Variabile casuale discreta e aspettativa matematica

Di solito non siamo interessati a tutti i possibili risultati di qualsiasi esperimento casuale o non casuale, invece siamo interessati a qualche probabilità o valore numerico per gli eventi favorevoli, ad esempio supponiamo di lanciare due dadi per la somma di 8, quindi non lo siamo interessato al risultato come primo dado con 2 secondi dado come 6 o (3,5), (5,3), (4,4), (6,2), ecc. allo stesso modo per il caso di esperimenti di giacimento nella vita quotidiana non siamo interessati all'aumento o diminuzione giornaliero del livello dell'acqua ma solo al livello dell'acqua della stagione delle piogge dopo il completamento.

Quindi tali quantità numeriche a cui siamo interessati sono considerate come variabili casuali del rispettivo esperimento casuale. A questo scopo assegniamo numericamente i possibili valori reali ai risultati dell'esperimento casuale. Per l'illustrazione dell'assegnazione di un valore numerico al risultato, si consideri l'esperimento del lancio di una moneta, si assegnano i valori numerici 0 e 1 rispettivamente per la testa e la traccia nello spazio campionario dell'esperimento casuale.

Variabile casuale discreta

Variabile casuale discreta possono essere definite come variabili casuali che sono di numero finito o numerabile infinito e quelle che non sono finite o numerabili infinite sono variabili casuali non discrete. Per ogni elemento dello spazio campionario stiamo assegnando un numero reale, questo può essere interpretato in termini di funzione a valore reale denotata da X cioè X: S → R. Chiamiamo questa funzione una variabile casuale o una funzione stocastica, che ha un'importanza fisica, geometrica o di altro tipo.

Esempio: Considera un esperimento di lancio di due dadi, quindi supponi una variabile casuale o funzione stocastica rappresentano la somma dei punti apparsi sui dadi quindi i possibili valori per lo spazio campionario

S={(1,1), (1, 2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

Vedi anche Teoria della probabilità: 9 fatti che dovresti sapere

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

sarà X = 2, per (1,1)

X = 3 per (1,2), (2,1) ecc. Da quanto segue possiamo facilmente capire

X = 2	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
X = 3	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
X = 4	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
X = 5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
X = 6	(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)
X = 7	X = 8	X = 9	X = 10	X = 11		X = 12

Nella tabella sopra gli elementi diagonali da destra a sinistra daranno la somma espressa dalla variabile casuale o funzione stocastica.

La probabilità per la rispettiva variabile casuale può essere espressa come segue

Variabile casuale discreta: lancio di due spazi campione di dadi

Distribuzione discreta della probabilità

Distribuzione discreta di probabilità sono le probabilità delle variabili casuali che sono di natura discreta, in particolare se x₁, X₂, X₃, X₄, ………., X_k sono i valori di variabile casuale discreta X poi P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄), ……… .P (x_k) sono le probabilità corrispondenti.

Funzione di probabilità / distribuzione di probabilità che possiamo indicare come

P (X = x) = f (x)

e seguendo la definizione della probabilità questa funzione soddisfa le seguenti condizioni.

f (x) ≥0
Σ f (x) = 1, dove questa somma è la somma totale per x.

Esempio: Se una moneta viene lanciata due volte, se esprimiamo il numero di tracce come variabile casuale X, allora sarebbe

Risultati	TT	TH	HT	HH
X	2	1	1	0

Se prendiamo la moneta giusta, quanto sopra sarà il risultato per il lancio due volte e la probabilità per tale variabile casuale sarà

P (X = 0) = P (H, H) = 1/4

P (X=1) = P (TH o HT) = P (TH ∪ HT) = P ( TH) + P ( HT)=1/4+1/4=1/2

e P (X=2) = P (TT) =1/4

Questa distribuzione di probabilità possiamo tabulare come segue

X	0	1	2
P (X = x) = f (x)	¼	½	1/4

Funzione di distribuzione cumulativa (cdf) / Funzione di distribuzione

Definiremo Funzione di distribuzione or Funzione di distribuzione cumulativa (cdf) per la variabile casuale discreta X indicata con F (x), per-∞≤x≤∞ come

Vedi anche La distribuzione normale può essere distorta: fatti dettagliati, esempi e domande frequenti

F (x) = P (X≤x)

A condizione che segua

Per ogni x,y , x≤y, F(x) ≤ F(y), cioè la funzione di distribuzione cumulativa F(x) non è decrescente.
F (x) = 0 e F (x) = 1
F (x + h) = F (x), ∀ x es. la funzione di distribuzione cumulativa F (x) è continua a destra.

Dal momento che per il variabile casuale discreta probabilità per X = x è P (X = x), per x₁<X<x₂ sarà P (x₁<X<x₂) e per X≤x è P (X≤x).

Possiamo scrivere la funzione di distribuzione per la funzione di distribuzione discreta come segue

possiamo ottenere la funzione di probabilità dalla funzione di distribuzione come

P (X = x) = f (x) = F (x) -F (u)

Esempio: I probabilità per la variabile casuale discreta è data come segue

X	0	1	2	3	4	5	6	7
P (x)	0	1/10	1/5	1/5	3/10	1/100	1/50	17/100

Funzione di distribuzione cumulativa

Trova F2, F5, F (7)?

Soluzione:

Aspettativa matematica

Aspettativa matematica è un concetto molto importante per il teoria della probabilità oltre che dal punto di vista statistico è noto anche come aspettativa o valore atteso, può essere definito come la somma di variabili casuali e le sue probabilità moltiplicate, ovvero se x₁, X₂, X₃, X₄, ……….X_n sono i valori della variabile casuale discreta X quindi P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄),……….P(xn) sono le probabilità corrispondenti allora aspettativa matematica della variabile casuale X indicato con E(x) come

Esempio: Da un mazzo di 72 carte numerate da 1 a 72 alla volta vengono estratte 8 carte, trova il valore atteso della somma dei numeri sui biglietti estratti.

Soluzione: . considera le variabili casuali x₁, X₂, X₃, X₄,……….X_n che rappresentano le carte numerate 1, 2, 3, 4, ………, 72

quindi la probabilità di qualsiasi x su 72 carte è

P (x_i) = 1 / n = 1/72

da allora l'aspettativa sarà

E (x) = x₁. (1 / n) + x₂. (1 / n) + x₃. (1 / n) + …………… + x_n. (1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

Ora il valore atteso per 8 di queste carte sarà

E (x) = x₁. (1 / n) + x₂. (1 / n) + x₃. (1 / n) + …………… + x₈. (1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

Varianza, Deviazione standard ed Deviazione del significato di Mathematical Expectation

Vedi anche Trigonometria: svelare i segreti dei triangoli

I concetti importanti della statistica deviazione standard ed varianza possiamo esprimere in termini di aspettativa matematica, quindi se le variabili casuali x₁, X₂, X₃, X₄, ……….X_n con le corrispondenti probabilità P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄), ……… .P (x_n) allora la varianza sarà

Esempio: In una partita, se viene utilizzato un dado equo e il giocatore vincerà se i dadi hanno un valore dispari e il premio in denaro riceverà Rs 20 se ne esce 1, Rs 40 per 3 e Rs 60 per 5 e se qualsiasi altra faccia è arrivata la perdita di Rs 10 per il giocatore. trova il denaro atteso che può essere vinto con varianza e deviazione standard.

Soluzione:

Per i dadi giusti conosciamo la distribuzione delle probabilità,

X	1	2	3	4	5	6
P (X = x)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

deviazione standard

Sia X la variabile casuale per la conversione dei dadi secondo il requisito del gioco denaro vinto o perso quando la faccia è come segue,

X	+ 20	all'10 ottobre	40	all'10 ottobre	60	all'10 ottobre
P (X = x)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

deviazione standard

quindi l'importo previsto vinto da qualsiasi giocatore sarà

E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

quindi l'importo previsto vinto da qualsiasi giocatore sarebbe μ = 15

Il risultato dell'aspettativa matematica e della varianza può essere generalizzato per più di due variabili secondo il requisito.

Conclusione:

In questo articolo abbiamo discusso principalmente la variabile casuale discreta, la distribuzione di probabilità e la funzione di distribuzione nota come funzione di distribuzione cumulativa cdf, anche il concetto di Aspettativa matematica per variabile casuale discreta e quale sarebbe la deviazione media, la varianza e la deviazione standard per tale variabile casuale discreta è spiegato con l'aiuto di esempi appropriati nel prossimo articolo discuteremo lo stesso per la variabile casuale continua, se si desidera ulteriori letture, passare attraverso:

Per ulteriori argomenti sulla matematica, segui questo link.

Schemi di probabilità e statistica di Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

DOTT. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Sono il DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ho completato il mio dottorato di ricerca. in Matematica e lavorando come professore assistente in Matematica. Avere 12 anni di esperienza nell'insegnamento. Avere vaste conoscenze in Matematica Pura, precisamente in Algebra. Avere l'immensa capacità di progettare e risolvere problemi. Capace di motivare i candidati a migliorare le loro prestazioni.
Adoro contribuire a Lambdageeks per rendere la matematica semplice, interessante e autoesplicativa sia per i principianti che per gli esperti.