Covarianza, varianza delle somme: 7 fatti importanti

COVARIANZA, VARIANZA DI SOMME E CORRELAZIONI DI VARIABILI CASUALI

  I parametri statistici delle variabili casuali di diversa natura utilizzando la definizione di aspettativa di variabile casuale è facile da ottenere e comprendere, di seguito troveremo alcuni parametri con l'aiuto dell'aspettativa matematica di variabile casuale.

Momenti del numero di eventi che si verificano

    Finora sappiamo che l'aspettativa di diversi poteri della variabile casuale sono i momenti delle variabili casuali e come trovare l'aspettativa della variabile casuale dagli eventi se il numero di eventi si è già verificato, ora siamo interessati all'aspettativa se coppia di numero di eventi già avvenuto, ora se X rappresenta il numero di eventi accaduti allora per gli eventi A₁, Un₂, ….,UN_n definire la variabile indicatore I_i as

l'aspettativa di X in senso discreto sarà

perché la variabile casuale X è

ora per trovare l'aspettativa se il numero di coppie di eventi si è già verificato dobbiamo usare combinazione as

questo dà aspettativa come

da questo otteniamo l'aspettativa di x quadrato e il valore della varianza anche per

Usando questa discussione ci concentriamo su diversi tipi di variabili casuali per trovare tali momenti.

Momenti di variabili casuali binomiali

   Se p è la probabilità di successo di n prove indipendenti, denotiamo A_i per la prova ho successo quindi

e quindi il varianza della variabile casuale binomiale sarà

perché

se generalizziamo per k eventi

questa aspettativa la possiamo ottenere successivamente per il valore di k maggiore di 3 troviamo per 3

usando questa iterazione possiamo ottenere

Momenti di variabili casuali ipergeometriche

  I momenti di questa variabile casuale capiremo con l'aiuto di un esempio supponiamo che n penne siano selezionate casualmente da una scatola contenente N penne di cui m sono blu, Sia A_i denota gli eventi che la i-esima penna è blu, ora X è il numero di penna blu selezionata è uguale al numero di eventi A₁,A₂,…..,UN_n che si verificano perché la i-esima penna selezionata è ugualmente probabile per una qualsiasi delle N penne di cui m sono blu

e così

questo da

quindi la varianza della variabile casuale ipergeometrica sarà

in modo simile per i momenti più alti

quindi

Momenti delle variabili casuali ipergeometriche negative

  si consideri l'esempio di una confezione contenente n+m vaccini di cui n sono speciali e m sono ordinari, questi vaccini vengono rimossi uno alla volta, con ogni nuova rimozione ugualmente probabile che sia uno qualsiasi dei vaccini rimasti nella confezione. Ora lascia che la variabile casuale Y indichi il numero di vaccini che devono essere ritirati fino a quando non sono stati rimossi un totale di r vaccini speciali, che è una distribuzione ipergeometrica negativa, questo è in qualche modo simile con binomio negativo a binomio come a distribuzione ipergeometrica. per trovare il probabilità funzione di massa se la k-esima estrazione dà il vaccino speciale dopo l'estrazione k-1 dà r-1 speciale e kr vaccino ordinario

ora la variabile casuale Y

Y=r+X

per gli eventi A_i

as

quindi per trovare la varianza di Y dobbiamo conoscere la varianza di X so

quindi

COVARIANZA             

La relazione tra due variabili casuali può essere rappresentata dal parametro statistico covarianza, prima della definizione di covarianza di due variabili casuali X e Y ricordiamo che l'aspettativa di due funzioni g e h delle variabili casuali X e Y rispettivamente dà

usando questa relazione di aspettativa possiamo definire la covarianza come

   “ La covarianza tra la variabile casuale X e la variabile casuale Y indicata con cov(X,Y) è definita come

usando la definizione di aspettativa ed espandendo otteniamo

è chiaro che se le variabili casuali X e Y sono indipendenti allora

ma non è vero il contrario per esempio se

e definendo la variabile casuale Y come

so

qui chiaramente X e Y non sono indipendenti ma la covarianza è zero.

Proprietà di covarianza

  La covarianza tra le variabili casuali X e Y ha alcune proprietà come segue

usando la definizione fuori dalla covarianza le prime tre proprietà sono immediate e la quarta proprietà segue considerando

ora per definizione

Varianza delle somme

Il risultato importante di queste proprietà è

as

Se X_i sono indipendenti a coppie quindi

Esempio: varianza di una variabile casuale binomiale

  Se X è la variabile casuale

dove X_i sono le variabili casuali di Bernoulli indipendenti tali che

 quindi trovare la varianza di una variabile casuale binomiale X con parametri n e p.

Soluzione:

da

quindi per singola variabile abbiamo

quindi la varianza è

Esempio

  Per le variabili casuali indipendenti X_i con le rispettive medie e varianza e una nuova variabile casuale con deviazione as deviation

poi calcola

soluzione:

Usando la proprietà e la definizione di cui sopra abbiamo

ora per la variabile casuale S

prendi l'aspettativa

Esempio:

Trova la covarianza delle funzioni indicatrici per gli eventi A e B.

Soluzione:

per gli eventi A e B le funzioni dell'indicatore sono

quindi l'aspettativa di questi sono

quindi la covarianza è

Esempio:

     mostra che

dove X_i sono variabili casuali indipendenti con varianza.

Soluzione:

La covarianza utilizzando le proprietà e la definizione sarà

Esempio:

  Calcola la media e la varianza della variabile casuale S che è la somma di n valori campionati se insieme di N persone ognuna delle quali ha un'opinione su un certo argomento che è misurata da un numero reale v che rappresenta la “forza di sentimento” della persona sull'argomento. Permettere  rappresentano la forza del sentimento della persona  che è sconosciuto, per raccogliere informazioni si prende a caso un campione di n da N, si interrogano queste n persone e si ottiene il loro sentimento per calcolare vi

Soluzione

definiamo la funzione dell'indicatore come

quindi possiamo esprimere S come

e la sua aspettativa come

questo dà la varianza come

da

ne ha

conosciamo l'identità

so

quindi la media e la varianza per detta variabile casuale saranno

Conclusione:

La correlazione tra due variabili casuali è definita come covarianza e usando la covarianza si ottiene la somma della varianza per diverse variabili casuali, si ottiene la covarianza e i diversi momenti con l'aiuto della definizione di aspettativa, se si richiedono ulteriori letture passare

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

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Schemi di probabilità e statistica di Schaum

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