Distribuzione gamma: 7 proprietà importanti che dovresti conoscere

Distribuzione gamma

Una delle variabili casuali continue e della distribuzione continua è la distribuzione Gamma, come sappiamo la variabile casuale continua si occupa dei valori o degli intervalli continui, così è la distribuzione Gamma con una funzione di densità di probabilità specifica e funzione di massa di probabilità, nella discussione successiva che discuteremo in dettaglia il concetto, proprietà e risultati con esempi di variabile casuale gamma e distribuzione gamma.

Variabile casuale gamma o distribuzione Gamma | cos'è la distribuzione gamma | definire la distribuzione gamma | funzione di densità di distribuzione gamma | funzione di densità di probabilità di distribuzione gamma | a prova di distribuzione gamma

Una variabile casuale continua con funzione di densità di probabilità

è nota come variabile casuale Gamma o distribuzione Gamma dove α> 0, λ> 0 e la funzione gamma

abbiamo la proprietà molto frequente della funzione gamma per integrazione per parti come

Se continuiamo il processo partendo da n allora

e infine il valore di gamma di uno sarà

quindi il valore sarà

cdf di distribuzione gamma | distribuzione gamma cumulativa | integrazione della distribuzione gamma

I distribuzione cumulativa funzione(cdf) della variabile casuale gamma o semplicemente la funzione di distribuzione della variabile casuale gamma è uguale a quella della variabile casuale continua a condizione che la funzione di densità di probabilità sia diversa, ad es.

qui la funzione di densità di probabilità è come definita sopra per la distribuzione gamma, la funzione di distribuzione cumulativa possiamo anche scrivere come

in entrambi i formati di cui sopra il valore di pdf è il seguente

dove α> 0, λ> 0 sono numeri reali.

Formula di distribuzione gamma | formula per distribuzione gamma | equazione di distribuzione gamma | derivazione della distribuzione gamma

Per trovare la probabilità per la variabile casuale gamma, la funzione di densità di probabilità che dobbiamo usare per diversi dati α> 0, λ> 0 è come

e usando il pdf sopra la distribuzione per la variabile casuale gamma che possiamo ottenere da

Pertanto, la formula di distribuzione gamma richiede il valore pdf e i limiti per la variabile casuale gamma secondo il requisito.

Esempio di distribuzione gamma

mostra che la probabilità totale per il distribuzione gamma è uno con la funzione di densità di probabilità data ie

per λ> 0, α> 0.
Soluzione:
utilizzando la formula per la distribuzione gamma

poiché la funzione di densità di probabilità per la distribuzione gamma è

che è zero per tutti i valori inferiori a zero quindi la probabilità sarà ora

utilizzando la definizione di funzione gamma

e la sostituzione che otteniamo

così

Media e varianza della distribuzione gamma | aspettativa e varianza della distribuzione gamma | valore atteso e varianza della distribuzione gamma | Media della distribuzione gamma | valore atteso della distribuzione gamma | aspettativa di distribuzione gamma

Nella discussione seguente troveremo la media e la varianza per la distribuzione gamma con l'aiuto di definizioni standard di aspettativa e varianza di variabili casuali continue,

Vedi anche Geometria delle coordinate 2D: 11 fatti importanti

Il valore atteso o la media della variabile casuale continua X con funzione di densità di probabilità

o La variabile casuale gamma X sarà

media della prova di distribuzione gamma | valore atteso della prova di distribuzione gamma

Per ottenere il valore atteso o la media della distribuzione gamma seguiremo la definizione e la proprietà della funzione gamma,
in primo luogo dalla definizione di aspettativa della variabile casuale continua e funzione di densità di probabilità della variabile casuale gamma che abbiamo

annullando il fattore comune e utilizzando la definizione della funzione gamma

ora come abbiamo la proprietà della funzione gamma

il valore dell'aspettativa sarà

quindi il valore medio o atteso della variabile casuale gamma o della distribuzione gamma che otteniamo è

varianza della distribuzione gamma | varianza di una distribuzione gamma

La varianza per la variabile casuale gamma con la funzione di densità di probabilità data

o la varianza della distribuzione gamma sarà

varianza della prova di distribuzione gamma

Come sappiamo che la varianza è la differenza dei valori attesi come

per la distribuzione gamma abbiamo già il valore di media

ora prima calcoliamo il valore di E [X²], quindi per definizione di aspettativa per la variabile casuale continua che abbiamo
poiché la funzione f (x) è la funzione di distribuzione di probabilità della distribuzione gamma come

quindi l'integrale sarà solo da zero a infinito

quindi per definizione della funzione gamma possiamo scrivere

Usando quindi la proprietà della funzione gamma abbiamo ottenuto il valore as

Ora inserendo il valore di queste aspettative

quindi, il valore della varianza della distribuzione gamma o della variabile casuale gamma è

Parametri di distribuzione gamma | distribuzione gamma a due parametri | 2 distribuzione gamma variabile

La distribuzione Gamma con i parametri λ>0, α>0 e la funzione di densità di probabilità

ha parametri statistici media e varianza come

poiché λ è un numero reale positivo, per semplificare e gestire facilmente un altro modo è impostare λ = 1 / β quindi questo fornisce la funzione di densità di probabilità nella forma

in breve la funzione di distribuzione o la funzione di distribuzione cumulativa per questa densità possiamo esprimere come

questa funzione di densità gamma fornisce la media e la varianza come

il che è evidente dalla sostituzione.
In entrambi i modi vengono comunemente usate sia la distribuzione gamma con il parametro α che λ indicato con gamma (α, λ) o la distribuzione gamma con i parametri β e λ indicati con gamma (β, λ) con i rispettivi parametri statistici media e varianza in ciascuna delle forme.
Entrambi non sono altro che la stessa cosa.

Vedi anche Variabile casuale normale: 3 fatti importanti

Grafico distribuzione gamma | grafico distribuzione gamma | istogramma di distribuzione gamma

La natura della distribuzione gamma possiamo facilmente visualizzare con l'aiuto del grafico per alcuni valori specifici dei parametri, qui disegniamo i grafici per la funzione di densità di probabilità e la funzione di densità cumulativa per alcuni valori di parametri
prendiamo la funzione di densità di probabilità come

allora sarà la funzione di distribuzione cumulativa

Descrizione: grafici per la funzione di densità di probabilità e la funzione di distribuzione cumulativa fissando il valore di alfa come 1 e variando il valore di beta.

Descrizione: grafici per la funzione di densità di probabilità e la funzione di distribuzione cumulativa fissando il valore di alfa come 2 e variando il valore di beta

Descrizione: grafici per la funzione di densità di probabilità e la funzione di distribuzione cumulativa fissando il valore di alfa come 3 e variando il valore di beta

Descrizione: grafici per la funzione di densità di probabilità e la funzione di distribuzione cumulativa fissando il valore di beta come 1 e variando il valore di alfa

Descrizione: grafici per la funzione di densità di probabilità e la funzione di distribuzione cumulativa fissando il valore di beta come 2 e variando il valore di alfa

Descrizione: grafici per la funzione di densità di probabilità e la funzione di distribuzione cumulativa fissando il valore di beta come 3 e variando il valore di alfa.

In generale, curve diverse per quanto riguarda la variazione di alfa è

Tavolo di distribuzione gamma | tabella di distribuzione gamma standard

Il valore numerico della funzione gamma

noti come valori numerici della funzione gamma incompleti come segue

Il valore numerico della distribuzione gamma per disegnare il grafico per la funzione di densità di probabilità e la funzione di distribuzione cumulativa per alcuni valori iniziali sono i seguenti

1x	f (x), α = 1, β = 1	f (x), α = 2, β = 2	f (x), α = 3, β = 3	P (x), α = 1, β = 1	P (x), α = 2, β = 2	P (x), α = 3, β = 3
0	1	0	0	0	0	0
0.1	0.904837418	0.02378073561	1.791140927E-4	0.09516258196	0.001209104274	6.020557215E-6
0.2	0.8187307531	0.0452418709	6.929681371E-4	0.1812692469	0.00467884016	4.697822176E-5
0.3	0.7408182207	0.06455309823	0.001508062363	0.2591817793	0.01018582711	1.546530703E-4
0.4	0.670320046	0.08187307531	0.00259310613	0.329679954	0.01752309631	3.575866931E-4
0.5	0.6065306597	0.09735009788	0.003918896875	0.3934693403	0.02649902116	6.812970042E-4
0.6	0.5488116361	0.1111227331	0.005458205021	0.4511883639	0.03693631311	0.001148481245
0.7	0.4965853038	0.1233204157	0.007185664583	0.5034146962	0.04867107888	0.001779207768
0.8	0.4493289641	0.1340640092	0.009077669195	0.5506710359	0.06155193555	0.002591097152
0.9	0.4065696597	0.1434663341	0.01111227331	0.5934303403	0.07543918015	0.003599493183
1	0.3678794412	0.1516326649	0.01326909834	0.6321205588	0.09020401043	0.004817624203
1.1	0.3328710837	0.1586611979	0.01552924352	0.6671289163	0.1057277939	0.006256755309
1.2	0.3011942119	0.1646434908	0.01787520123	0.6988057881	0.1219013822	0.007926331867
1.3	0.272531793	0.1696648775	0.0202907766	0.727468207	0.1386244683	0.00983411477
1.4	0.2465969639	0.1738048563	0.02276101124	0.7534030361	0.1558049836	0.01198630787
1.5	0.2231301601	0.1771374573	0.02527211082	0.7768698399	0.1733585327	0.01438767797
1.6	0.201896518	0.1797315857	0.02781137633	0.798103482	0.1912078646	0.01704166775
1.7	0.1826835241	0.1816513461	0.03036713894	0.8173164759	0.2092823759	0.01995050206
1.8	0.1652988882	0.1829563469	0.03292869817	0.8347011118	0.2275176465	0.02311528775
1.9	0.1495686192	0.1837019861	0.03548626327	0.8504313808	0.2458550043	0.02653610761
2	0.1353352832	0.1839397206	0.03803089771	0.8646647168	0.2642411177	0.03021210849
2.1	0.1224564283	0.1837173183	0.04055446648	0.8775435717	0.2826276143	0.03414158413
2.2	0.1108031584	0.183079096	0.04304958625	0.8891968416	0.3009707242	0.03832205271
2.3	0.1002588437	0.1820661424	0.04550957811	0.8997411563	0.3192309458	0.04275032971
2.4	0.09071795329	0.1807165272	0.04792842284	0.9092820467	0.3373727338	0.04742259607
2.5	0.08208499862	0.179065498	0.05030071858	0.9179150014	0.3553642071	0.052334462
2.6	0.07427357821	0.1771456655	0.05262164073	0.9257264218	0.373176876	0.05748102674
2.7	0.06720551274	0.1749871759	0.05488690407	0.9327944873	0.3907853875	0.0628569343
2.8	0.06081006263	0.1726178748	0.05709272688	0.9391899374	0.4081672865	0.06845642568
2.9	0.05502322006	0.1700634589	0.05923579709	0.9449767799	0.4253027942	0.07427338744
3	0.04978706837	0.1673476201	0.0613132402	0.9502129316	0.4421745996	0.08030139707

trovare alfa e beta per la distribuzione gamma | come calcolare alfa e beta per la distribuzione gamma | stima dei parametri di distribuzione gamma

Per una distribuzione gamma che trova alfa e beta prenderemo la media e la varianza della distribuzione gamma

Vedi anche Variabile casuale binomiale: 3 fatti interessanti da sapere

ora otterremo il valore della beta come

così

prendendo solo alcune frazioni dalla distribuzione gamma otterremo il valore di alfa e beta.

problemi e soluzioni di distribuzione gamma | problemi di esempio di distribuzione gamma | tutorial sulla distribuzione gamma | domanda sulla distribuzione gamma

1. Considerare che il tempo necessario per risolvere il problema per un cliente è gamma distribuita in ore con media 1.5 e varianza 0.75 quale sarebbe la probabilità che il problema il tempo di risoluzione supera le 2 ore, se il tempo supera le 2 ore quale sarebbe la probabilità che il problema si risolva in almeno 5 ore.

soluzione: poiché la variabile casuale è gamma distribuita con media 1.5 e varianza 0.75 quindi possiamo trovare i valori di alfa e beta e con l'aiuto di questi valori la probabilità sarà

P (X> 2) = 13e^-4= 0.2381

P (X> 5 | X> 2) = (61/13) e^-6= 0.011631

2. Se il feedback negativo in settimana da parte degli utenti è modellato in distribuzione gamma con parametri alfa 2 e beta come 4 dopo le 12 settimane di feedback negativo dopo la ristrutturazione della qualità, da queste informazioni la ristrutturazione può migliorare le prestazioni?

soluzione: Poiché questo è modellato nella distribuzione gamma con α = 2, β = 4

troveremo la media e la deviazione standard come μ = E (x) = α * β = 4 * 2 = 8

poiché il valore X = 12 rientra nella deviazione standard dalla media, quindi non possiamo dire che questo sia un miglioramento o meno dalla ristrutturazione della qualità, per dimostrare che il miglioramento causato dalle informazioni sulla ristrutturazione fornite è insufficiente.

3. Sia X il distribuzione gamma con parametri α=1/2, λ=1/2 , trovare la funzione di densità di probabilità per la funzione Y=Radice quadrata di X

Soluzione: calcoliamo la funzione di distribuzione cumulativa per Y come

ora differenziando questo rispetto a y si ottiene la funzione di densità di probabilità per Y come

e l'intervallo per y sarà compreso tra 0 e infinito

Conclusione:

Il concetto di distribuzione gamma in probabilità e statistica è quello della distribuzione importante giorno per giorno applicabile della famiglia esponenziale, tutti i concetti da base a livello superiore sono stati discussi finora relativi a distribuzione gamma, se hai bisogno di ulteriori letture, consulta i libri menzionati. Puoi anche visitare matematica pagina per ulteriori argomenti

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Un primo corso di probabilità di Sheldon Ross
Schemi di probabilità e statistica di Schaum
Un'introduzione alla probabilità e alle statistiche di ROHATGI e SALEH

DOTT. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Sono il DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ho completato il mio dottorato di ricerca. in Matematica e lavorando come professore assistente in Matematica. Avere 12 anni di esperienza nell'insegnamento. Avere vaste conoscenze in Matematica Pura, precisamente in Algebra. Avere l'immensa capacità di progettare e risolvere problemi. Capace di motivare i candidati a migliorare le loro prestazioni.
Adoro contribuire a Lambdageeks per rendere la matematica semplice, interessante e autoesplicativa sia per i principianti che per gli esperti.