Famiglia esponenziale di distribuzione gamma: 21 fatti importanti


del Pacco

  1. Forma speciale di distribuzioni gamma e relazioni di distribuzione gamma
  2. Famiglia esponenziale di distribuzione gamma
  3. Relazione tra gamma e distribuzione normale
  4. Distribuzione gamma di Poisson | binomio negativo di distribuzione gamma di poisson
  5. Distribuzione gamma di Weibull
  6. Applicazione della distribuzione gamma nella vita reale | usi della distribuzione gamma | applicazione della distribuzione gamma in statistica 
  7. Distribuzione beta gamma | relazione tra distribuzione gamma e beta
  8. Distribuzione gamma bivariata
  9. Doppia distribuzione gamma
  10. Relazione tra gamma e distribuzione esponenziale | distribuzione esponenziale e gamma | distribuzione esponenziale gamma
  11. Adatta la distribuzione gamma
  12. Distribuzione gamma spostata
  13. Distribuzione gamma troncata
  14. Funzione di sopravvivenza della distribuzione gamma
  15. MLE di distribuzione gamma | distribuzione gamma di massima verosimiglianza | funzione di verosimiglianza della distribuzione gamma
  16. Metodo di stima dei momenti dei parametri di distribuzione gamma | metodo della distribuzione gamma dello stimatore di momenti
  17. Intervallo di confidenza per la distribuzione gamma
  18. Coniugato per distribuzione gamma per distribuzione esponenziale | distribuzione a priori gamma | distribuzione posteriore poisson gamma
  19. Funzione quantile di distribuzione gamma
  20. Distribuzione gamma generalizzata
  21. Distribuzione gamma generalizzata beta

Forma speciale di distribuzioni gamma e relazioni di distribuzione gamma

  In questo articolo discuteremo le forme speciali di distribuzioni gamma e le relazioni della distribuzione gamma con diverse variabili casuali continue e discrete, inoltre vengono discussi brevemente alcuni metodi di stima nel campionamento della popolazione che utilizza la distribuzione gamma.

Famiglia esponenziale di distribuzione gamma

  La famiglia esponenziale della distribuzione gamma ed è una famiglia esponenziale a due parametri che è una famiglia di distribuzione ampiamente applicabile poiché la maggior parte dei problemi della vita reale può essere modellata nella famiglia esponenziale della distribuzione gamma e il calcolo rapido e utile all'interno della famiglia esponenziale può essere fatto facilmente nei due parametri se prendiamo la funzione di densità di probabilità come

[latex]\frac{e^{-\lambda /x}x^{\alpha -1}}{\lambda ^{\alpha }\Gamma (\alpha )}I_{x}> 0[/latex]

se restringiamo il valore noto di α (alfa) questa famiglia di due parametri si ridurrà a una famiglia esponenziale di un parametro

[latex]f(x/\lambda )=e^{-\lambda /x}-a \ \ log\lambda \frac{x^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha) }I_{x }> 0[/latex]

e per λ (lambda)

[latex]f(x|\alpha )=e^{\alpha logx -a(log\lambda)}- log{\Gamma(\alpha) } e^{-\frac{x}{\lambda }}I_ {x}> 0[/latex]

Relazione tra gamma e distribuzione normale

  Nella funzione di densità di probabilità della distribuzione gamma se prendiamo alfa più vicino a 50 avremo la natura della funzione di densità come

Famiglia esponenziale di distribuzione gamma
Famiglia esponenziale di distribuzione gamma

anche il parametro di forma nella distribuzione gamma che stiamo aumentando, il che risulta in somiglianza della distribuzione normale curva normale, se tendiamo il parametro di forma alfa tende all'infinito la distribuzione gamma sarà più simmetrica e normale ma poiché alfa tende all'infinito valore di x in gamma la distribuzione tenderà a meno infinito, il che si tradurrà in un supporto semi infinito della distribuzione gamma infinita, quindi anche la distribuzione gamma diventa simmetrica ma non uguale alla distribuzione normale.

distribuzione gamma di poisson | binomio negativo di distribuzione gamma di poisson

   La distribuzione gamma di Poisson e la distribuzione binomiale sono la variabile casuale discreta la cui variabile casuale si occupa dei valori discreti specificamente successo e fallimento sotto forma di prove di Bernoulli che danno solo come risultato successo o fallimento casuale, ora anche la miscela di Poisson e distribuzione gamma nota come distribuzione binomiale negativa è il risultato del processo ripetuto del processo di Bernoulli, questo può essere parametrizzato in modo diverso come se il successo r-esimo si verifica in un numero di prove, allora può essere parametrizzato come

[latex]P(X_{1}=x|p,r)=\binom{x-1}{r-1}p^{r}(1-p)^{xr}[/latex]

e se il numero di fallimenti prima del r-esimo successo, allora può essere parametrizzato come

[latex]P(X_{2}=x|p,r)=\binom{x+r-1}{x}p^{r}(1-p)^{x}[/latex]

e considerando i valori di r e p

[latex]r=\frac{\mu^{2}}{\sigma ^{2}-\mu}[/latex]

[latex]p=\frac{r}{r+\mu}[/latex]

la forma generale della parametrizzazione per la distribuzione gamma binomiale o poisson negativa è

[latex]P(X=x)=\binom{x+r-1}{x}p^{r}(1-p)^{x} \ \ x=0,1,2,…[/latex ]

e l'alternativa è

[latex]P(X=x)=\binom{x+r-1}{x} \left ( \frac{\alpha }{\alpha +1} \right )^{r} \left ( \frac{ 1}{\alpha +1} \right )^{x} \ \ x=0,1,2,…[/latex]

questa distribuzione binomiale è nota come negativa a causa del coefficiente

[latex]\binom{x+r-1}{x} =\frac{(x+r-1)(x+r-2)….r}{x!} \ = (-1)^{x }\frac{(-r-(x-1))(-r-(x-2))…..(-r)}{x!} \ = (-1)^{x}\frac{( -r)(-r-1)…. -r-(x-1))}{x!} \ =(-1)^{x}\binom{-r}{x}[/latex]

e questa distribuzione binomiale negativa o gamma di poisson è ben definita come la probabilità totale che otterremo come una per questa distribuzione

[latex]1=p^{r}p^{-r} \ =p^{r}(1-q)^{-r} \ =p^{r} \sum_{0}^{\infty} \binom{-r}{x}(-q)^{x} \ =p^{r} \sum_{0}^{\infty} (-1)^{x} \binom{-r}{x }(q)^{x} \ =\sum_{0}^{\infty} \binom{x+r-1}{x}p^{r}q^{x} \[/latex]

La media e la varianza per questa distribuzione gamma binomiale o poisson negativa sono

[latex]E(X)=\frac{r(1-p)}{p}[/latex]

[latex]var(X)=\frac{r(1-p)}{p^{2}}[/latex]

la relazione di poisson e gamma possiamo ottenere dal seguente calcolo

[latex]P(X=x)=\frac{1}{\Gamma (\alpha) \beta ^{\alpha }}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda } \lambda ^{x}}{x!}\lambda ^{\alpha -1}e^{-\lambda /\beta } d\lambda[/latex]

[latex]=\frac{1}{x!\Gamma (\alpha)\beta ^{\alpha }}\int_{0}^{\infty}\lambda ^{\alpha +x-1}e^{ -\lambda (1+1/\beta )}d\lambda[/latex]

[latex]=\frac{1}{\Gamma (x+1)\Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha }} \Gamma (\alpha +x)\left ( \frac{\beta }{\ beta +1} \right )^{\alpha +x}[/latex]

[latex]=\binom{\alpha +x-1}{x}\left ( \frac{1}{\beta +1} \right )^{\alpha } \left ( 1-\frac{1}{ \beta +1} \right )^{x}[/latex]

Quindi il binomio negativo è la miscela di distribuzione Poisson e gamma e questa distribuzione viene utilizzata nella modellazione dei problemi quotidiani in cui è richiesta una miscela discreta e continua.

Famiglia esponenziale di distribuzione gamma
Famiglia esponenziale di distribuzione gamma

Distribuzione gamma di Weibull

   Ci sono generalizzazioni della distribuzione esponenziale che coinvolgono Weibull così come la distribuzione gamma poiché la distribuzione di Weibull ha la funzione di densità di probabilità come

[latex]f(x) = \begin{casi} \ 0 & x \leq v \ \\ \frac{\beta }{\alpha}\left ( \frac{xv}{\alpha } \right )^{ \beta -1} exp{{ -\left ( \frac{xv}{\alpha } \right )^{\beta }}} &\ x > v \end{cases}[/latex]

e funzione di distribuzione cumulativa come

[latex]F(x) = \begin{casi} \ 0 &\ x \leq v \\ \ 1- exp { -\left ( \frac{xv}{\alpha } \right )^{\beta } } & \ x > v \end{casi}[/latex]

dove come pdf e cdf della distribuzione gamma è già stato discusso sopra la connessione principale tra Weibull e distribuzione gamma è entrambe sono generalizzazioni della distribuzione esponenziale la differenza tra loro è quando la potenza della variabile è maggiore di uno, allora la distribuzione di Weibull dà risultati rapidi mentre per meno di 1 gamma dà risultati rapidi.

     Non discuteremo qui la distribuzione gamma di Weibull generalizzata che richiede una discussione separata.

applicazione della distribuzione gamma nella vita reale | usi della distribuzione gamma | applicazione della distribuzione gamma in statistica 

  Esistono numerose applicazioni in cui la distribuzione gamma viene utilizzata per modellare la situazione come il risarcimento assicurativo per aggregare, l'accumulo di precipitazioni, per qualsiasi prodotto la sua produzione e distribuzione, la folla su un Web specifico e nello scambio di telecomunicazioni ecc. In realtà la distribuzione gamma fornisce il tempo di attesa predizione al prossimo evento per l'ennesimo evento. Ci sono numerose applicazioni della distribuzione gamma nella vita reale.

distribuzione beta gamma | relazione tra distribuzione gamma e beta

    La distribuzione beta è la variabile casuale con la funzione di densità di probabilità

[latex]f(x) = \begin{casi} \ \frac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1} &\ 0< x < 1 \\ \ 0 &\ altrimenti \end{cases}[/latex]

where

[latex]B(a,b)= \int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1} dx[/latex]

che ha la relazione con la funzione gamma come

[latex]B(a,b)= \frac{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}[/latex]

e la distribuzione beta correlata alla distribuzione gamma come se X fosse una distribuzione gamma con i parametri alfa e beta come uno e Y la distribuzione gamma con il parametro alfa come uno e beta allora la variabile casuale X / (X + Y) è la distribuzione beta.

o Se X è Gamma (α, 1) e Y è Gamma (1, β), la variabile casuale X / (X + Y) è Beta (α, β) 

e anche

[latex]\mathbf{\lim_{n \to \infty} nB(k,n) =\Gamma (k,1)}[/latex]

distribuzione gamma bivariata

     Una variabile casuale bidimensionale o bivariata è continua se esiste una funzione f (x, y) tale che la funzione di distribuzione congiunta

[latex]F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\left [ \int_{-\infty}^{y}f(u,v) dv \right ]du[/latex]

where

[latex]F(+\infty,+\infty)=\lim_{x \to +\infty, y \to +\infty } \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^ {y} f(u,v)dvdu[/latex]

[latex]= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(u,v)dvdu =1[/latex]

e la funzione di densità di probabilità congiunta ottenuta da

[latex]\frac{\parziale^2 F(x,y)}{\parziale x \parziale y }= f(x,y)[/latex]

ci sono numero di distribuzione gamma bivariata uno di loro è la distribuzione gamma bivariata con funzione di densità di probabilità come

[latex]f(x,y)=\frac{\beta ^{\alpha +\gamma }}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\gamma )}x^{\alpha -1}(yx)^ {\gamma -1}e^{-\beta y}, \ \ 0< x 0[/latex]

doppia distribuzione gamma

  La distribuzione gamma doppia è una delle distribuzioni bivariate con variabili casuali gamma aventi parametro alfa e una con funzione densità di probabilità congiunta come

[latex]f_{Y_{1}{Y_{2}}}(y_{1},y_{2})=\frac{1}{\Gamma (\alpha {1})\Gamma (\alfa {2})}y_{1}^{\alpha_{1} -1}y_{2}^{\alpha_{2} -1} exp(-y_{1} -y_{2}), y_{1 }> 0, y_{2}> 0[/latex]

questa densità forma la doppia distribuzione gamma con le rispettive variabili casuali e la funzione di generazione del momento per la doppia distribuzione gamma è

[latex]\mathbf{M_{Y_{1}Y_{2}(t,s)}=\left ( \frac{1}{1-t} \right )^{\alpha {1}} \left (\frac{1}{1-s} \right )^{\alpha {2}} }[/latex]

relazione tra gamma e distribuzione esponenziale | distribuzione esponenziale e gamma | distribuzione esponenziale gamma

   poiché la distribuzione esponenziale è la distribuzione con la funzione di densità di probabilità

[latex]f(x) = \begin{cases} \ \lambda e^{-\lambda x} &\ if \ \ x\geq 0 \ \ 0 &\ \ \ if x< 0 \end{cases}[ /lattice]

e la distribuzione gamma ha la funzione di densità di probabilità

[latex]f(x) = \begin{casi} \frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha -1}}{\tau (\alpha )} &\ x \geq 0 \ \ 0 &\ x < 0 \end{casi}[/latex]

chiaramente il valore di alfa se lo mettiamo come uno avremo la distribuzione esponenziale, cioè la distribuzione gamma non è altro che la generalizzazione della distribuzione esponenziale, che prevede il tempo di attesa fino al verificarsi del prossimo ennesimo evento mentre la distribuzione esponenziale predice l'attesa tempo fino al verificarsi del prossimo evento.

adatta la distribuzione gamma

   Per quanto riguarda l'adattamento dei dati forniti sotto forma di distribuzione gamma, significa trovare la funzione di densità di probabilità a due parametri che coinvolgono i parametri di forma, posizione e scala, quindi trovare questi parametri con applicazioni diverse e calcolare la media, la varianza, la deviazione standard e la funzione di generazione del momento è l'adattamento della distribuzione gamma, poiché diversi problemi della vita reale saranno modellati nella distribuzione gamma, quindi le informazioni secondo la situazione devono essere adatte alla distribuzione gamma per questo scopo sono già presenti varie tecniche in vari ambienti, ad esempio in R, Matlab, excel ecc.

distribuzione gamma spostata

     Ci sono secondo l'applicazione e la necessità ogni volta che il requisito di spostare la distribuzione richiesta dalla distribuzione gamma a due parametri, i nuovi tre parametri generalizzati o qualsiasi altra distribuzione gamma generalizzata spostano la posizione e la scala della forma, tale distribuzione gamma è nota come distribuzione gamma spostata

distribuzione gamma troncata

     Se restringiamo l'intervallo o il dominio della distribuzione gamma per la scala della forma e i parametri di posizione, la distribuzione gamma limitata è nota come distribuzione gamma troncata in base alle condizioni.

funzione di sopravvivenza della distribuzione gamma

                La funzione di sopravvivenza per la distribuzione gamma è definita la funzione s (x) come segue

[latex]S(x)=1-\frac{\Gamma_{x} (\gamma )}{\Gamma (\gamma )} \ \ x\geq 0 ; \gamma > 0 \ dove \ \ \Gamma_{x}(a) =\int_{0}^{x} t^{a-1}e^{-t} dt[/latex]

mle di distribuzione gamma | distribuzione gamma di massima verosimiglianza | funzione di verosimiglianza della distribuzione gamma

sappiamo che la massima verosimiglianza prende il campione dalla popolazione come rappresentativo e questo campione lo considera come stimatore per la funzione di densità di probabilità da massimizzare per i parametri della funzione di densità, prima di passare alla distribuzione gamma richiama alcune basi come per la variabile casuale X la funzione di densità di probabilità con theta come parametro ha funzione di verosimiglianza come

[latex]L(\theta ; x_{1},x_{2},…….x_{n}) =f_{\theta }(x_{1}, x_{2},……x_{n} ) ,[/lattice]

questo possiamo esprimere come

[latex]L(\theta ; x_{1},x_{2},…….x_{n}) =\prod_{i=1}^{n}f\theta (x_{i})[/latex ]

e il metodo per massimizzare questa funzione di verosimiglianza può essere

[latex]L(\theta ; x_{1},x_{2},…….x_{n}) =sup_{(\theta \in \theta )} L(\theta ; x_{1},x_{ 2},…….x_{n})[/latex]

se tale theta soddisfa questa equazione, e poiché log è una funzione monotona, possiamo scrivere in termini di log

[latex]logL(\theta ; x_{1},x_{2},…….x_{n}) =sup_{(\theta \in \theta )} log L(\theta ; x_{1},x_ {2},…….x_{n})[/latex]

e un tale supremum esiste se

[latex]{\frac{\partial logL(\hat{\theta; x_{1}…..x_{n} }) }{\partial \theta_{j} }}=0, \ \ j=1,2, XNUMX,…k, \ \ \theta =(\theta {1}, …..\teta {k})[/latex]

ora applichiamo la massima verosimiglianza per la funzione di distribuzione gamma come

[latex]f(x | \alpha ,\beta )=\prod_{i=1}^{n}f(x_{i} | \alpha ,\beta )=\left ( \frac{\beta ^{\ alpha }}{\Gamma (\alpha )} \right )^{n}\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha -1} exp(-\beta x_{i}) \propto \beta ^{n\alpha } exp\left ( -\beta \sum_{i=1}^{n}x_{i} \right )[/latex]

la probabilità logaritmica della funzione sarà

[latex]\imath (\beta | \alpha ,x) \propto n\alpha log\beta -\beta n \bar{x} \propto \alpha log\beta – \bar{x} \beta[/latex]

così è

[latex]0=\frac{\partial l}{\partial \beta } =\frac{\alpha }{\beta } -\bar{x},[/latex]

e quindi

[latex]\hat{\beta }= \frac{\alpha }{\bar{x}}[/latex]

Questo può essere ottenuto anche come

[latex]\textbf{L}(\alpha ,\beta | x)=\left ( \frac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )} x_{1}^{\alpha -1 } e^{-\beta x_{1}} \right )……..\left ( \frac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )} x_{n}^{\alpha - 1} e^{-\beta x_{n}} \right ) =\left ( \frac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )} \right)^{n} (x_{1 } (x_{2}……(x_{n})^{\alpha -1} e^{-\beta }(x_{1}+x_{2}+……x_{n})[/latex]

by

[latex]In\textbf{L}(\alpha ,\beta | x)=n(\alpha In\beta -In\Gamma (\alpha ))+(\alpha -1)\sum_{i=1}^ {n} Inx_{i} -\beta \sum_{i=1}^{n}x_{i}[/latex]

e il parametro può essere ottenuto differenziando

[latex]\frac{\partial }{\partial \alpha }In\textbf{L}(\hat{\alpha }, \hat{\beta } |x)=n(In\hat{\beta }-\ frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \alpha } In\Gamma (\hat{\alpha }))+\sum_{i=1}^{n} x_{i}=0[/latex ]

[latex]\frac{\partial }{\partial \beta }In\textbf{L}(\hat{\alpha }, \hat{\beta } |x)=n \frac{\hat{\alpha }} {\hat{\beta }} -\sum_{i=1}^{n}x_{i}=0 \ \ o \ \ \bar{x}=\frac{\hat{\alpha }}{\hat {\beta }}[/latex]

[latex]n(In \hat{\alpha } -In\hat{x} -\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \alpha } In\Gamma (\hat{\alpha }) ) +\sum_{i=1}^{n} Inx_{i}=0[/latex]

metodo di stima dei parametri di distribuzione gamma dei momenti | metodo della distribuzione gamma dello stimatore di momenti

   Possiamo calcolare i momenti della popolazione e del campione con l'aiuto dell'aspettativa di ordine n-esimo rispettivamente, il metodo del momento equipara questi momenti di distribuzione e campione per stimare i parametri, supponiamo di avere un campione di variabile casuale gamma con la funzione di densità di probabilità come

[latex]f(x|\alpha ,\lambda )=\frac{\lambda ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}x^{\alpha -1}e^{-\lambda x} , \ \ x\geq 0[/latex]

sappiamo che i primi momenti di rimorchio per questa funzione di densità di probabilità sono

[lattice]\mu {1}=\frac{\alpha }{\lambda } \ \ \ \mu {2}=\frac{\alpha (\alpha +1) }{\lambda ^{2}}[/latex]

so

[latex]{\lambda } =\frac{\alpha}{\mu _{1}}[/latex]

otterremo dal secondo momento se sostituiamo lambda

[lattice]\frac{\mu {2}}{\mu {1}^{2}}=\frac{\alpha +1}{\alpha }[/latex]

e da questo valore di alfa è

[lattice]\alpha=\frac{\mu {1}^{2}}{\mu {2}-\mu _{1}^{2}}[/latex]

e ora lambda sarà

[lattice]\lambda =\frac{\mu {1}^{2}}{\mu {2}-\mu {1}^{2}} \frac{1}{\mu {1}} \ \ \ \ \ =\frac{\mu {1}^{2}}{\mu {2}-\mu _{1}^{2}}[/latex]

e lo stimatore del momento utilizzando il campione sarà

[latex]\hat{\lambda }=\frac{\bar{X}}{\hat{\sigma }^{2}}[/latex]

intervallo di confidenza per la distribuzione gamma

   l'intervallo di confidenza per la distribuzione gamma è il modo per stimare l'informazione e la sua incertezza che dice che ci si aspetta che l'intervallo abbia il vero valore del parametro a quale percentuale, questo intervallo di confidenza è ottenuto dalle osservazioni di variabili casuali, poiché è ottenuto da random è esso stesso casuale per ottenere l'intervallo di confidenza per la distribuzione gamma ci sono diverse tecniche in diverse applicazioni che dobbiamo seguire.

coniugato di distribuzione gamma a priori per distribuzione esponenziale | distribuzione a priori gamma | distribuzione posteriore poisson gamma

     La distribuzione a posteriori e a priori sono le terminologie del bayesiano teoria della probabilità e sono coniugate tra loro, due distribuzioni qualsiasi sono coniugate se il posteriore di una distribuzione è un'altra distribuzione, in termini di theta mostriamo che la distribuzione gamma è coniugata prima della distribuzione esponenziale

se la funzione di densità di probabilità di distribuzione gamma in termini di theta è come

[latex]f_{\Theta }(\theta )=\frac{\beta ^{\alpha }\theta ^{\alpha -1}e^{-\beta \theta }}{\Gamma (\alpha )} [/lattice]

supponiamo che la funzione di distribuzione per theta sia esponenziale da dati dati

[latex]f_{X_{i}|\Theta }(x_{i}|\theta )=\theta e^{-\theta x_{i}}[/latex]

quindi la distribuzione congiunta sarà

[latex]f(X|\Theta )=\theta^{n} e^{-\theta \sum x_{i}}[/latex]

e utilizzando la relazione

[latex]\textbf{Posteriore} \propto \textbf{Probabilità} \ \ X \ \ \textbf{Priore}[/latex]

ne ha

[latex]f_{\Theta |X}(\theta |x) \propto \theta ^{n}e^{-\theta \sum x_{i}} x \theta ^{\alpha -1}e^{ -\beta \theta }[/latex]

[latex]=\theta ^{n +\alpha -1} e^{-\theta (\sum x_{i} + \beta )}[/latex]

[latex]\quindi \theta| X \sim \textbf{Gamma}(n+\alpha , \sum x_{i} +\beta )[/latex]

che è

[lattice]f\Lambda | X (\lambda |x) \propto \lambda ^{\sum x_{i}+\alpha -1} e^{-(n+\beta )\lambda }[/latex]

così la distribuzione gamma è coniugata prima della distribuzione esponenziale come posteriore è la distribuzione gamma.

funzione quantile di distribuzione gamma

   Qauntile funzione della distribuzione gamma sarà la funzione che fornisce i punti nella distribuzione gamma che mettono in relazione l'ordine dei valori nella distribuzione gamma, ciò richiede una funzione di distribuzione cumulativa e per diversi linguaggi algoritmi e funzioni differenti per il quantile della distribuzione gamma.

distribuzione gamma generalizzata

    Poiché la distribuzione gamma stessa è la generalizzazione della famiglia di distribuzione esponenziale l'aggiunta di più parametri a questa distribuzione ci dà la distribuzione gamma generalizzata che è l'ulteriore generalizzazione di questa famiglia di distribuzione, i requisiti fisici danno una generalizzazione diversa, uno dei più frequenti sta usando la funzione di densità di probabilità come

[latex]f(x)=\frac{(\frac{x-\mu }{\beta })^{\gamma -1} exp (-\frac{x-\mu }{\beta })}{ \beta \Gamma (\gamma )} \ \ x\geq \mu ;\gamma ,\beta > 0[/latex]

la funzione di distribuzione cumulativa per tale distribuzione gamma generalizzata può essere ottenuta da

[latex]F(x)=\frac{\Gamma _{x}(\gamma )}{\Gamma (\gamma )} \ \ x\geq 0, \gamma > 0[/latex]

dove il numeratore rappresenta la funzione gamma incompleta come

[lattice]\Gamma {x}(a)=\int{0}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt[/latex]

utilizzando questa funzione gamma incompleta la funzione di sopravvivenza per la distribuzione gamma generalizzata può essere ottenuta come

[latex]S(x)=1-\frac{\Gamma _{x}(\gamma )}{\Gamma (\gamma )} \ \ x\geq 0, \gamma > 0[/latex]

un'altra versione di questa distribuzione gamma generalizzata a tre parametri con funzione di densità di probabilità è

[latex]f(t)=\frac{\beta }{\Gamma (k)\theta } \left ( \frac{t}{\theta } \right )^{k\beta -1} e^{- \left ( \frac{t}{\theta } \right )^{\beta }}[/latex]

dove k, β, θ sono i parametri maggiori di zero, queste generalizzazioni hanno problemi di convergenza per superare i parametri di Weibull sostituiscono

[latex]\mu =In(\theta )+\frac{1}{\beta } . In\sinistra ( \frac{1}{\lambda ^{2}} \right ) \ \ \ \sigma =\frac{1}{\beta \sqrt{k}} \ \ \ \lambda =\frac{1 }{\sqrt{k}} \ \ \ Dove \ \ -\infty< \mu 0 , 0< \lambda[/latex]

usando questa parametrizzazione la convergenza della funzione di densità ottenuta così la più generalizzazione per la distribuzione gamma con convergenza è la distribuzione con funzione di densità di probabilità come

[latex]F(x) = \begin{casi}
\frac{|\lambda |}{\sigma .t}.\frac{1}{\Gamma \left ( \frac{1}{\lambda ^{2}} \right )}.e\left [ \frac {\lambda .\frac{In(t)-\mu }{\sigma }+In\left ( \frac{1}{\lambda ^{2}} \right )-e^{\lambda.\frac{ In.(t)-\mu }{\sigma }} }{\lambda ^{2}} \right ] &\text{if } \lambda \neq 0
\\
\frac{1}{t.\sigma \sqrt{2 \pi }}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{In(t)-\mu }{\sigma } \right )^{2}} &\testo{se } \lambda =0
\end{casi}[/latex]

Distribuzione gamma generalizzata beta

   La distribuzione gamma che coinvolge il parametro beta nella funzione di densità a causa della quale a volte la distribuzione gamma è nota come distribuzione gamma generalizzata beta con la funzione di densità

[latex]g_{\beta ,\gamma ,c}(x)=\frac{c\lambda ^{c\beta }}{\Gamma (\beta )}x^{c\beta -1}exp\left { -(\lambda x)^{c} \right }, \ \ x> 0[/latex]

con funzione di distribuzione cumulativa come

[latex]G_{\beta ,\gamma ,c}(x)=\frac{\gamma (\beta ,(\lambda x)^{c})}{\Gamma (\beta )},[/latex]

che è già discusso in dettaglio nella discussione sulla distribuzione gamma, l'ulteriore distribuzione gamma generalizzata beta è definita con cdf come

[latex]F(x)=I_{G}(x)(a,b)=\frac{1}{B(a,b)}\int_{0}^{G(x)}\omega ^{ a-1}(1-\omega )^{b-1}d\omega ,[/latex]

dove B (a, b) è la funzione beta, e la funzione di densità di probabilità per questa può essere ottenuta per differenziazione e la funzione di densità sarà

[latex]f(x)=\frac{g(x)}{B(a,b)}G(x)^{a-1}\left { 1-G(x) \right }^{b- 1}[/lattice]

qui G(x) è la distribuzione cumulativa sopra definita function della distribuzione gamma, se mettiamo questo valore allora la funzione di distribuzione cumulativa della distribuzione gamma beta generalizzata è

[latex]F(x)=I_{\gamma (\beta ,(\lambda x)^{c})/\Gamma (\beta )}(a,b)=\frac{1}{B(a, b)}\int_{0}^{{\gamma (\beta ,(\lambda x)^{c})/\Gamma (\beta )}}\omega ^{a-1} (1-\omega ) ^{b-1} d\omega[/latex]

e la funzione di densità di probabilità

[latex]f(x)=\frac{c\lambda ^{c\beta }x^{c\beta -1}exp\left { -(\lambda x)^{c} \right }\gamma (\ beta ,(\lambda x)^{c})^{a-1}\left { \Gamma (\beta )-\gamma (\beta ,(\lambda x)^{c}) \right }^{b -1}}{B(a,b)\Gamma (\beta )^{a+b-1}}[/latex]

il resto le proprietà possono essere estese per questa distribuzione gamma generalizzata beta con le solite definizioni.

Conclusione:

Esistono diverse forme e generalizzazioni di distribuzione gamma e la famiglia esponenziale della distribuzione gamma secondo le situazioni di vita reale così possibile tali forme e generalizzazioni sono state trattate in aggiunta ai metodi di stima della distribuzione gamma nel campionamento delle informazioni sulla popolazione, se hai bisogno di ulteriori letture sulla famiglia esponenziale della distribuzione gamma, vai sotto il link e libri. Per ulteriori argomenti sulla matematica, visita la nostra pagina.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

Un primo corso di probabilità di Sheldon Ross

Schemi di probabilità e statistica di Schaum

Un'introduzione alla probabilità e alle statistiche di ROHATGI e SALEH

DOTT. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

sono il dott. Mohammed Mazhar Ul Haque, assistente professore di matematica. Avendo 12 anni di esperienza nell'insegnamento. Avere una vasta conoscenza in Matematica Pura, precisamente in Algebra. Avere l'immensa capacità di progettare e risolvere problemi. Capace di motivare i candidati a migliorare le loro prestazioni. Amo contribuire a Lambdageeks per rendere la matematica semplice, interessante e autoesplicativa per principianti ed esperti. Connettiamoci tramite LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

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