In questo articolo discuteremo la varianza condizionale e le previsioni che utilizzano l'aspettativa condizionale per il diverso tipo di variabile casuale con alcuni esempi.
Varianza condizionale
La varianza condizionata della variabile casuale X data Y è definita in modo simile come Aspettativa condizionata della variabile casuale X data Y come
(X|Y)=E[(XE[X|Y])2|Y]
qui la varianza è l'aspettativa condizionata della differenza tra la variabile casuale e il quadrato dell'aspettativa condizionale di X dato Y quando viene fornito il valore di Y.
La relazione tra il varianza condizionale e aspettativa condizionale is
(X|Y) = E[X2|Y] – (E[X|Y])2
E[(X|Y)] = E[E[X2|Y]] – E[(E[X|Y])2]
= E[X2] – E[(E[X\Y])2]
poiché E[E[X|Y]] = E[X], abbiamo
(E[X|Y]) = E[(E[X|Y])2] - (E [X])2
questo è in qualche modo simile dalla relazione di varianza incondizionata e aspettativa che era
Var (X) = E [X2] - (E [X])2
e possiamo trovare la varianza con l'aiuto della varianza condizionale come
Var(X) = E[var(X|Y] + var(E[X|Y])
Esempio di varianza condizionale
Trova la media e la varianza del numero di viaggiatori che entrano nell'autobus se le persone arrivate al deposito degli autobus sono poisson distribuite con la media thet e l'autobus iniziale arrivato al deposito degli autobus è distribuito uniformemente nell'intervallo (0,T) indipendentemente dalle persone arrivato o no.
Soluzione:
Per trovare la media e la varianza lasciate per ogni tempo t , Y è la variabile casuale per l'orario di arrivo del bus e N(t) è il numero di arrivi
E[N(Y)|Y = t] = E[N(t)|Y = t]
dall'indipendenza di Y e N(t)
=λt
poiché N(t) è Poisson con media \lambda t
Quindi
E[N(Y)|Y]=λY
quindi prendere le aspettative dà
E[N(Y)] = λE[Y] = λT/2
Per ottenere Var(N(Y)), usiamo la formula della varianza condizionale
così
(N(Y)|Y) = λY
E[N(Y)|Y] = λY
Quindi, dalla formula della varianza condizionata,
Var(N(Y)) = E[λS]+(λY)
=λT/2 + λ2T2/ 12
dove abbiamo utilizzato il fatto che Var(Y)=T2 / 12.
Varianza di una somma di un numero casuale di variabili casuali
considera la sequenza di indipendenti e identici distribuito variabili casuali X1,X2,X3,………. e troveremo un'altra variabile casuale N indipendente da questa sequenza varianza di somma di questa sequenza come
utilizzando
che è ovvio con la definizione di varianza e varianza condizionale per la singola variabile casuale alla somma della sequenza di variabili casuali quindi
Predizione
Nella previsione il valore di una variabile casuale può essere previsto sulla base dell'osservazione di un'altra variabile casuale, per la previsione della variabile casuale Y se la variabile casuale osservata è X usiamo g(X) come funzione che dice il valore previsto, ovviamente prova a scegliere g(X) chiuso a Y per questo il miglior g è g(X)=E(Y|X) per questo dobbiamo minimizzare il valore di g usando la disuguaglianza
Questa disuguaglianza possiamo ottenere come
Tuttavia, dato X, E[Y|X]-g(X), essendo una funzione di X, può essere trattato come una costante. Così,
che dà la disuguaglianza richiesta
Esempi sulla previsione
1. Si osserva che l'altezza di una persona è di sei piedi, quale sarebbe la previsione dell'altezza di suo figlio dopo essere cresciuto se l'altezza del figlio che è di x pollici ora è distribuita normalmente con media x+1 e varianza 4.
Soluzione: sia X la variabile casuale che indica l'altezza della persona e Y la variabile casuale per l'altezza del figlio, allora la variabile casuale Y è
Y=X+e+1
qui e rappresenta la variabile casuale normale indipendente dalla variabile casuale X con media zero e varianza quattro.
quindi la previsione per l'altezza dei figli è
quindi l'altezza del figlio sarà di 73 pollici dopo la crescita.
2. Considera un esempio di invio di segnali dalla posizione A e dalla posizione B, se dalla posizione A viene inviato un valore del segnale s che nella posizione B viene ricevuto mediante distribuzione normale con media s e varianza 1 mentre se il segnale S inviato ad A è distribuito normalmente con media \mu e varianza \sigma^2, come possiamo prevedere che il valore del segnale R inviato dalla posizione A verrà ricevuto è r nella posizione B?
Soluzione: i valori del segnale S e R denotano qui le variabili casuali distribuite normalmente, prima troviamo la funzione di densità condizionale S data R come
questo K è indipendente da S, ora
qui anche C1 e C2 sono indipendenti da S, quindi il valore della funzione di densità condizionata è
C è anche indipendente da s, quindi il segnale inviato dalla posizione A come R e ricevuto dalla posizione B come r è normale con media e varianza
e l'errore quadratico medio per questa situazione è
Predittore lineare
Ogni volta che non riusciamo a trovare la funzione di densità di probabilità congiunta, anche la media, la varianza e la correlazione tra due variabili casuali sono note, in una situazione del genere è molto utile il predittore lineare di una variabile casuale rispetto a un'altra variabile casuale che può prevedere il minimo , quindi per il predittore lineare della variabile casuale Y rispetto alla variabile casuale X prendiamo aeb per minimizzare
Ora differenziamo parzialmente rispetto ad aeb otterremo
risolvendo queste due equazioni per a e b otterremo
quindi minimizzando questa aspettativa si ottiene il predittore lineare come
dove le medie sono le rispettive medie delle variabili casuali X e Y, l'errore per il predittore lineare sarà ottenuto con l'aspettativa di
Questo errore sarà più vicino allo zero se la correlazione è perfettamente positiva o perfettamente negativa, ovvero il coefficiente di correlazione è +1 o -1.
Conclusione
La varianza condizionale per il discreto e variabile casuale continua con diversi esempi sono stati discussi, una delle importanti applicazioni dell'aspettativa condizionale nella previsione è anche spiegata con esempi adatti e con il miglior predittore lineare, se hai bisogno di ulteriori letture vai ai link sottostanti.
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Schemi di probabilità e statistica di Schaum
Un'introduzione alla probabilità e alle statistiche di ROHATGI e SALEH
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