Resistenza alla flessione: 13 fatti interessanti da sapere

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Resistenza alla flessione

"Resistenza alla flessione (σ), riconosciuto anche come Modulo di rottura, o piegare la forza, o resistenza alla rottura trasversale, è una proprietà del materiale, ben definita come la sollecitazione del materiale appena prima che ceda in una prova di flessione. Un campione (sezione trasversale circolare / rettangolare) viene piegato fino alla frattura o allo snervamento utilizzando una prova di flessione a 3 punti. La resistenza alla flessione indica la massima sollecitazione applicata al momento dello snervamento. "

Definizione della resistenza alla flessione

La resistenza alla flessione può essere definita come la normale sollecitazione generata nel materiale a causa della flessione o della flessione del membro in una prova di flessione. Viene valutato impiegando un metodo di piegatura a tre punti in cui un provino di sezione trasversale circolare o rettangolare sta cedendo fino a fratturarsi. È la sollecitazione massima subita al punto di snervamento da quel materiale.

Formula di resistenza alla flessione | Unità di resistenza alla flessione

Si supponga di un provino rettangolare sotto un carico nella configurazione di piegatura a 3 punti:

\\sigma=\\frac{3WL}{2bd^2}

Dove W è la forza nel punto di frattura o cedimento

L è la distanza tra i supporti

b è la larghezza del raggio

d è lo spessore della trave

L'unità di resistenza alla flessione è MPa, Pa ecc.

Allo stesso modo, nella configurazione di piegatura a 4 punti in cui la campata di carico è la metà della campata di supporto

\\sigma=\\frac{3WL}{4bd^2}

Allo stesso modo, nella configurazione di piegatura a 4 punti in cui la campata di carico è 1/3 della campata del supporto

\\sigma=\\frac{WL}{bd^2}

Prova di resistenza alla flessione

Questa prova produce una sollecitazione di trazione sul lato convesso del provino e compressione stress sul lato opposto. Il rapporto tra campata e profondità è controllato per ridurre al minimo lo sforzo di taglio indotto. Per la maggior parte dei materiali viene considerato il rapporto L/d pari a 16.

Rispetto alla prova di flessione a flessione a tre punti, la prova di flessione a flessione a quattro punti rileva l'assenza di forze di taglio nell'area tra i due perni di carico. Pertanto, il test di flessione a quattro punti è più appropriato per materiali fragili che non possono sopportare sollecitazioni di taglio.

Prova di flessione a tre punti ed equazioni

Punto di carico equivalente wL agirà al centro della trave. cioè a L / 2

Resistenza alla flessione
FBD per prova di piegatura

Il valore della reazione in A e B può essere calcolato applicando condizioni di equilibrio di

\\somma F_x=0, \\somma F_y=0, \\somma M_A=0

Per l'equilibrio verticale,

\\somma F_y=0

R_A+R_B = W....[1]

Prendendo un momento attorno ad A, il momento in senso orario è positivo e il momento in senso antiorario è considerato negativo

W*(L/2) - R_B*L = 0

R_B=\\frac{W}{2}

Mettendo il valore di RB in [1], otteniamo

\\\\R_A=W-R_B\\\\ \\\\R_A=W-\\frac{W}{2}\\\\ \\\\R_A=\\frac{W}{2}

A seguito della convenzione sui segni per SFD e BMD

Forza di taglio in A

V_A=R_A=\\frac{W}{2}

Forza di taglio in C

\\\\V_C=R_A-\\frac{W}{2}\\\\ \\\\V_C=\\frac{W}{2}-\\frac{W}{2}=0

Forza di taglio in B

\\\\V_B=R_B=-\\frac{W}{2}

Nel Diagramma del momento flettente, se iniziamo a calcolare il momento flettente da Lato sinistro o estremità sinistra della trave, Momento in senso orario è considerato positivo. Momento antiorario è preso come Negativo.

Momento flettente in A = MA = 0

Momento flettente in C

\\\\M_C=M_A-\\frac{W}{2}*\\frac{L}{2} \\\\ \\\\M_C= 0-\\frac{WL}{4}\\ \\ \\\\M_C=\\frac{-WL}{4}

Momento flettente in B = 0

Nella configurazione di flessione a 3 punti, la resistenza alla flessione è data da

\\sigma=\\frac{3WL}{2bd^2}

Dove W è la forza nel punto di frattura o cedimento

L è la distanza tra i supporti

b è la larghezza del raggio

d è lo spessore della trave

L'unità di resistenza alla flessione è MPa, Pa ecc.

Test di curvatura a quattro punti ed equazioni

Si consideri una trave semplicemente supportata con due carichi W uguali che agiscono a una distanza L / 3 da entrambe le estremità.

picture 11

Il valore della reazione in A e B può essere calcolato applicando condizioni di equilibrio di

\\somma F_x=0, \\somma F_y=0, \\somma M_A=0

Per l'equilibrio verticale,

\\somma F_y=0

R_A+R_B = W....[1]

Prendendo un momento attorno ad A, il momento in senso orario è positivo e il momento in senso antiorario è considerato negativo

W*[L/6] - R_B*L = W[L/3]

R_B=\\frac{W}{2}

Mettendo il valore di RB in [1], otteniamo

\\\\R_A=W-R_B\\\\ \\\\R_A=W-\\frac{W}{2}\\\\ \\\\R_A=\\frac{W}{2}

A seguito della convenzione sui segni per SFD e BMD

Forza di taglio in A

V_A=R_A=\\frac{W}{2}

Forza di taglio in C

\\\\V_C=R_A-\\frac{W}{2}\\\\ \\\\V_C=\\frac{W}{2}-\\frac{W}{2}=0

Forza di taglio in B

\\\\V_B=R_B=-\\frac{W}{2}

Per il diagramma del momento flettente, se iniziamo a calcolare il momento flettente da Lato sinistro o estremità sinistra della trave, Momento in senso orario è considerato positivo. Momento antiorario è preso come Negativo.

Momento flettente in A = MA = 0

Momento flettente in C = [W / 2] * [L / 3] ………………………… [poiché il momento è in senso antiorario, il momento flettente risulta negativo]

Momento flettente in C =

\\\\M_C=\\frac{WL}{6}

Momento flettente in D =

M_D=\\frac{W}{2}*\\frac{2L}{3}-\\frac{W}{2}*\\frac{L}{3}

M_D=\\frac{WL}{6}

Momento flettente in B = 0

Per un provino rettangolare sotto in configurazione di piegatura a 4 punti:

Allo stesso modo, quando la luce di carico è 1/3 della luce di supporto

\\sigma=\\frac{WL}{bd^2}

Nella configurazione di flessione a 4 punti in cui la campata di carico è la metà della campata di supporto

\\sigma=\\frac{3WL}{4bd^2}

Dove W è la forza nel punto di frattura o cedimento

L è la distanza tra i supporti

b è la larghezza del raggio

d è lo spessore della trave

L'unità di resistenza alla flessione è MPa, Pa ecc.

Resistenza alla flessione vs Modulo flessionale

Il modulo di flessione è un rapporto tra lo stress indotto durante la flessione flessionale e lo sforzo durante la deformazione in flessione. È la proprietà o la capacità del materiale di resistere alla flessione. In confronto, la resistenza alla flessione può essere definita come la normale sollecitazione generata nel materiale a causa della flessione o della flessione del membro in una prova di flessione. Viene valutato utilizzando il metodo di piegatura a tre punti in cui un provino di sezione trasversale circolare o rettangolare viene piegato fino a fratturarsi o cedere. È la sollecitazione massima subita dal materiale al punto di snervamento.

Supponiamo che una trave a sezione trasversale rettangolare fatta di materiale isotropo, W sia la forza applicata al centro della trave, L è la lunghezza della trave, b è la larghezza della trave, d è lo spessore della trave. δ essere una deviazione del raggio

Per la configurazione della piegatura a 3 punti:

Il modulo a flessione può essere dato da

E_{piega}=\\frac{\\sigma }{\\epsilon }

E_{piega}=\\frac{WL^3 }{4bd^3\\delta }

per una trave semplicemente appoggiata con carico al centro, la freccia della trave può essere data da

\\delta =\\frac{WL^3}{48EI}

Resistenza alla flessione vs resistenza alla trazione

La resistenza alla trazione è la massima sollecitazione di trazione che un materiale può sopportare sotto carico di trazione. È proprietà del materiale. È indipendente dalla forma del campione. Viene influenzato dallo spessore del materiale, dalle tacche, dalle strutture cristalline interne ecc.

La resistenza alla flessione non è proprietà del materiale. È la normale sollecitazione generata nel materiale a causa della flessione o della flessione del membro in una prova di flessione. Dipende dalle dimensioni e dalla forma del campione. Il seguente esempio spiegherà ulteriormente:

Si consideri una trave a sezione quadrata e una trave a sezione diamantata con lati 'a'e momento flettente M

Per una trave a sezione quadrata

Dall’equazione di Eulero-Bernoulli

\\\\M=\\frac{\\sigma I/y}{y}\\\\ \\\\Z=\\frac{I}{y}\\\\ \\\\M_1=\ \frac{\\sigma _1 a^3}{6}

Per una trave a sezione diamantata

\\\\I=\\frac{bd^3}{12}*2\\\\ \\\\I=\\sqrt{2}a*[\\frac{a}{\\sqrt{2 }}]^3*\\frac{2}{12}\\\\\\\\ \\\\Z=\\frac{I}{y}=\\frac{a^3}{6\ \sqrt{a}}\\\\\\\\ \\\\M_2=\\frac{\\sigma _2 a^3}{6\\sqrt{a}}

Ma M1 =M2

\\\\\\frac{\\sigma _1 a^3}{6}=\\frac{\\sigma _2 a^3}{6\\sqrt{a}} \\\\\\\\\ \sigma _2= \\sqrt{2}\\sigma _1 \\\\\\sigma _2>\\sigma _1

Resistenza alla flessione del calcestruzzo

Procedura per la valutazione della resistenza alla flessione del calcestruzzo

  1. Considerare qualsiasi grado di calcestruzzo desiderato e preparare un campione non rinforzato di dimensioni 12 x 4 x 4 pollici. Curare la soluzione preparata per 26-28 giorni.
  2. Prima di eseguire il test di flessione, lasciare riposare il campione in acqua a 25 ° C per 48 ore.
  3. Eseguire immediatamente la prova di piegatura sul provino mentre è bagnato. [Subito dopo aver rimosso il campione dall'acqua]
  4. Per indicare la posizione del supporto del rullo, tracciare una linea di riferimento a 2 pollici da entrambi i bordi del provino.
  5. I supporti del rullo agiscono come una trave semplicemente supportata. L'applicazione graduale del carico viene effettuata sull'asse della trave.
  6. Il carico viene aumentato continuamente finché la sollecitazione nella fibra estrema della trave non aumenta alla velocità di 98 lb./sq. in / min.
  7. Il carico viene applicato continuamente fino a quando il provino di prova si rompe e viene registrato il valore di carico massimo.

Nella configurazione di flessione a 3 punti, la resistenza alla flessione è data da

\\sigma=\\frac{3WL}{2bd^2}

Dove W è la forza nel punto di frattura o cedimento

L è la distanza tra i supporti

b è la larghezza del raggio

d è lo spessore della trave

L'unità di resistenza alla flessione è MPa, Pa ecc.

La resistenza alla flessione è quasi = 0.7 volte la resistenza alla compressione del calcestruzzo.

Resistenza alla flessione dell'acciaio

Considera una trave in acciaio con larghezza = 150 mm, profondità = 150 mm e lunghezza = 700 mm, il carico applicato è di 50 kN e trova la tensione di flessione della trave della trave?

Nella configurazione di flessione a 3 punti, la sollecitazione di flessione è data da

\\\\\\sigma=\\frac{3WL}{2bd^2} \\\\\\\\\\sigma=\\frac{3*50*10^3*0.7}{2*0.15*0.15^2} \\\\\\\\\\sigma=15.55\\;MPa

Resistenza alla flessione dell'alluminio

La resistenza alla flessione dell'alluminio di grado 6061 è di 299 MPa.

Resistenza alla flessione del legno

La tabella seguente mostra la resistenza alla flessione dei vari tipi di legno.

Tipo di legnoResistenza alla flessione [MPa]
Alder67.56 MPa
Cenere103.42 MPa
Pioppo tremolo57.91 MPa
Tiglio59.98 MPa
Faggio102.73 MPa
Betulla, giallo114.45 MPa
Butternut55.84 MPa
ciliegia84.80 MPa
Castagna59.29 MPa
Olmo81.35 MPa
Hickory139.27 MPa

Resistenza alla flessione di un cilindro

Si consideri una trave semplicemente supportata con due carichi W / 2 uguali che agiscono a una distanza L / 3 da entrambe le estremità.

picture 11

Il valore della reazione in A e B può essere calcolato applicando condizioni di equilibrio di

\\somma F_x=0, \\somma F_y=0, \\somma M_A=0

Per l'equilibrio verticale,

\\somma F_y=0

R_A+R_B = W....[1]

Prendendo un momento attorno ad A, il momento in senso orario è positivo e il momento in senso antiorario è considerato negativo

W*[L/6] - R_B*L = W[L/3]

R_B=\\frac{W}{2}

Mettendo il valore di RB in [1], otteniamo

\\\\R_A=W-R_B\\\\ \\\\R_A=W-\\frac{W}{2}\\\\ \\\\R_A=\\frac{W}{2}

A seguito della convenzione sui segni per SFD e BMD

Forza di taglio in A

V_A=R_A=\\frac{W}{2}

Forza di taglio in C

\\\\V_C=R_A-\\frac{W}{2}\\\\ \\\\V_C=\\frac{W}{2}-\\frac{W}{2}=0

Forza di taglio in B

\\\\V_B=R_B=-\\frac{W}{2}

Per il diagramma del momento flettente, se iniziamo a calcolare il momento flettente da Lato sinistro o estremità sinistra della trave, Momento in senso orario è considerato positivo. Momento antiorario è preso come Negativo.

Momento flettente in A = MA = 0

Momento flettente in C = [W / 2] * [L / 3] ………………………… [poiché il momento è in senso antiorario, il momento flettente risulta negativo]

Momento flettente in C =

\\\\M_C=\\frac{WL}{6}

Momento flettente in D =

M_D=\\frac{W}{2}*\\frac{2L}{3}-\\frac{W}{2}*\\frac{L}{3}

M_D=\\frac{WL}{6}

Momento flettente in B = 0

Sia d = diametro della trave cilindrica, secondo l'equazione di Eulero-Bernoulli

\\\\\\sigma =\\frac{Mio}{I}\\\\ \\\\I=\\frac{\\pi}{64}d^4, \\\\\\\\ y=d/2 \\\\\\\\\\sigma =\\frac{1.697WL}{d^3}

Trova la tensione di flessione nella trave cilindrica circolare con luce di 10 me diametro 50 mm. La trave è in alluminio. Confrontare il risultato con una trave di sezione quadrata con lato = 50 mm. Il carico totale applicato è di 70 N.

Si consideri una trave semplicemente supportata con due carichi uguali W / 2 = 35 N che agiscono a una distanza L / 3 da entrambe le estremità.

picture 12

Il valore della reazione in A e B può essere calcolato applicando condizioni di equilibrio di

\\somma F_x=0, \\somma F_y=0, \\somma M_A=0

Per l'equilibrio verticale,

\\somma F_y=0

R_A+R_B = 70...................[1]

Prendendo un momento attorno ad A, il momento in senso orario è positivo e il momento in senso antiorario è considerato negativo

W*[L/6] - R_B*L = W[L/3]

R_B=\\frac{W}{2}=35

Mettendo il valore di RB in [1], otteniamo

\\\\R_A=W-R_B\\\\ \\\\R_A=W-\\frac{W}{2}\\\\ \\\\R_A=70-35=35N

A seguito della convenzione sui segni per SFD e BMD

Forza di taglio in A

V_A=R_A=\\frac{W}{2}=35 N

Forza di taglio in C

\\\\V_C=R_A-\\frac{W}{2}\\\\ \\\\V_C=\\frac{W}{2}-\\frac{W}{2}=0

Forza di taglio in B

\\\\V_B=R_B=-\\frac{W}{2}=-35N

Per il diagramma del momento flettente, se iniziamo a calcolare il momento flettente da Lato sinistro o estremità sinistra della trave, Momento in senso orario è considerato positivo. Momento antiorario è preso come Negativo.

Momento flettente in A = MA = 0

Momento flettente in C = [W / 2] * [L / 3] ………………………… [poiché il momento è in senso antiorario, il momento flettente risulta negativo]

Momento flettente in C =

\\\\M_C=\\frac{WL}{6}=\\frac{70*10}{6}=125\\;Nm

Momento flettente in D =

M_D=\\frac{W}{2}*\\frac{2L}{3}-\\frac{W}{2}*\\frac{L}{3}

M_D=\\frac{WL}{6}=\\frac{70*10}{6}=125\\;Nm

Momento flettente in B = 0

Sia d = diametro della trave cilindrica, secondo l'equazione di Eulero-Bernoulli

\\\\\\sigma =\\frac{My}{I}\\\\ \\\\I=\\frac{\\pi}{64}d^4=\\frac{\\pi}{64}*0.05^4=3.067*10^{-7}\\;m^4, \\\\\\\\y=0.05/2=0.025\\;m

\\\\\\sigma =\\frac{125*0.025}{3.067*10^{-7}}=10.189\\;MPa

Per un provino quadrato: con lato =d = 50mm

\\\\\\sigma =\\frac{Mia}{I}\\\\ \\\\\\sigma = \\frac{M(d/2)}{d^4/12} \\\ \ \\\\\\sigma =\\frac{6M}{d^3} \\\\ \\\\\\sigma =\\frac{6*125}{0.05^3}\\\\ \ \\\\\sigma =6 \\;MPa

Alcune importanti domande frequenti.

Q.1) Cosa significa alta resistenza alla flessione?

Risposta: Si considera che un materiale possieda un'elevata resistenza alla flessione, se sopporta un'elevata quantità di sollecitazioni in condizioni di flessione o flessione senza cedimenti in una prova di flessione.

Q.2) Perché la resistenza alla flessione è superiore alla resistenza alla trazione?

 Risposta: Durante la prova di flessione, le fibre estreme della trave subiscono la massima sollecitazione (la fibra superiore subisce una sollecitazione di compressione e la fibra inferiore subisce una sollecitazione di trazione). Se le fibre estreme sono prive di qualsiasi difetto, la resistenza alla flessione dipenderà dalla forza delle fibre che devono ancora cedere. Tuttavia, quando il carico di trazione viene applicato a un materiale, tutte le fibre subiscono la stessa quantità di sollecitazione e il materiale cederà al cedimento della fibra più debole che raggiunge il suo valore di resistenza alla trazione finale. Pertanto, nella maggior parte dei casi la resistenza alla flessione è superiore alla resistenza alla trazione di un materiale.

Q.3) Qual è la differenza tra flessione e flessione?

Risposta: In caso di flessione flessionale, secondo la teoria della flessione semplice, la sezione trasversale del piano rimane piana prima e dopo la flessione. Il momento flettente generato agisce lungo l'intera campata della trave. nessuna forza risultante agisce perpendicolarmente alla sezione trasversale della trave. quindi, la forza di taglio lungo la trave è zero e qualsiasi sollecitazione indotta è dovuta esclusivamente all'effetto di flessione. Nella flessione non uniforme, la forza risultante agisce perpendicolarmente alla sezione trasversale della trave e anche il momento flettente varia lungo la campata.

Q.4) Perché è importante la resistenza alla flessione?

Risposta: L'elevata resistenza alla flessione è fondamentale per materiali o componenti soggetti a sollecitazioni, quando vengono applicate sollecitazioni elevate al componente o al materiale. La resistenza alla flessione aiuta anche a determinare le indicazioni per quale tipo di materiale può essere utilizzato per applicazioni ad alta pressione. L'elevata resistenza alla flessione del materiale influisce anche sullo spessore delle pareti del componente. Un materiale ad alta resistenza consente un basso spessore della parete. Un materiale che fornisce un'elevata resistenza alla flessione e un'elevata tenacità alla frattura consente di produrre pareti di spessore molto sottile ed è quindi ideale per opzioni di trattamento mininvasive.

Q.5) trova la resistenza alla flessione dalla curva di sforzo-deformazione?

Risposta: La resistenza alla flessione può essere definita come la massima sollecitazione applicata sulla curva di deformazione della sollecitazione. L'assorbimento di energia da parte del materiale prima della rottura potrebbe essere stimato per area sotto la curva sforzo-deformazione.

Q.6) Fornire la massima resistenza alla flessione del calcestruzzo di grado M30?

Risposta: La resistenza alla compressione del calcestruzzo di grado M30 è 30 MPa. La relazione tra resistenza a flessione e resistenza a compressione può essere data da:

\\\\\\sigma_f =0.7\\quadrato{\\sigma_c}

. Pertanto, la massima resistenza alla flessione del calcestruzzo di grado M30 è:

\\\\\\sigma_f =0.7\\sqrt{30}=3.83\\;MPa

Q.7) Perché la deformazione massima a compressione nel calcestruzzo nella prova di flessione è 0.0035, non più o meno, mentre la deformazione a rottura nel calcestruzzo varia da 0.003 a 0.005?

Ans: Per il calcolo teorico della massima deformazione di compressione nel calcestruzzo nella prova di flessione, consideriamo tutti i presupposti della semplice teoria della flessione. Durante la sperimentazione pratica, vari fattori come difetto nel materiale, sezione trasversale irregolare, ecc. Influenzano la deformazione a compressione nel calcestruzzo durante la prova di flessione. Pertanto, la deformazione massima a compressione nel calcestruzzo nella prova di flessione è 0.0035, non più o meno, mentre la deformazione a rottura nel calcestruzzo varia da 0.003 a 0.005.

Q.8) Se vengono posizionate barre d'armatura aggiuntive sul lato di compressione di una trave in cemento armato. Questo migliora la resistenza alla flessione della trave?

Risposta: L'aggiunta di barre d'armatura extra fornisce una forza aggiuntiva alla resistenza alla compressione della trave, specialmente nel punto in cui si verificano i momenti positivi. Lo scopo delle barre di rinforzo è quello di prevenire cedimenti da trazione come il momento flettente, poiché il calcestruzzo è debole nel carico di trazione. Se la trave è di alto spessore insieme a barre di rinforzo, le barre di acciaio si comportano esclusivamente come elemento di resistenza alla trazione mentre il calcestruzzo fornisce resistenza a compressione.

Q.9) Cosa accadrebbe alla resistenza alla flessione di una trave in calcestruzzo se le sue dimensioni fossero dimezzate?

Ans: per una trave a sezione trasversale rettangolare,

Nella configurazione di flessione a 3 punti, la resistenza alla flessione è data da

\\\\\\sigma =\\frac{3WL}{2bd^2} \\\\\\\\\\sigma =\\frac{1.5WL}{bd^2}

Se le dimensioni sono dimezzate
B = b / 2, D = d / 2

\\\\\\sigma_1 =\\frac{3WL}{2BD^2} \\\\\\\\\\sigma_1 =\\frac{3WL}{2\\frac{b}{2}*\\frac{d^2}{4}}

\\\\\\sigma_1 =\\frac{12WL}{bd^2}

\\\\\\sigma_1 >\\sigma

Se le dimensioni sono dimezzate, la resistenza alla flessione è aumentata di 8 volte per un materiale a sezione trasversale rettangolare.

Q.10) Cos'è il modulo di rottura?

Ans: Il modulo di flessione è un rapporto tra lo stress indotto durante la flessione flessionale e lo sforzo durante la deformazione in flessione. È la proprietà o la capacità del materiale di resistere alla flessione.

Per sapere di Simply Supported Beam (clicca qui)e trave a sbalzo (Clicca qui.)

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