Equazione di continuità: 7 concetti importanti

Elenco dei contenuti

• Equazione di continuità
• Forma differenziale dell'equazione di continuità
• Equazione di continuità per flusso incomprimibile
• Equazione di continuità per flusso complanare bidimensionale
• Esempio di equazione di continuità
• Domande e risposte
• MCQ
• Conclusione

Equazione di continuità

Si presume che il fluido che scorre attraverso il tubo del flusso sia il fluido ideale. Non c'è flusso attraverso la linea di flusso. Significa che il fluido entra da un'estremità e lascia all'altra estremità non c'è uscita intermedia. Considerare la condizione del flusso alla sezione trasversale di ingresso 1-1 come di seguito,

La massa del fluido che scorre tra queste due sezioni considerate è data dalla seguente formula,

dm = (AV ? dt ) – ( ​​LA + dA ) ( V+ dV ) ( ? + d? ) dt Eq … 1

semplificando l'equazione precedente otteniamo,

dm/dt = – (AV d? + V ? dA + A ? dV) Eq … 2

Poiché sappiamo che flusso costante significa portata massica costante, significa qui dm / dt = 0. Ora l'Eq. 2 girato come sotto,

(AV d? + V ? dA + A ? dV) = 0 Eq … 3

Ora, dividi l'eq. 3 con ? AV, l'equazione sarà come,

( d?/? ) + ( dA/A ) + ( dV/V ) = 0 Eq … 4

d ( ? AV ) = 0 Eq … 5

? AV = Eq costante … 6

Qui, l'Eq. 6 ci fa sapere che la massa di fluido che passa attraverso il tubo di corrente è costante in ogni sezione.

Supponiamo che il fluido sia incomprimibile (liquido), quindi la densità del fluido non cambierà in nessun punto. Significa che la densità del fluido è costante.

AV = Costante

A₁ V₁ = A₂ V₂                                                                                                                           Eq ... 7

Eq. 7 rappresenta l'equazione di continuità per un flusso costante incomprimibile all'interno del tubo di flusso. L'equazione di continuità fornisce una comprensione di base di area e velocità. Il cambiamento dell'area della sezione trasversale influenza la velocità del flusso all'interno del tubo del flusso, del tubo, del canale cavo, ecc. Qui, la cosa eccitante è un prodotto della velocità e dell'area della sezione trasversale. Questo prodotto è costante in qualsiasi punto del tubo del flusso. La velocità è inversamente proporzionale all'area della sezione trasversale del tubo o del tubo del flusso.

Forma differenziale dell'equazione di continuità

Per derivare la forma differenziale dell'equazione di continuità, si consideri un oggetto come mostrato in figura. Le dimensioni sono dx, dy e dz. Ci sono alcuni presupposti per questa formazione. La massa di fluido non viene creata o distrutta, nessuna cavità o bolle nel fluido (flusso continuo). Consideriamo dx nella direzione x, dy in y e dz nelle direzioni z per facilitare la derivazione.

Se u è la velocità del flusso del fluido secondo la faccia mostrata nella figura. Si presume che la velocità sia uniforme in tutta l'area della sezione trasversale della faccia. La velocità del fluido sulla superficie 1-2-3-4 è u. adesso; la superficie 5-6-7-8 è una distanza dx lontana da 1-2-3-4. Quindi, la velocità a 5-6-7-8 è data come

u + ∂u / ∂x dx

Come sappiamo, la densità cambia utilizzando un fluido comprimibile. Se il fluido comprimibile passa attraverso un oggetto, la densità cambierà.

Il flusso di massa che entra nell'oggetto è dato come

Flusso di massa = ? AV

Portata massica = ? AV dt

Il fluido che entra in 1-2-3-4

Fluido in ingresso = densità (area * velocità) dt

Fluido in ingresso = ρ u dy dz dt

Eq ... 1

Il fluido in partenza dal 5-6-7-8

Fluido in uscita

fluido in uscita= [ρu+ ∂/∂x (ρu)dx] dy dz dtt

Eq ... 2

Ora, la differenza tra fluido in ingresso e fluido in uscita è che la massa rimane nella direzione x flusso.

= ρ u dy dz dt- [ρu + ∂ / ∂x (ρu) dx] dy dz dt

= - ∂ / ∂x (ρu) dx dy dz dt

Eq ... 3

Allo stesso modo, consideriamo che la massa del fluido nella direzione yez è data come di seguito,

= - ∂ / ∂y (ρv) dx dy dz dt

Eq ... 4

= - ∂ / ∂z (ρw) dx dy dz dt

Eq ... 5

Qui, v e w sono le velocità del fluido nelle direzioni y e z, rispettivamente.

Per il flusso di massa del fluido in tutte e tre le direzioni, gli assi sono dati dall'aggiunta dell'Eq. 3, 4 e 5. È dato come sotto la massa totale del fluido,

= - [∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw)] dx dy dz dt

Eq ... 6

La velocità di variazione della massa all'interno dell'oggetto è data da,

∂m / ∂t dt = ∂ / ∂t (ρ × volume) dt = ∂ρ / ∂t dx dy dz dt

Eq ... 7

Secondo la comprensione della conservazione della massa Eq. 6 uguale all'Eq. 7

- [∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw)] dx dy dz dt = ∂ρ / ∂t dx dy dz dt

Risolvendo l'equazione precedente e semplificandola, otteniamo,

∂ρ / ∂t + ∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw) = 0

Eq ... 8

Eq. 8 è. Equazione di continuità per flusso generale. Può essere stabile o instabile, comprimibile o incomprimibile.

Equazione di continuità per flusso incomprimibile

Se consideriamo il flusso è stazionario e incomprimibile. Sappiamo che nel caso di flusso stazionario ??/?t = 0. Se il flusso è incomprimibile, allora la densità ? rimane costante. Quindi, considerando questa condizione, l'Eq. 8 può essere scritto come,

∂u / ∂x + ∂v / ∂y + ∂w / ∂z = 0

Equazione di continuità per flusso complanare bidimensionale

Nel flusso bidimensionale, ci sono due direzioni x e y. Così, u velocità in direzione x e v velocità nella direzione y. Non esiste una direzione z, quindi la velocità nella direzione z è zero. Considerando queste condizioni, l'Eq. 8 girato come sotto,

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) = 0

Flusso comprimibile

∂u / ∂x + ∂v / ∂y = 0 

Flusso incomprimibile, la densità è zero

Esempio di equazione di continuità

C'è un flusso d'aria attraverso il tubo alla velocità di 0.25 kg / sa una pressione assoluta di 2.25 bar e una temperatura di 300 K. Se la velocità del flusso è 7.5 m / s, quale sarà il diametro minimo del tubo?

Dati,

m = 0.25 kg / s,

P = 2.25 bar,

T = 300K,

V = 7.5 m / s,

Calcola la densità dell'aria,

P = ? RT

? = P/RT

? = ( 2.25 * 10⁵ ) / (287 * 300) = 2.61 kg / m³

Portata massica d'aria,

m = ? AV

A = m / ? v

A = 0.25 / (2.61 * 7.5) = 0.012 m²

Poiché conosciamo quella zona,

A = πD² / 4

D = √ ((LA * 4) / π)

D = √ ((0.012 * 4) /3.14)

D = 0.127 m = 12.7 cm

Un getto d'acqua verso l'alto esce dalla punta dell'ugello alla velocità di 15 m / s. Il diametro dell'ugello è di 20 mm. supponiamo che non vi siano perdite di energia durante il funzionamento. Quale sarà il diametro del getto d'acqua a 5 m sopra dalla punta dell'ugello.

Ans.

Prima di tutto, immagina il sistema; il flusso è in direzione verticale.

Dati,

V1 = velocità del getto alla punta dell'ugello

V2 = velocità del getto a 5 m sopra dalla punta dell'ugello

Allo stesso modo, le aree A1 e A2.

Abbiamo l'equazione generale del moto come di seguito,

〖V2〗^2-〖V1〗^2=2 g s

〖V2〗^2-〖15〗^2=2*(-9.8)*5

V2 = 11.26 m / s

Ora, applica l'equazione di continuità,

LA1 V1 = LA2 V2

A2 = (A1 V1) / V2

A2 = ((π / 4) * (0.02) ^ 2 * 15) /11.26=4.18* 10 ^ -4 m ^ 2

π / 4 * 〖d2〗 ^ 2 = 4.18 * 10 ^ -4 m ^ 2

Diametro = 0.023 m = 23 mm

domande e risposte

Qual è la differenza tra l'equazione di continuità e l'equazione di Navier Stokes?

I fluidi, per definizione, possono fluire ma è fondamentalmente incomprimibile in natura. Il equazione di continuità è una conseguenza del fatto che ciò che entra in un tubo / tubo deve anche essere rilasciato. Quindi, alla fine, l'area per la velocità alla fine di un tubo / tubo deve rimanere costante.

In una conseguenza necessaria se l'area del tubo / tubo diminuisce, anche la velocità del fluido deve aumentare per mantenere costante la portata.

Mentre l' Equazione di Navier-Stokes descrive le relazioni tra velocità, pressione, temperature e densità di un fluido in movimento. Questa equazione di solito è associata a varie forme di equazioni differenziali. Di solito è piuttosto complesso da risolvere analiticamente.

Su cosa si basa l'equazione di continuità?

L'equazione di continuità dice che il volume del fluido che entra nel tubo di qualsiasi sezione trasversale dovrebbe essere uguale al volume del fluido che lascia l'altro lato dell'area della sezione trasversale, il che significa che la velocità di flusso dovrebbe essere costante e dovrebbe segui la relazione

Supponiamo che il fluido sia incomprimibile (liquido), quindi la densità del fluido non cambierà in nessun punto. Significa che la densità del fluido è costante.

AV = Costante

Portata = A₁ V₁ = A₂ V₂

A cosa serve l'equazione di continuità?

Equazione di continuità ha molte applicazioni nel campo dell'idrodinamica, dell'aerodinamica, dell'elettromagnetismo, della meccanica quantistica. È un concetto importante per la regola fondamentale del Principio di Bernoulli, è indirettamente coinvolto nel principio e nelle applicazioni dell'Aerodinamica.

L'equazione di continuità esprime una legge di conservazione locale a seconda del contesto. È semplicemente un'affermazione matematica che è sottile ma molto potente riguardo alla conservazione locale di quantità specifiche.

L'equazione di continuità vale per il flusso supersonico?

Sì, può essere utilizzato per il flusso supersonico. Può essere utilizzato per altri flussi come ipersonico, supersonico e subsonico. La differenza è che devi usare la forma conservativa dell'equazione.

Qual è la forma tridimensionale dell'equazione di continuità per un flusso costante incomprimibile?

Se consideriamo il flusso è stazionario e incomprimibile. Sappiamo che nel caso di flusso stazionario ??/?t = 0. Se il flusso è incomprimibile, allora la densità ? rimane costante. Quindi, considerando questa condizione, l'Eq. 8 può essere scritto come,

 ∂u / ∂x + ∂v / ∂y + ∂w / ∂z = 0

Qual è la forma 3D dell'equazione di continuità per un flusso comprimibile e incomprimibile costante?

Nel flusso bidimensionale, ci sono due direzioni x e y. Quindi, velocità u nella direzione x ev velocità v nella direzione y. Non esiste una direzione z, quindi la velocità nella direzione z è zero. Considerando queste condizioni, l'Eq. 8 girato come sotto,

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) = 0

 ∂u / ∂x + ∂v / ∂y = 0

Domande a scelta multipla

Quale delle seguenti è una forma di equazione di continuità?

1. v₁ A₁ = v₂ A₂
2. v₁ t₁ = v₂ t₂
3. V / t
4. v₁ / UN₁ = v₂ / UN₂

Cosa fornisce l'equazione di continuità al concetto del movimento di un fluido ideale?

1. Man mano che l'area della sezione trasversale aumenta, la velocità aumenta.
2. Man mano che l'area della sezione trasversale diminuisce, la velocità aumenta.
3. Man mano che l'area della sezione trasversale diminuisce, la velocità diminuisce.
4. Man mano che l'area della sezione trasversale aumenta, il volume diminuisce.
5. All'aumentare del volume, la velocità diminuisce.

L'equazione di continuità si basa sul principio di

a) conservazione di massa

b) conservazione della quantità di moto

c) conservazione dell'energia

d) conservazione della forza

Due diametri di tubo simili di d convergono per ottenere un tubo di diametro D. Quale può essere l'osservazione tra d e D ?. La velocità del flusso nel nuovo tubo sarà il doppio di quella in ciascuno dei due tubi?

a) D = d

b) D = 2d

c) D = 3d

d) D = 4d

I tubi di diverso diametro d1 e d2 convergono per ottenere un tubo di diametro 2d. Se la velocità del liquido in entrambi i tubi è v1 e v2, quale sarà la velocità del flusso nel nuovo tubo?

a) v1 + v2

b) v1 + v2 / 2

c) v1 + v2 / 4

d) 2 (v1 + v2)

Conclusione

Questo articolo include le derivazioni dell'equazione di continuità con la loro forma e condizioni diverse. Vengono forniti esempi e domande di base per una migliore comprensione del concetto di equazione di continuità.

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Per saperne di più Principi scientifici.

Dottor Deepakkumar Jani

Sono Deepak Kumar Jani, sto perseguendo il dottorato in energia meccanica e rinnovabile. Ho cinque anni di insegnamento e due anni di esperienza di ricerca. La mia area tematica di interesse è l'ingegneria termica, l'ingegneria automobilistica, la misurazione meccanica, il disegno tecnico, la meccanica dei fluidi ecc. Ho depositato un brevetto su "Ibridazione di energia verde per la produzione di energia". Ho pubblicato 17 articoli di ricerca e due libri.
Sono felice di far parte di Lambdageeks e vorrei presentare ai lettori parte della mia esperienza in modo semplicistico.
A parte gli studi accademici e la ricerca, mi piace vagare nella natura, catturarla e creare consapevolezza sulla natura tra le persone.
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