Variabile aleatoria continua, tipi e sua distribuzione
La variabile casuale che assume valori finiti o numerabili infiniti è nota come variabile casuale discreta e la sua coppia con probabilità forma la distribuzione per la variabile casuale discreta. Ora per la variabile casuale che prende i valori come non numerabili, quali sarebbero la probabilità e le caratteristiche rimanenti di cui parleremo. Quindi, in breve, la variabile casuale continua è la variabile casuale il cui insieme di valori sono innumerevoli. L'esempio di vita reale per la variabile casuale continua è la durata dei componenti elettrici o elettronici e l'arrivo di uno specifico veicolo pubblico alle fermate ecc.
Variabile aleatoria continua e funzione di densità di probabilità
Variabile casuale sarà una variabile casuale continua se per una funzione a valori reali non negativi f su x ∈ ℝ e B ⊆ ℝ ed
questa funzione f è nota come Densità di probabilità della data variabile casuale X.
I La funzione di densità di probabilità soddisfa ovviamente i seguenti assiomi di probabilità
Poiché dagli assiomi della probabilità sappiamo che la probabilità totale è tale
Per la variabile casuale continua la probabilità sarà calcolata in termini di tale funzione f, supponiamo di voler trovare la probabilità per l'intervallo continuo diciamo [a, b] allora sarebbe
Come sappiamo, l'integrazione rappresenta l'area sotto la curva, quindi questa probabilità mostra tale area per la probabilità come
equiparando a = b il valore sarà
e in modo simile sarà la probabilità per il valore minore o uguale al valore specifico seguendo questo
Esempio: Il tempo di lavoro continuo del componente elettronico è espresso sotto forma di variabile casuale continua e la funzione di densità di probabilità è data come
trovare la probabilità che il componente funzioni efficacemente tra 50 e 150 ore e la probabilità di meno di 100 ore.
poiché la variabile casuale rappresenta la variabile casuale continua, la funzione di densità di probabilità data nella domanda fornisce la probabilità totale come
Quindi otterremo il valore di λ
λ = 1/100
per la probabilità da 50 ore a 150 ore abbiamo
allo stesso modo la probabilità sarà inferiore a 100
Esempio: Il dispositivo basato su computer ha un numero di chipset con durata data dalla funzione di densità di probabilità
quindi dopo 150 ore trova la probabilità che dobbiamo sostituire 2 chipset da 5 chip totali.
lasciaci considerare Ei essere l'evento per sostituire l'i-esimo chipset. quindi la probabilità di tale evento sarà
come funzionante di tutti i chip indipendenti, quindi la probabilità che 2 vengano sostituiti sarà
Funzione di distribuzione cumulativa
La funzione di distribuzione cumulativa per la variabile casuale continua è definita con l'aiuto della funzione di distribuzione di probabilità come
in un'altra forma
possiamo ottenere la funzione di densità di probabilità con l'aiuto della funzione di distribuzione come
Aspettativa matematica e varianza della variabile casuale continua
Aspettativa
I aspettativa matematica o media della variabile casuale continua con la funzione di densità di probabilità può essere definito come
- Per ogni funzione a valore reale della variabile casuale continua l'aspettativa X sarà
dove g è il valore reale function.
- Per qualsiasi continuo non negativo variabile casuale Y l'aspettativa sarà
- Per ogni costante a e b
E [aX + b] = aE [X] + b
Varianza
La varianza della variabile casuale continua X con la media o l'aspettativa del parametro può essere definita in modo simile alla variabile casuale discreta
La prova di tutto quanto sopra proprietà di aspettativa e varianza possiamo facilmente ottenere semplicemente seguendo i passaggi che abbiamo nella variabile casuale discreta e le definizioni di aspettativa, varianza e probabilità in termini di variabile casuale continua
Esempio: Se la funzione di densità di probabilità della variabile casuale continua X è data da
quindi trova l'aspettativa e la varianza della variabile casuale continua X.
Soluzione: Per la funzione di densità di probabilità data
il valore atteso dalla definizione sarà
Ora per trovare la varianza richiediamo E[X2]
Dal
so
Variabile casuale uniforme
Se la variabile casuale continua X ha la funzione di densità di probabilità data da
sull'intervallo (0,1) questa distribuzione è nota come distribuzione uniforme e la variabile casuale è nota come variabile casuale uniforme.
- Per qualsiasi costante aeb tale che 0
Aspettativa e varianza della variabile casuale uniforme
Per la variabile casuale X uniformemente continua sull'intervallo generale (α , β) l'aspettativa per definizione sarà
e la varianza che otterremo se troviamo prima E[X2]
so
Esempio: In una determinata stazione arrivano i treni per la data destinazione con una frequenza di 15 minuti dalle 7 AM Per il passeggero che si trova in stazione in un orario compreso tra le 7 e le 7.30 distribuiti uniformemente quale sarà la probabilità che il passeggero prenda il treno entro 5 minuti e quale sarà la probabilità per più di 10 minuti.
Soluzione: Poiché il tempo dalle 7 alle 7.30 è distribuito uniformemente affinché il passeggero si trovi alla stazione ferroviaria, denotalo con la variabile casuale uniforme X. quindi l'intervallo sarà (0, 30)
Poiché per prendere il treno entro 5 minuti il passeggero deve trovarsi alla stazione tra le 7.10 e le 7.15 o tra le 7.25 e le 7.30, quindi la probabilità sarà
= 1 / 3
Allo stesso modo per prendere il treno dopo un'attesa superiore a 10 minuti il passeggero deve trovarsi in stazione dalle 7 alle 7.05 o dalle 7.15 alle 7.20 quindi la probabilità sarà
Esempio: Trova la probabilità per la variabile casuale uniforme X distribuita nell'intervallo (0,10)
per X <3, X> 6 e 3
Soluzione: poiché la variabile casuale è data come distribuita uniformemente, le probabilità saranno
Esempio: (Bertrands paradosso) Per qualsiasi accordo casuale di un cerchio. quale sarebbe la probabilità che la lunghezza di quella corda casuale sia maggiore del lato del triangolo equilatero inscritto nello stesso cerchio.
Questo problema non ha spazio sulla corda casuale, quindi questo problema è stato riformulato in termini di diametro o angolo e quindi risposta come 1/3 è stato ottenuto.
Conclusione:
In questo articolo è stato discusso il concetto di variabile casuale continua e la sua distribuzione con la funzione di densità di probabilità e viene fornita la media dei parametri statistici, la varianza per la variabile casuale continua. Viene fornita la variabile casuale uniforme e la sua distribuzione con l'esempio che è il tipo di variabile casuale continua nel prossimo articolo focalizzeremo alcuni importanti tipi di variabile casuale continua con opportuni esempi e proprietà. , se desideri ulteriori letture, segui:
Schemi di probabilità e statistica di Schaum
https://en.wikipedia.org/wiki/Probability
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Sono il DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ho completato il mio dottorato di ricerca. in Matematica e lavorando come professore assistente in Matematica. Avere 12 anni di esperienza nell'insegnamento. Avere vaste conoscenze in Matematica Pura, precisamente in Algebra. Avere l'immensa capacità di progettare e risolvere problemi. Capace di motivare i candidati a migliorare le loro prestazioni.
Adoro contribuire a Lambdageeks per rendere la matematica semplice, interessante e autoesplicativa sia per i principianti che per gli esperti.