Aspettativa condizionale: 7 fatti che dovresti sapere


Poiché la variabile casuale dipendente l'una dall'altra richiede il calcolo delle probabilità condizionali di cui abbiamo già discusso, ora discuteremo altri parametri per tali variabili casuali o esperimenti come l'aspettativa condizionale e la varianza condizionale per diversi tipi di variabili casuali.

Aspettativa condizionale

   La definizione di funzione di massa di probabilità condizionata della variabile casuale discreta X data Y è

qui pY(y)>0 , quindi il condizionale aspettativa per la variabile casuale discreta X dato Y quando pY (y)>0 è

nell'aspettativa di cui sopra la probabilità è il condizionale probabilità.

  In modo simile se X e Y sono continui, la funzione di densità di probabilità condizionata della variabile casuale X data Y è

dove f(x,y) è la funzione di densità di probabilità congiunta e per ogni yfY(y)>0 , quindi l'aspettativa condizionata per la variabile casuale X data y sarà

per tutti yfY(y)>0.

   Come sappiamo che tutto il le proprietà della probabilità sono applicabili al condizionale probabilità lo stesso vale per l'aspettativa condizionale, tutte le proprietà dell'aspettativa matematica sono soddisfatte dall'aspettativa condizionale, ad esempio l'aspettativa condizionale della funzione di una variabile casuale sarà

e la somma delle variabili casuali nell'aspettativa condizionata sarà

Aspettativa condizionale per la somma di variabili casuali binomiali

    Per trovare condizionale aspettativa della somma di variabili casuali binomiali X e Y con parametri n e p indipendenti, sappiamo che X+Y sarà anche variabile aleatoria binomiale con i parametri 2n e p, quindi per variabile aleatoria X data X+Y=m l'aspettativa condizionale sarà ottenuta calcolando la probabilità

visto che lo sappiamo

quindi l'aspettativa condizionata di X dato X+Y=m è

Esempio:

Trova l'aspettativa condizionata

se il giunto funzione di densità di probabilità di variabili aleatorie continue X e Y sono dati come

soluzione:

Per calcolare l'aspettativa condizionata abbiamo bisogno della funzione di densità di probabilità condizionata, quindi

poiché per la variabile casuale continua il condizionale l'aspettativa è

quindi per la data funzione di densità l'aspettativa condizionata sarebbe

Aspettativa condizionata||Aspettativa condizionata

                Possiamo calcolare il aspettativa matematica con l'aiuto dell'aspettativa condizionale di X dato Y come

per le variabili casuali discrete questo sarà

che può essere ottenuto come

e per il casuale continuo possiamo similmente mostrare

Esempio:

                Una persona è intrappolata nel suo edificio sottoterra in quanto l'ingresso è bloccato a causa di un carico pesante fortunatamente ci sono tre condotte da cui può uscire la prima condotta lo porta fuori in sicurezza dopo 3 ore, la seconda dopo 5 ore e la terza condotta dopo 7 ore, se una qualsiasi di queste condutture è stata scelta con la stessa probabilità da lui, quale sarebbe il tempo previsto per uscire sano e salvo.

Soluzione:

Sia X la variabile casuale che denota il tempo in ore prima che la persona sia uscita sana e salva e Y denota la pipa che sceglie inizialmente, quindi

da

Se la persona sceglie la seconda pipa, trascorre 5 ore in quella ma esce con il tempo previsto

quindi l'aspettativa sarà

Aspettativa della somma del numero casuale di variabili casuali utilizzando l'aspettativa condizionale

                Sia N il numero casuale di variabili casuali e la somma delle variabili casuali è     poi l'aspettativa  

da

as

così

Correlazione della distribuzione bivariata

Se la funzione di densità di probabilità della variabile casuale bivariata X e Y è

where

allora la correlazione tra la variabile casuale X e Y per la distribuzione bivariata con funzione di densità è

poiché la correlazione è definita come

poiché l'aspettativa che utilizza l'aspettativa condizionale è

per la distribuzione normale la distribuzione condizionata X data Y ha media

ora l'aspettativa di XY dato Y è

questo da

quindi

Varianza della distribuzione geometrica

    Nella distribuzione geometrica effettuiamo prove successivamente indipendenti che abbiano successo con probabilità p , Se N rappresenta il tempo del primo successo in queste successioni allora la varianza di N come per definizione sarà

Sia la variabile casuale Y=1 se la prima prova ha esito positivo e Y=0 se la prima prova risulta fallimentare, ora per trovare l'aspettativa matematica qui applichiamo l'aspettativa condizionata come

da

se il successo è nella prima prova allora N=1 e N2=1 se si verifica un fallimento nella prima prova , allora per ottenere il primo successo il numero totale di prove avrà la stessa distribuzione di 1 cioè la prima prova che risulta fallita con più il numero necessario di prove aggiuntive, cioè

Quindi l'aspettativa sarà

poiché l'aspettativa di distribuzione geometrica è so

quindi

e

E

quindi la varianza della distribuzione geometrica sarà

Aspettativa del minimo di sequenza di variabili casuali uniformi

   La sequenza di variabili casuali uniformi U1, LEI È2 … .. nell'intervallo (0, 1) e N è definito come

allora per l'aspettativa di N, per ogni x ∈ [0, 1] il valore di N

imposteremo l'aspettativa di N come

per trovare l'aspettativa usiamo la definizione di aspettativa condizionata su variabile casuale continua

ora condizionando per il primo termine della sequenza  ne ha

ecco che arriviamo

il numero rimanente di variabili casuali uniformi è lo stesso nel punto in cui il primo valore uniforme è y, all'inizio e poi aggiungeremo variabili casuali uniformi finché la loro somma non supera x − y.

quindi usando questo valore di aspettativa il valore dell'integrale sarà

se differenziamo questa equazione

e

ora integrando questo dà

quindi

il valore di k=1 se x=0 , quindi

m

e m(1) =e, il numero atteso di variabili casuali uniformi nell'intervallo (0, 1) che devono essere aggiunte fino a quando la loro somma supera 1, è uguale a e

Probabilità utilizzando l'aspettativa condizionale || probabilità usando il condizionamento

   Possiamo trovare la probabilità anche usando l'aspettativa condizionata come l'aspettativa che abbiamo trovato con l'aspettativa condizionale, per ottenere ciò consideriamo un evento e una variabile casuale X come

dalla definizione di questa variabile casuale e aspettativa chiaramente

ora per aspettativa condizionata in qualsiasi senso abbiamo

Esempio:

calcolare il funzione di massa di probabilità di variabile aleatoria X , se U è la variabile aleatoria uniforme sull'intervallo (0,1), e si consideri la distribuzione condizionale di X data U=p come binomiale con i parametri n e p.

Soluzione:

Per il valore di U la probabilità per condizionamento è

abbiamo il risultato

quindi otterremo

Esempio:

qual è la probabilità di X < Y, Se X e Y sono le variabili casuali continue con funzioni di densità di probabilità fX e fY rispettivamente.

Soluzione:

Usando l'aspettativa condizionata e la probabilità condizionata

as

Esempio:

Calcola la distribuzione della somma delle variabili casuali indipendenti continue X e Y.

Soluzione:

Per trovare la distribuzione di X+Y dobbiamo trovare la probabilità della somma usando il condizionamento come segue

Conclusione:

L'aspettativa condizionale per la variabile casuale discreta e continua con diversi esempi considerando alcuni dei tipi di queste variabili casuali discussi utilizzando la variabile casuale indipendente e la distribuzione congiunta in condizioni diverse, anche l'aspettativa e la probabilità come trovare usando l'aspettativa condizionale è spiegata con esempi, se hai bisogno di ulteriori letture, consulta i libri di seguito o per ulteriori articoli sulla probabilità, segui il nostro Pagine di matematica.

https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution

Un primo corso di probabilità di Sheldon Ross

Schemi di probabilità e statistica di Schaum

Un'introduzione alla probabilità e alle statistiche di ROHATGI e SALEH

DOTT. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

io sono il dott. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ho completato il mio dottorato di ricerca in Matematica e lavoro come assistente universitario in Matematica. Avere 12 anni di esperienza nell'insegnamento. Avere una vasta conoscenza di Matematica Pura, precisamente di Algebra. Avere l'immensa capacità di progettazione e risoluzione dei problemi. Capace di motivare i candidati per migliorare le loro prestazioni. Mi piace contribuire a Lambdageeks per rendere la matematica semplice, interessante e autoesplicativa per principianti ed esperti. Connettiamoci tramite LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

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