Varianza condizionale e previsioni: 7 fatti importanti


In questo articolo discuteremo la varianza condizionale e le previsioni che utilizzano l'aspettativa condizionale per il diverso tipo di variabile casuale con alcuni esempi.

Varianza condizionale

La varianza condizionata della variabile casuale X data Y è definita in modo simile come Aspettativa condizionata della variabile casuale X data Y come

(X|Y)=E[(XE[X|Y])2|Y]

qui la varianza è l'aspettativa condizionata della differenza tra la variabile casuale e il quadrato dell'aspettativa condizionata di X dato Y quando è dato il valore di Y.

La relazione tra il varianza condizionale e aspettativa condizionale is

(X|Y) = E[X2|Y] – (E[X|Y])2

E[(X|Y)] = E[E[X2|Y]] – E[(E[X|Y])2]

= E[X2] – E[(E[X\Y])2]

poiché E[E[X|Y]] = E[X], abbiamo

(E[X|Y]) = E[(E[X|Y])2] - (E [X])2

questo è in qualche modo simile dalla relazione di varianza incondizionata e aspettativa che era

Var (X) = E [X2] - (E [X])2

e possiamo trovare la varianza con l'aiuto della varianza condizionale come

Var(X) = E[var(X|Y] + var(E[X|Y])

Esempio di varianza condizionale

Trova la media e la varianza del numero di viaggiatori che entrano nell'autobus se le persone arrivate al deposito degli autobus sono poisson distribuite con la media thet e l'autobus iniziale arrivato al deposito degli autobus è distribuito uniformemente nell'intervallo (0,T) indipendentemente dalle persone arrivato o no.

Soluzione:

Per trovare la media e la varianza lasciate per ogni tempo t , Y è la variabile casuale per l'orario di arrivo del bus e N(t) è il numero di arrivi

E[N(Y)|Y = t] = E[N(t)|Y = t]

dall'indipendenza di Y e N(t)

=λt

poiché N(t) è Poisson con media \lambda t
Quindi

E[N(Y)|Y]=λY

quindi prendere le aspettative dà

E[N(Y)] = λE[Y] = λT/2

Per ottenere Var(N(Y)), usiamo la formula della varianza condizionale

così

(N(Y)|Y) = λY

E[N(Y)|Y] = λY

Quindi, dalla formula della varianza condizionata,

Var(N(Y)) = E[λS]+(λY)

=λT/2 + λ2T2/ 12

dove abbiamo utilizzato il fatto che Var(Y)=T2 / 12.

Varianza di una somma di un numero casuale di variabili casuali

considera la sequenza di indipendenti e identici distribuito variabili casuali X1,X2,X3,………. e troveremo un'altra variabile casuale N indipendente da questa sequenza varianza di somma di questa sequenza come

utilizzando

che è ovvio con la definizione di varianza e varianza condizionale per la singola variabile casuale alla somma della sequenza di variabili casuali quindi

Predizione

Nella previsione il valore di una variabile casuale può essere previsto sulla base dell'osservazione di un'altra variabile casuale, per la previsione della variabile casuale Y se la variabile casuale osservata è X usiamo g(X) come funzione che dice il valore previsto, ovviamente prova a scegliere g(X) chiuso a Y per questo il miglior g è g(X)=E(Y|X) per questo dobbiamo minimizzare il valore di g usando la disuguaglianza

Questa disuguaglianza possiamo ottenere come

Tuttavia, dato X, E[Y|X]-g(X), essendo una funzione di X, può essere trattato come una costante. Così,

che dà la disuguaglianza richiesta

Esempi sulla previsione

1. Si osserva che l'altezza di una persona è di sei piedi, quale sarebbe la previsione dell'altezza di suo figlio dopo essere cresciuto se l'altezza del figlio che è di x pollici ora è distribuita normalmente con media x+1 e varianza 4.

Soluzione: sia X la variabile casuale che denota l'altezza della persona e Y la variabile casuale per l'altezza del figlio, allora la variabile casuale Y è

Y=X+e+1

qui e rappresenta la variabile casuale normale indipendente dalla variabile casuale X con media zero e varianza quattro.

quindi la previsione per l'altezza dei figli è

quindi l'altezza del figlio sarà di 73 pollici dopo la crescita.

2. Si consideri un esempio di invio di segnali dalla locazione A e dalla locazione B, se dalla locazione A viene inviato un valore di segnale s che nella locazione B ricevuto per distribuzione normale con media s e varianza 1 mentre se il segnale S inviato in A è distribuito normalmente con media \mu e varianza \sigma^2, come possiamo prevedere che il valore del segnale R inviato dalla posizione A sarà ricevuto è r nella posizione B?

Soluzione: I valori del segnale S e R denotano qui le variabili casuali distribuite normalmente, prima troviamo la funzione di densità condizionata S dato R come

questo K è indipendente da S, ora

qui anche C1 e C2 sono indipendenti da S, quindi il valore della funzione di densità condizionata è

C è anche indipendente da s, quindi il segnale inviato dalla posizione A come R e ricevuto dalla posizione B come r è normale con media e varianza

e l'errore quadratico medio per questa situazione è

Predittore lineare

Ogni volta che non riusciamo a trovare la funzione di densità di probabilità congiunta è nota anche la media, la varianza e la correlazione tra due variabili casuali, in tale situazione è molto utile il predittore lineare di una variabile casuale rispetto a un'altra variabile casuale che può prevedere il minimo , quindi per il predittore lineare della variabile casuale Y rispetto alla variabile casuale X prendiamo a e b per minimizzare

Ora differenziamo parzialmente rispetto ad aeb otterremo

risolvendo queste due equazioni per a e b otterremo

quindi minimizzando questa aspettativa si ottiene il predittore lineare come

dove le medie sono le rispettive medie delle variabili casuali X e Y, l'errore per il predittore lineare sarà ottenuto con l'aspettativa di

varianza condizionale
varianza condizionale: errore nella previsione

Questo errore sarà più vicino allo zero se la correlazione è perfettamente positiva o perfettamente negativa, ovvero il coefficiente di correlazione è +1 o -1.

Conclusione

È stata discussa la varianza condizionale per la variabile casuale discreta e continua con diversi esempi, una delle applicazioni importanti dell'aspettativa condizionale nella previsione è anche spiegata con esempi adatti e con il miglior predittore lineare, se sono necessarie ulteriori letture, consultare i collegamenti di seguito.

Per ulteriori post sulla matematica, fare riferimento al nostro Pagina di matematica

Un primo corso di probabilità di Sheldon Ross

Schemi di probabilità e statistica di Schaum

Un'introduzione alla probabilità e alle statistiche di ROHATGI e SALEH

DOTT. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

io sono il dott. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ho completato il mio dottorato di ricerca in Matematica e lavoro come assistente universitario in Matematica. Avere 12 anni di esperienza nell'insegnamento. Avere una vasta conoscenza di Matematica Pura, precisamente di Algebra. Avere l'immensa capacità di progettazione e risoluzione dei problemi. Capace di motivare i candidati per migliorare le loro prestazioni. Mi piace contribuire a Lambdageeks per rendere la matematica semplice, interessante e autoesplicativa per principianti ed esperti. Connettiamoci tramite LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

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