 , trova la probabilità di produzione superiore a 75 in una settimana e quale sarebbe la probabilità se la produzione di una settimana è compresa tra 40 e 60 fornita la varianza per quella la settimana è 25?

Soluzione: Consideriamo la variabile casuale X per la produzione dell'articolo per una settimana quindi per trovare la probabilità di produzione superiore a 75 useremo La disuguaglianza di Markov as

Ora useremo la probabilità per la produzione tra 40 e 60 con varianza 25 La disuguaglianza di Chebyshev as

so

questo mostra che la probabilità per la settimana se la produzione è compresa tra 40 e 60 è 3/4.

2. Mostra che il la disuguaglianza di Chebyshev che fornisce un limite superiore alla probabilità non è particolarmente vicino al valore effettivo della probabilità.

Soluzione:

Si consideri che la variabile casuale X è distribuita uniformemente con media 5 e varianza 25/3 sull'intervallo (0,1) quindi per la disuguaglianza di Chebyshev possiamo scrivere

ma la probabilità effettiva sarà

che è lontano dalla probabilità effettiva allo stesso modo se prendiamo la variabile casuale X come distribuita normalmente con media e varianza allora La disuguaglianza di Chebyshev sarà

ma la probabilità effettiva è

Legge debole dei grandi numeri

La legge debole per la successione delle variabili casuali sarà seguita dal risultato che La disuguaglianza di Chebyshev può essere utilizzato come strumento per le prove, ad esempio per dimostrare

se la varianza è zero cioè le uniche variabili casuali con varianze uguali a 0 sono quelle che sono costanti con probabilità 1 quindi per La disuguaglianza di Chebyshev per n maggiore o uguale a 1

as

per la continuità della probabilità

che prova il risultato.

per dimostrarlo assumiamo che anche la varianza sia finita per ogni variabile casuale nella sequenza, quindi l'aspettativa e la varianza

ora dal La disuguaglianza di Chebyshev il limite superiore della probabilità come

che per n tendente all'infinito sarà

Teorema del limite centrale

La rotta teorema del limite centrale è uno dei risultati importanti nella teoria della probabilità in quanto dà la distribuzione alla somma di grandi numeri che è approssimativamente normale distribuzione oltre al metodo per trovare le probabilità approssimate per somme di variabili casuali indipendenti il ​​teorema del limite centrale mostra anche le frequenze empiriche di tante popolazioni naturali mostrano curve normali a campana, Prima di dare la spiegazione dettagliata di questo teorema usiamo il risultato

“Se la sequenza di variabili casuali Z₁,Z₂,…. hanno la funzione di distribuzione e la funzione di generazione dei momenti come F_Zn e M_zn poi

Teorema del limite centrale: Per la sequenza di variabili casuali identicamente distribuite e indipendenti X₁,X₂,……. ciascuno dei quali avente la media μ e varianza σ2 quindi la distribuzione della somma

tende alla normale standard poiché n tende all'infinito perché a siano valori reali

Dimostrazione: Per dimostrare il risultato si consideri la media uguale a zero e la varianza uno ie μ=0 & σ²=1 e il funzione generatrice di momenti per X_i esiste e ha un valore finito quindi la funzione generatrice dei momenti per la variabile casuale X_i/√n sarà

e quindi la funzione generatrice dei momenti per la somma X_i/√n sarà

Prendiamo ora L(t)=logM(t)

so

per mostrare la prova che mostriamo per prima

mostrando la sua forma equivalente

da

quindi questo mostra il risultato per lo zero medio e la varianza 1, e questo stesso risultato segue per il caso generale anche prendendo

e per ogni a abbiamo

Esempio del teorema del limite centrale

Per calcolare la distanza in anni luce di una stella dal laboratorio di un astronomo, sta usando alcune tecniche di misurazione ma a causa del cambiamento nell'atmosfera ogni volta che la distanza misurata non è esatta ma con qualche errore così per trovare la distanza esatta che intende per osservare continuamente in sequenza e la media di queste distanze come distanza stimata, se si considerano i valori di misura identicamente distribuiti e variabile aleatoria indipendente con media d e varianza 4 anni luce, trovare il numero di misure da fare per ottenere l'errore 0.5 nel valore stimato ed effettivo?

Soluzione: Consideriamo le misurazioni come variabili casuali indipendenti nella sequenza X₁,X₂,…….X_n così dal Teorema del limite centrale possiamo scrivere

che è l'approssimazione in standard distribuzione normale quindi la probabilità sarà

quindi per ottenere la precisione della misurazione al 95% l'astronomo dovrebbe misurare n* distanze dove distance

quindi dalla normale tabella di distribuzione possiamo scriverlo come

che dice che la misurazione dovrebbe essere eseguita per il numero 62 di volte, questo può essere osservato anche con l'aiuto di La disuguaglianza di Chebyshev prendendo

quindi la disuguaglianza risulta in

quindi per n=16/0.05=320 che dà la certezza che ci sarà solo lo 5 percento di errore nella misurazione della distanza della stella dal laboratorio di osservazione.

2. Il numero di studenti ammessi al corso di ingegneria è Poisson distribuito con media 100, si è deciso che se gli studenti ammessi sono 120 o più l'insegnamento sarà in due sezioni altrimenti in una sola sezione, quale sarà la probabilità che si essere due sezioni per il corso?

Soluzione: Seguendo la distribuzione di Poisson la soluzione esatta sarà

che ovviamente non dà il particolare valore numerico, Se consideriamo la variabile casuale X come gli studenti ammessi allora dal by teorema del limite centrale

quale può essere

che è il valore numerico.

3. Calcolare la probabilità che la somma dei dieci dadi lanciati sia compresa tra 30 e 40 inclusi 30 e 40?

Soluzione: qui considerando il dado come X_i per dieci valori di i. la media e la varianza saranno

così seguendo il teorema del limite centrale possiamo scrivere

che è la probabilità richiesta.

4. Per le variabili casuali indipendenti uniformemente distribuite X_i sull'intervallo (0,1) quale sarà l'approssimazione della probabilità

Soluzione: Dalla distribuzione Unifrom sappiamo che la media e la varianza saranno

Ora usando il teorema del limite centrale noi possiamo

quindi la sommatoria della variabile casuale sarà del 14%.

5. Trovare la probabilità che il valutatore dell'esame dia un voto sarà di 25 esami in partenza 450 min se ci sono 50 esami il cui tempo di valutazione è indipendente con media 20 min e deviazione standard 4 min.

Soluzione: considerare il tempo necessario per valutare l'esame in base alla variabile casuale X_i quindi la variabile casuale X sarà

poiché questo compito per l'esame 25 è entro 450 minuti quindi

qui usando il teorema del limite centrale

che è la probabilità richiesta.

Teorema del limite centrale per variabili casuali indipendenti

Per la sequenza che non è distribuita identicamente ma che ha variabili casuali indipendenti X₁,X₂,……. ciascuno dei quali avente media μ e varianza σ² purché soddisfi

1. ogni X_i è uniformemente limitato
2. la somma delle varianze è infinita, allora

Legge forte dei grandi numeri

La legge forte dei grandi numeri è un concetto cruciale del teoria della probabilità che dice che la media della sequenza di variabili casuali comunemente distribuite con probabilità convergerà alla media di quella stessa distribuzione

dichiarazione: Per la sequenza di identico distribuito e variabili casuali indipendenti X₁,X₂,……. ciascuno dei quali avente la media finita con probabilità uno allora

Dimostrazione: Per dimostrare questo si consideri che la media di ciascuna delle variabili casuali è zero e la serie

ora per questo considera il potere di questo come

dopo aver preso lo sviluppo dei termini di destra si hanno i termini della forma

poiché questi sono indipendenti quindi la media di questi sarà

con l'aiuto della combinazione della coppia l'espansione della serie ora sarà

da

so

otteniamo

questo suggerisce la disuguaglianza

quindi

Per la convergenza della serie poiché la probabilità di ciascuna variabile casuale è uno così

da

se la media di ogni variabile casuale non è uguale a zero allora con deviazione e probabilità uno possiamo scriverla come

or

quale risultato richiesto.

Disuguaglianza di Chebyshev unilaterale

La disuguaglianza di Chebysheve unilaterale per la variabile casuale X con media zero e varianza finita se a>0 è

per dimostrarlo si consideri per b>0 sia la variabile casuale X come

che dà

quindi usando il La disuguaglianza di Markov

che dà la disuguaglianza richiesta. per la media e la varianza possiamo scriverla come

Questo ulteriore può essere scritto come

Esempio:

Trova il limite superiore della probabilità che la produzione dell'azienda distribuita casualmente sia almeno 120, se la produzione di questa determinata azienda ha media 100 e varianza 400.

Soluzione:

Usando un lato disuguaglianza di chebyshev

quindi questo dà la probabilità della produzione entro una settimana almeno 120 è 1/2, ora il limite per questa probabilità sarà ottenuto usando La disuguaglianza di Markov

che mostra il limite superiore della probabilità.

Esempio:

Cento paia sono prese da duecento persone che hanno cento uomini e cento donne trovano il limite superiore della probabilità che al massimo trenta paia siano costituiti da un uomo e una donna.

Soluzione:

Sia la variabile casuale X_i as

quindi la coppia può essere espressa come

Dal momento che ogni uomo può avere la stessa probabilità di essere accoppiato con le persone rimanenti in cui centinaia sono donne, quindi la media

allo stesso modo se i e j non sono uguali allora

as

quindi abbiamo

usando il disuguaglianza di chebyshev

che dice che la possibilità di accoppiare 30 uomini con donne è inferiore a sei, quindi possiamo migliorare il legame usando disuguaglianza di Chebyshev unilaterale

legato a Chernoff

Se la funzione generatrice dei momenti è già nota, allora

as

allo stesso modo possiamo scrivere per t<0 as

Quindi il limite di Chernoff può essere definito come

questa disuguaglianza rappresenta tutti i valori di t positivi o negativi.

Limiti di Chernoff per la variabile casuale normale standard

Il Chernoff si avvicina allo standard normale variabile casuale la cui funzione generatrice di momento

is

quindi minimizzando questa disuguaglianza e i termini di potenza del lato destro si ottiene a>0

e per a<0 è

Limiti di Chernoff per la variabile casuale di Poisson

I limiti di Chernoff per la variabile casuale di Poisson la cui funzione generatrice del momento

is

quindi minimizzando questa disuguaglianza e i termini di potenza del lato destro si ottiene a>0

e sarebbe

Esempio sui limiti di Chernoff

In una partita se un giocatore ha la stessa probabilità di vincere o perdere la partita indipendentemente da qualsiasi punteggio passato, trova il limite di chernoff per la probabilità

Soluzione: Sia X_i denota la vincita del giocatore allora la probabilità sarà

per la sequenza di n ascolti poniamo

quindi la funzione generatrice dei momenti sarà

qui usando le espansioni di termini esponenziali

così abbiamo

ora applicando la proprietà della funzione generatrice di momenti

Questo dà la disuguaglianza

quindi

Conclusione:

Sono state discusse le disuguaglianze e il teorema limite per i grandi numeri e sono stati presi anche gli esempi giustificabili per i limiti delle probabilità per avere un'idea dell'idea, anche l'aiuto della normale, variabile casuale di Poisson e funzione generatrice di momenti è preso per dimostrare il concetto facilmente, se hai bisogno di ulteriori letture, consulta i libri di seguito o per ulteriori articoli sulla probabilità, segui il nostro Pagine di matematica.

Un primo corso di probabilità di Sheldon Ross

Schemi di probabilità e statistica di Schaum

Un'introduzione alla probabilità e alle statistiche di ROHATGI e SALEH