- Contenuti
- Distribuzione condizionale
- Distribuzione condizionale discreta
- Esempio sulla distribuzione condizionale discreta
- Distribuzione condizionale continua
- Esempio sulla distribuzione condizionale continua
- Distribuzione condizionale della distribuzione normale bivariata
- Distribuzione congiunta di probabilità della funzione di variabili aleatorie
- Esempi sulla distribuzione congiunta di probabilità della funzione di variabili aleatorie
Distribuzione condizionale
È molto interessante discutere il caso condizionale di distribuzione quando due variabili casuali seguono la distribuzione soddisfacendone una data l'altra, vediamo prima brevemente la distribuzione condizionale in entrambi i casi di variabili casuali, discrete e continue poi dopo aver studiato alcuni prerequisiti ci concentriamo sulla aspettative condizionali.
Distribuzione condizionale discreta
Con l'aiuto della funzione di massa di probabilità congiunta nella distribuzione congiunta definiamo la distribuzione condizionale per le variabili casuali discrete X e Y usando la probabilità condizionata per X dato Y come distribuzione con la funzione di massa di probabilità
purché la probabilità del denominatore sia maggiore di zero, in modo simile possiamo scrivere come
nella probabilità congiunta se X e Y sono variabili casuali indipendenti, questo si trasformerà in
quindi la distribuzione condizionale discreta o la distribuzione condizionale per le variabili casuali discrete X dato Y è la variabile casuale con la funzione massa di probabilità sopra in modo simile per Y dato X che possiamo definire.
Esempio sulla distribuzione condizionale discreta
- Trovare il funzione di massa di probabilità di una variabile casuale X dato Y=1, se la funzione di massa di probabilità congiunta per le variabili casuali X e Y ha dei valori come
p(0,0)=0.4 , p(0,1)=0.2, p(1,0)= 0.1, p(1,1)=0.3
Ora prima di tutto per il valore Y = 1 abbiamo
quindi utilizzando la definizione di funzione di massa di probabilità
ne ha
ed
- ottenere la distribuzione condizionale di X dato X + Y = n, dove X e Y sono distribuzioni di Poisson con i parametri λ1 e λ2 e X e Y sono variabili casuali indipendenti
Poiché le variabili casuali X e Y sono indipendenti, la distribuzione condizionale avrà funzione di massa di probabilità come
poiché la somma della variabile aleatoria di Poisson è di nuovo così poisson
quindi la distribuzione condizionale con la funzione di massa di probabilità sopra sarà una distribuzione condizionale per tali distribuzioni di Poisson. Il caso precedente può essere generalizzato per più di due variabili casuali.
Distribuzione condizionale continua
La distribuzione condizionale continua della variabile casuale X dato y già definita è la distribuzione continua con la funzione di densità di probabilità
la densità del denominatore è maggiore di zero, che per la funzione di densità continua è
quindi la probabilità per tale funzione di densità condizionale è
Allo stesso modo come in discreto se X e Y sono indipendenti in continuo anche allora
e quindi
quindi possiamo scriverlo come
Esempio sulla distribuzione condizionale continua
- Calcola la funzione di densità condizionale della variabile casuale X dato Y se la funzione di densità di probabilità congiunta con l'intervallo aperto (0,1) è data da
Se per la variabile casuale X dato Y entro (0,1) allora usando la funzione di densità sopra abbiamo
- Calcola la probabilità condizionale
se la funzione di densità di probabilità congiunta è data da
Per trovare prima la probabilità condizionale abbiamo bisogno della funzione di densità condizionale, quindi per definizione sarebbe
ora usando questa funzione di densità nella probabilità il probabilità condizionale is
Distribuzione condizionale della distribuzione normale bivariata
Sappiamo che la distribuzione normale bivariata delle variabili casuali normali X e Y con le rispettive medie e varianze poiché i parametri ha la funzione di densità di probabilità congiunta
quindi per trovare la distribuzione condizionale per una tale distribuzione normale bivariata per X dato Y è definita seguendo la funzione di densità condizionale della variabile casuale continua e la funzione di densità articolare di cui sopra abbiamo
Osservando questo possiamo dire che questo è normalmente distribuito con la media
e varianza
allo stesso modo la funzione di densità condizionale per Y dato X già definito si limiterà a scambiare le posizioni dei parametri di X con Y,
La funzione di densità marginale per X possiamo ottenere dalla funzione di densità condizionale di cui sopra utilizzando il valore della costante
sostituiamo nell'integrale
la funzione di densità sarà ora
poiché il valore totale di
dalla definizione della probabilità quindi la funzione di densità sarà ora
che non è altro che la funzione di densità della variabile casuale X con media e varianza usuali come parametri.
Distribuzione congiunta di probabilità della funzione di variabili aleatorie
Finora conosciamo la distribuzione di probabilità congiunta di due variabili casuali, ora se abbiamo funzioni di tali variabili casuali, quale sarebbe la distribuzione di probabilità congiunta di tali funzioni, come calcolare la funzione di densità e distribuzione perché abbiamo situazioni di vita reale in cui hanno funzioni delle variabili casuali,
Se Y1 e Y2 sono le funzioni delle variabili casuali X1 e X2 rispettivamente che sono congiuntamente continue, allora sarà la funzione di densità continua congiunta di queste due funzioni
where Jacobiano
e Y1 =g1 (X1, X2) e Y2 =g2 (X1, X2) per alcune funzioni g1 e g2 . Qui G1 e g2 soddisfa le condizioni dello Jacobiano come continuo e ha derivate parziali continue.
Ora la probabilità per tali funzioni di variabili casuali sarà
Esempi sulla distribuzione congiunta di probabilità della funzione di variabili aleatorie
- Trova la funzione di densità congiunta delle variabili casuali Y1 =X1 +X2 e Y2=X1 -X2 , dove X1 e X2 sono la funzione congiuntamente continua con densità di probabilità congiunta. discutere anche per la diversa natura della distribuzione.
Qui per prima cosa controlleremo Jacobian
poiché g1(x1, X2) = x1 +x2 e g2(x1, X2) = x1 - X2 so
semplificando Y1 =X1 +X2 e Y2=X1 -X2 , per il valore di X1 = 1/2 (Y1 +Y2 ) e X2 = Y1 -Y2 ,
se queste variabili casuali sono variabili casuali uniformi indipendenti
o se queste variabili casuali sono variabili casuali esponenziali indipendenti con parametri usuali
o se queste variabili casuali sono variabili casuali normali indipendenti, allora
- Se X e Y sono le variabili normali standard indipendenti come indicato
calcolare la distribuzione congiunta per le rispettive coordinate polari.
Convertiremo con la normale conversione X e Y in r e θ come
quindi le derivate parziali di queste funzioni saranno
quindi lo Jacobiano che usa questa funzione è
se entrambe le variabili casuali X e Y sono maggiori di zero allora la funzione di densità congiunta condizionale lo è
ora la conversione della coordinata cartesiana nella coordinata polare usando
quindi la densità di probabilità function perché i valori positivi saranno
per il diverso combinazioni di X e Y le funzioni di densità in modi simili sono
ora dalla media delle suddette densità possiamo affermare la funzione di densità come
e la funzione di densità marginale da questa densità congiunta di coordinate polari nell'intervallo (0, 2π)
- Trova la funzione di densità congiunta per la funzione di variabili casuali
U = X + Y e V = X / (X + Y)
dove X e Y sono i distribuzione gamma rispettivamente con parametri (α + λ) e (β +λ).
Utilizzando la definizione di distribuzione gamma e la funzione di distribuzione congiunta sarà la funzione di densità per le variabili casuali X e Y
considera le funzioni date come
g1 (x, y) = x + y, g2 (x, y) = x / (x + y),
quindi la differenziazione di queste funzioni è
ora lo giacobiano è
dopo aver semplificato le equazioni fornite, le variabili x=uv e y=u(1-v) la funzione di densità di probabilità è
possiamo usare la relazione
- Calcola la funzione di densità di probabilità congiunta per
Y1 =X1 +X2+ X3 , Y2 =X1- X2 , Y3 =X1 - X3
dove le variabili casuali X1 , X2, X3 sono lo standard normali variabili casuali.
Calcoliamo ora lo Jacobiano usando derivate parziali di
Y1 =X1 +X2+ X3 , Y2 =X1- X2 , Y3 =X1 - X3
as
semplificazione per variabili X1 , X2 e X3
X1 = (Y1 + Sì2 + Sì3) / 3, X2 = (Y1 - 2Y2 + Sì3) / 3, X3 = (Y1 + Sì2 -2 Sì3) / 3
possiamo generalizzare la funzione di densità articolare come
così abbiamo
per la variabile normale la funzione di densità di probabilità congiunta è
quindi
dove si trova l'indice
calcolare la funzione di densità congiunta di Y1 …… Yn e funzione di densità marginale per Yn where
e Xi sono variabili casuali esponenziali distribuite in modo identico indipendenti con parametro λ.
per le variabili casuali del modulo
Y1 =X1 , Y2 =X1 + X2 , ……, Sìn =X1 +……+Xn
il giacobiano avrà la forma
e quindi il suo valore è uno, e la funzione di densità congiunta per la variabile casuale esponenziale
e i valori della variabile Xi sarà
quindi la funzione di densità articolare è
Ora per trovare la funzione di densità marginale di Yn integreremo uno per uno come
ed
allo stesso modo
se continuiamo questo processo otterremo
che è la funzione di densità marginale.
Conclusione:
I distribuzione condizionale per la variabile casuale discreta e continua con diversi esempi considerando alcuni dei tipi di queste variabili casuali discussi, dove la variabile casuale indipendente gioca un ruolo importante. Inoltre il giunto distribuzione per la funzione di variabili aleatorie continue congiunte spiegato anche con esempi appropriati, se hai bisogno di ulteriori letture vai ai link sottostanti.
Per ulteriori post sulla matematica, fare riferimento al nostro Pagina di matematica
wikipediahttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org
Un primo corso di probabilità di Sheldon Ross
Schemi di probabilità e statistica di Schaum
Un'introduzione alla probabilità e alle statistiche di ROHATGI e SALEH
Sono il DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ho completato il mio dottorato di ricerca. in Matematica e lavorando come professore assistente in Matematica. Avere 12 anni di esperienza nell'insegnamento. Avere vaste conoscenze in Matematica Pura, precisamente in Algebra. Avere l'immensa capacità di progettare e risolvere problemi. Capace di motivare i candidati a migliorare le loro prestazioni.
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