Polinomio Hermite: 9 fatti rapidi completi


del Pacco

  Il polinomio di Hermite è ampiamente utilizzato nelle applicazioni come funzione ortogonale. Il polinomio di Hermite è la soluzione in serie dell'equazione differenziale di Hermite.

Equazione di Hermite

    L'equazione differenziale del secondo ordine con coefficienti specifici come

d2a/a2 – 2x dy/dx + 2xy = 0

[latex]\frac{d^{2} y}{dx^{2}}-2 x \frac{dy}{dx}+2 ny=0[/latex]

è nota come equazione di Hermite, risolvendo questa equazione differenziale otterremo il polinomio che è Polinomio Hermite.

Troviamo la soluzione dell'equazione

d2a/a2 – 2x dy/dx + 2ny = 0

[latex]\frac{d^{2} y}{dx^{2}}-2 x \frac{dy}{dx}+2 ny=0[/latex]

con l'aiuto della soluzione in serie dell'equazione differenziale

[latex]\begin{array}{l}
y=a_{0} x^{m}+a_{1} x^{m+1}+a_{2} x^{m+2}+a_{3} x^{m+3}+\ldots \lpunti .+a_{k} x^{m+k} \\
y=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{m+k}\\
\frac{dy}{dx}=\somma a_{k}(m+k) x^{m+k-1}\\
\frac{d^{2} y}{dx^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}(m+k)(m+k-1) x^{m +k-2}
\end{array}[/latex]

ora sostituendo tutti questi valori nell'equazione di Hermite abbiamo

[latex]$\Freccia destra \quad \sum a_{k}(m+k)(m+k-1) x^{m+k-2}-2 x \sum a_{k}(m+k) x ^{m+k-1}+2 n \somma a_{k} x^{m+k}=0$
$\Freccia destra \quad \sum a_{k}(m+k)(m+k-1) x^{m+k-2}-2 \sum a_{k}(m+k) x^{m+ k}+2 n \somma a_{k} x^{m+k}=0$
$\Freccia destra \quad \sum a_{k}(m+k)(m+k-1) x^{m+k-2}-2 \sum a_{k}[(m+k)-n] x ^{m+k}=0$[/lattice]

Questa equazione soddisfa per il valore di k=0 e poiché abbiamo assunto il valore di k non sarà negativo, ora per il termine di grado più basso xm-2 prendi k=0 nella prima equazione poiché la seconda dà valore negativo, quindi il coefficiente xm-2 is

a0m(m-1)=0 ⇒ m=0,m=1

come un0 0

[latex]a_{0} m(m-1)=0 \Freccia destra m=0, m=1[/latex]

[latex]come \quad a_{0} \neq 0[/latex]

ora allo stesso modo eguagliando il coefficiente di xm-1 dalla seconda sommatoria

[latex]a_{1} m(m+1)=0 \Freccia destra\sinistra[\begin{array} { l }
{ a _ { 1 } \text { può o non può essere zero quando } m = 0 } \\
{ a _ { 1 } = 0 , \testo { quando } m = 1 }
\end{array} \quad \left(\begin{array}{l}
m+1 \neq 0 \text { come } \mathrm{m} \text { is } \\
\text { già uguale a zero }
\end{array}\right)\right.[/latex]

ed eguagliando i coefficienti di xm+k a zero,

ak + 2(m+k+2)(m+k+1)-2ak(m+kn) = 0

[latex]a_{k+2}(m+k+2)(m+k+1)-2 a_{k}(m+k-n)=0[/latex]

possiamo scriverlo come

ak + 2 = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) ak

[latex]a_{k+2}=\frac{2(m+kn)}{(m+k+2)(m+k+1)} a_{k}[/latex]

se m=0

ak + 2 = 2(kn)/(k+2)(k+1) ak

[latex]\quad a_{k+2}=\frac{2(kn)}{(k+2)(k+1)} a_{k} \quad[/latex]

se m=1

ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) ak

[latex]a_{k+2}=\frac{2(k+1-n)}{(k+3)(k+2)} a_{k}[/latex]

per questi due casi ora discutiamo i casi per k

Quando $m=0, ak + 2= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} ak$

Se, $k=0 a2 =-2 n/2 a0=-na0$

$k=1, a3=2(1-n)/6 a1 =-2(n-1)/3 ! un1$

Se $k=2, a4 =2(2-n)/12 a2 =2 (2-n)/12 (-n0) = 22 n(n-2)/4 ! un0$

[latex]Quando \quad $m=0, a_{k+2}=\frac{2(kn)}{(k+2)(k+1)} a_{k}$[/latex]

[latex]Se \quad $k=0, a_{2}=\frac{-2 n}{2} a_{0}=-n a_{0}$[/latex]

[latex]Se \quad $k=1, a_{3}=\frac{2(1-n)}{6} a_{1}=-2 \frac{(n-1)}{3 !} a_ {1}$[/lattice]

[latex]Se \quad $k=2, a_{4}=\frac{2(2-n)}{12} a_{2}=2 \frac{(2-n)}{12}\left( -n a_{0}\right)=(2)^{2} \frac{n(n-2)}{4 !} a_{0}$[/latex]

[latex]If \quad $k=3, a_{5}=\frac{2(3-n)}{20} a_{3}=\frac{2(3-n)}{20}\left(-\frac{2(n-1)}{3 !} a_{1}\right)=(2)^{2} \frac{(n-1)(n-3)}{5 !} a_{1}$\\
$a_{2 r}=\frac{(-2)^{r} n(n-2)(n-4) \ldots \ldots(n-2 r+2)}{(2 r) !} a_ {0}$\\
$a_{2 r+1}=\frac{(-2)^{r}(n-1)(n-3) \ldots \ldots(n-2 r+1)}{(2 r+1) !} a_{1}=0$[/latex]

finora m=0 abbiamo due condizioni quando a1=0, quindi a3=a5=a7=….=a2r+1=0 e quando a1 non è zero allora

[latex]\begin{array}{c}
y=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k} \\
y=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+a_{4} x^{4}+a_{5} x^{ 5}+\lpunti \lpunti \lpunti \\
=a_{0}+a_{2} x^{2}+a_{4} x^{4}+\ldots . .+a_{1} x+a_{3} x^{3}+a_{5} x^{5}
\end{array}[/latex]

seguendo questo metti i valori di a0,a1,a2,a3,a4 e5 ne ha

[latex]\begin{array}{l}
=a_{0}\left[1-\frac{2 n}{2 !} x^{2}+\frac{2^{2} n(n-2)}{4 !} x^{4} -\ldots+(-1)^{r} \frac{2}{(2 r) !} n(n-2) \ldots(n-2 r+2) x^{2 r}+\ldots\right ] \\
+a_{1} x\sinistra[1-\frac{2(n-1)}{3 !} x^{2}+\frac{2^{2}(n-1)(n-3)} {5 !}-\ldots .\right. \\
\left.+(-1)^{r} \frac{2^{r}}{(2 r+1) !}(n-1)(x-3) \ldots(n-2 r+1) x^{2 r}+\lpunti\destra] \\
=a_{0}\left[1+\sum_{r=1}^{\infty} \frac{(-1)^{r} 2^{r}}{(2 r) !} n(n- 2) \ldots(n-2 r+2) x^{2 r}\destra] \\
\left.+a_{0}\left[x+\sum_{r=1}^{\infty} \frac{(-1)^{r} 2^{r}}{(2 r+1)}( n-1)(n-3) \ldots(n-2 r+2) x^{2 r+1}\right] \quad \text { (If } a_{1}=a_{0}\right)
\end{array}[/latex]

e per m=1 a1=0 ponendo k=0,1,2,3,….. si ottiene

ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)ak

[latex]a_{k+2}=\frac{2(k+1-n)}{(k+3)(k+2)} a_{k}[/latex]

[latex]\begin{array}{l}
a_{2}=-\frac{2(n-1)}{3 !} a_{0} \\
a_{4}=\frac{2^{2}(n-1)(n-3)}{5 !} a_{0} \\
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
a_{2 r}=(-1)^{r} \frac{2^{r}(n-1)(n-3) \ldots(n-2 r+1)}{(2 r+1) !} a_{0}
\end{array}[/latex]

quindi la soluzione sarà

[latex]=a_{0} x\sinistra[1-\frac{2(n-1)}{3 !} x^{2}+\frac{2^{2}(n-1)(n- 3)}{5 !} x^{4} \cdots+\frac{(-1)^{r} 2^{r}(n-1)(n-3) \ldots(n-2 r+1) }{(2 r+1) !} x^{2 r}+\lpunti\destra][/latex]

quindi la soluzione completa è

[latex]y=A\sinistra[1-\frac{2 n}{2 !} x^{2}+\frac{2^{2} n(n-2)}{4 !} x^{4 }-\lpunti\destra]+B\sinistra[1-\frac{2(n-1)}{3 !} x^{2}+\frac{2^{2}(n-1)(n- 3)}{5 !} x^{4} \ldots\right][/latex]

dove A e B sono le costanti arbitrarie

Polinomio Hermite

   La soluzione dell'equazione di Hermite è della forma y(x)=Ay1(x)+Per2(x) dove y1(x) e y2(x) sono i termini della serie come discusso sopra,

[latex]y_{1}(x)=1-\frac{2 n}{2 !} x^{2}+2^{2} n \frac{(n-2)}{4 !} x^ {4}-\frac{2^{3} n(n-2)(n-4)}{6 !} x^{6}+\cdots[/latex]

[latex]y_{2}(x)=x-\frac{2(n-1)}{3 !} x^{3}+\frac{2^{2}(n-1)(n-3)}{5 !} x^{5}-\frac{2^{3}(n-1)(n-3)(n-5)}{7 !} x^{7}+\cdots[/latex]

una di queste serie termina se n è intero non negativo se n è pari y1 termina altrimenti y2 se n è dispari, e possiamo facilmente verificare che per n=0,1,2,3,4…….. questi polinomi sono

1,x,1-2x2, x-2/3 x3, 1-4 volte2+4/3x4, x-4/3x3+ 4/15x5

[latex]1, x, 1-2 x^{2}, x-\frac{2}{3} x^{3}, 1-4 x^{2}+\frac{4}{3} x ^{4}, x-\frac{4}{3} x^{3}+\frac{4}{15} x^{5}[/lac

quindi possiamo dire qui che le soluzioni dell'equazione di Hermite sono multiple costanti di questi polinomi e i termini contenenti la massima potenza di x sono della forma 2nxn indicato con Hn(x) è noto come polinomio hermite

Funzione generatrice del polinomio di Hermite

Polinomio di Hermite solitamente definito con l'aiuto della relazione usando la funzione generatrice

[latex]\mathrm{e}^{\left(2 x tt^{2}\right)}=\sum_{n=0}^{\infty} \mathbf{H}_{\mathrm{n}} (\mathbf{x}) \frac{\mathrm{t}^{\mathrm{a}}}{\mathrm{n} !}, \quad[/latex]

[lattice]\begin{allineato}
\mathrm{e}^{\left(2 x tt^{2}\right)}=\mathrm{e}^{2 ut} \mathrm{e}^{-t^{2}} &=\left [\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(2 \mathrm{xt})^{\mathrm{m}}}{\mathrm{m} !}\right]\left[\sum_{ \mathrm{k}=0}^{\infty} \frac{\left(-\mathrm{t}^{2}\right)^{\mathrm{k}}}}{\mathrm{k} !}\ Giusto] \\
&=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \sum_{\mathrm{k}=0}^{[\mathrm{n} / 2]} \frac{(-1)^{ \mathrm{k}}(2 \mathrm{x})^{\mathrm{n}-2 \mathrm{k}}}{\mathrm{k} !(\mathrm{n}-2 \mathrm{k} ) !} \mathrm{t}^{\mathrm{n}}
\end{aligned}[/latex]

[n/2] è il più grande intero minore o uguale a n/2 quindi segue il valore di Hn(X) as

[latex]\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=\sum_{\mathrm{k}=0}^{[\mathrm{n} / 2]} \frac{ (-1)^{\mathrm{k}} \mathrm{n} !}{\mathrm{k} !(\mathrm{n}-2 \mathrm{k}) !}(2 \mathrm{x}) ^{\mathrm{n}-2 \mathrm{k}}[/latex]

[latex]dove \quad $\left[\frac{\mathrm{n}}{2}\right]=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{n}}{2} , & \text { if } \mathrm{n} \text { è pari } \\ \frac{\mathrm{n}-1}{2}, & \text { if } \mathrm{n} \text { è dispari }\end{array}\right.$[/latex]

questo dimostra che Hn(X) è un polinomio di grado n in x e

Hn(x) = 2nxn +n-2 (X)

[latex]\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=2^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}}+\pi_{ \mathrm{n}-2}(\mathrm{x})[/latex]

where πn-2 (x) è il polinomio di grado n-2 in x, e sarà funzione pari di x per valore pari di n e funzione dispari di x per valore dispari di n, quindi

Hn(-x) = (-1)n Hn(X)

[latex]\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(-\mathrm{x})=(-1)^{\mathrm{n}} \mathrm{H}_{\mathrm{n}} (\mathrm{x})[/latex]

alcuni dei polinomi di Hermite di partenza sono

H0(x) = 1

H1(x) = 2x

H2(x) = 4x2 - 2

H3(x) = 8x3-12%

H4(x) = 16x4 - 48x2+ 12

H5(x) = 32x2 - 160x3+ 120x

[latex]\begin{array}{l}
\mathrm{H}_{0}(\mathrm{x})=1 \\
\mathrm{H}_{1}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x} \\
\mathrm{H}_{2}(\mathrm{x})=4 \mathrm{x}^{2}-2 \\
\mathrm{H}_{3}(\mathrm{x})=8 \mathrm{x}^{3}-12 \\
\mathrm{H}_{4}(\mathrm{x})=16 \mathrm{x}^{4}-48 \mathrm{x}^{2}+12 \\
\mathrm{H}_{5}(\mathrm{x})=32 \mathrm{x}^{5}-160 \mathrm{x}^{3}+120 \mathrm{x}
\end{array}
[/lattice]

Formula di Rodrigue del polinomio di Hermite | Funzione generatrice del polinomio di Hermite con la formula di Rodrigue

Il polinomio di Hermite può anche essere definito con l'aiuto della formula di Rodrigue usando la funzione generatrice

[latex]\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=(-1)^{\mathrm{n}} \mathrm{e}^{\mathrm{x}^{ 2}} \frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{n}}}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{x }^{2}}\destra)[/latex]

poiché la relazione della funzione generatrice

[latex]\mathrm{e}^{2 \mathrm{tx}-\mathrm{t}^{2}}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}^{2}-(\mathrm{t }-\mathrm{x})^{2}}=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \frac{\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{ x})}{\mathrm{n} !} \mathrm{t}^{\mathrm{n}}[/latex]

  Usando il teorema di Maclaurin, abbiamo

[latex]\left.\frac{\partial^{\mathrm{n}}}{\partial \mathrm{t}^{\mathrm{n}}}\left(\mathrm{e}^{2 \mathrm {tx}-\mathrm{t}^{2}}\destra)\destra|_{\mathrm{t}=0}=\sinistra.\mathrm{e}^{\mathrm{x}^{2} } \frac{\partial^{\mathrm{n}}}{\partial \mathrm{t}^{\mathrm{n}}}\left(\mathrm{e}^{-(t-\mathrm{x })^{2}}\destra)\destra|_{\mathrm{t}=0}=\mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})[/latex]

or

[latex]\left.\frac{\partial^{\mathrm{n}}}{\partial \mathrm{t}^{\mathrm{n}}}\left[\mathrm{e}^{-(\ mathrm{t}-\mathrm{x})^{2}}\right]\right|_{\mathrm{t}=0}=\mathrm{e}^{-\mathrm{x}^{2} } \mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})[/latex]

ponendo z=xt e

[latex]\frac{\partial}{\partial \mathrm{t}}=-\frac{\partial}{\partial \mathrm{z}}[/latex]

per t=0, quindi z=x dà

[latex]\begin{array}{l}
\left.(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}}}}{\mathrm{d} \mathrm{z}^{\mathrm{n} }}\left(\mathrm{e}^{-z^{2}}\right)\right|_{\mathrm{z}=\mathrm{x}}=(-1)^{\mathrm{n }} \frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{x}^{2}}\right)}{\mathrm{dx}^ {\mathrm{n}}}=\mathrm{e}^{-\mathrm{x}^{2}} \mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x}) \\
\quindi \mathrm{H}_{\mathrm{n}}(\mathrm{x})=(-1)^{\mathrm{n}} \mathrm{e}^{\mathrm{x}^{2 }} \frac{\mathrm{d}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{d} \mathrm{x}^{\mathrm{n}}}\left(\mathrm{e}^{- \mathrm{x}^{2}}\right)
\end{array}[/latex]

questo possiamo mostrarlo in un altro modo come

[latex]e^{x^{2}} \frac{\partial^{n}}{\partial t^{n}} e^{\left\{-(tx)^{2}\right\} }=H_{n}(x)+H_{n+1}(x) t+H_{n+2}(x) . t^{2}+\ldots \ldots[/latex]

differenziare

[latex]e^{ \left.-(tx)^{2}\right\}[/latex]

rispetto a t dà

[latex]\frac{\partial}{\partial t} e^{\left\{-(tx)^{2}\right\}}=-2(tx) e^{\left\{-(tx )^{2}\right\}}[/latex]

prendendo il limite t tende a zero

[latex]\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\partial}{\partial t} e^{\left\{-(tx)^{2}\right\}}=2 xe^{-x ^{2}}[/latex]

ora differenziando rispetto a x

[latex]\frac{\partial}{\partial x} e^{\left\{-(tx)^{2}\right\}}=(-1)^{2}(tx) e^{\ sinistra\{-(tx)^{2}\destra\}}[/latex]

prendendo il limite t tende a zero

[latex]\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\partial}{\partial x} e^{\left\{-(tx)^{2}\right\}}=-2 xe^{- x^{2}}[/latex]

da queste due espressioni possiamo scrivere

[latex]\left.\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\partial}{\partial t} e^{\left\{-(tx)^{2}\right\}}=(-1 )^{1} \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\partial}{\partial x} e^{\left\{-(tx)^{2}\right.}\right\}[/ lattice]

allo stesso modo possiamo scrivere

[latex]\left.\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} e^{\left\{-(tx)^{2}\ destra\}}=(-1)^{2} \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\parziale^{2}}{\parziale x^{2}} e^{\sinistra\{-( tx)^{2}\destra.}\destra\}[/latex]

[latex]\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\partial^{n}}{\partial t^{n}} e^{\left\{-(tx)^{2}\right\} }=(-1)^{n} \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\parziale^{n}}{\parziale x^{n}} e^{\sinistra\{-(tx)^ {2}\right\}}=(-1)^{n} \frac{d^{n}}{dx^{n}} e^{-x^{2}}[/latex]

 differenziando n volte poniamo t=0, otteniamo

[latex]\lim _{t \rightarrow 0} e^{x^{2}} \frac{\partial^{n}}{\partial t^{n}} e^{\left\{-(tx )^{2}\right\}}=H_{n}(x)[/latex]

da questi valori possiamo scrivere

[latex]\begin{array}{l}
(-1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{dx^{n}} e^{-x^{2}}=H_{n}(x ) \\
H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{dx^{n}} e^{-x^{2} } \\
n = 0
\end{array}[/latex]

da questi possiamo ricavare i valori

[latex]\begin{array}{l}
n=0\\
H_{0}(x)=(-1)^{0} e^{x^{2}} e^{-x^{2}}=1 \\
H_{0}(x)=1
\end{array}[/latex]

[latex]\begin{array}{l}
n=1\\
H_{1}(x)=(-1)^{1} e^{x^{2}} \frac{d}{dx} e^{-x^{2}}=-e^{x^ {2}}(-2 x) e^{-x^{2}}=2 x \\
H_{1}(x)=2 x \\
n = 2
\end{array}[/latex]

[lattice]\begin{allineato}
H_{2}(x) &=(-1)^{2} e^{x^{2}} \frac{d^{2}}{dx^{2}} e^{-x^{2 }}=e^{x^{2}} \frac{d}{dx}\left(-2 xe^{-x^{2}}\right) \\
&=e^{x^{2}}\sinistra[-2 e^{x^{2}}-2 x(-2 x) e^{-x^{2}}\destra.\\
&=-2+4 x^{2} \\
& H_{2}(x)=4 x^{2}-2 \\
n = 3
\end{aligned}[/latex]

[lattice]\begin{allineato}
H_{3}(x) &=(-1)^{3} e^{x^{2}} \frac{d^{3}}{dx^{3}}\left(e^{-x ^{2}}\right)=-e^{x^{2}} \frac{d^{2}}{dx^{2}}\left(-2 xe^{-x^{2}} \Giusto) \\
&=-e^{x^{2}} \frac{d}{dx}\left(-2 e^{-x^{2}}+(-2 x)(-2 x) e^{- x^{2}}\destra) \\
&=-e^{x^{2}} \frac{d}{dx}\left(-2+4 x^{2}\right) e^{-x^{2}}=-e^{ x^{2}}\sinistra[8 xe^{-x^{2}}+\sinistra(4 x^{2}-2\destra)(-2 x) e^{-x^{2}} \Giusto]
\end{aligned}[/latex]

[latex]\begin{array}{l}
=-\sinistra[8 x+\sinistra(4 x^{2}-2\destra)(-2 x)\destra]=-8 x+8 x^{3}-4 x=8 x^{3} -12 x \\
H_{3}(x)=8 x^{3}-12 x \\
H_{4}(x)=16 x^{4}-48 x^{2}+12
\end{array}[/latex]

[latex]\begin{array}{l}
H_{5}(x)=32 x^{5}-160 x^{3}+120 x \\
H_{6}(x)=64 x^{6}-480 x^{4}+720 x^{2}-120 \\
H_{7}(x)=128 x^{7}-1344 x^{5}+3360 x^{3}-1680 x
\end{array}[/latex]

Esempio sul polinomio di Hermite           

  1. Trova il polinomio ordinario di

[latex]2 H_{4}(x)+3 H_{3}(x)-H_{2}(x)+5 H_{1}(x)+6 H_{0}[/latex]

Soluzione: usando la definizione di polinomio di Hermite e le relazioni che abbiamo

[latex]\begin{array}{l}
2 H_{4}(x)+3 H_{3}(x)-H_{2}(x)+5 H_{1}(x)+6 H_{0} \\
\quad=2\left[16 x^{4}-48 x^{2}+12\right]+3\left\{8 x^{3}-12 x\right\}-\left(4 x^{2}-2\right)+5(2 x)+6(1) \\
\quad=32 x^{4}-96 x^{2}+24+24 x^{3}-36 x-4 x^{2}+2+10 x+6\\
=32 x^{4}+24 x^{3}-100 x^{2}-26 x+32
\end{array}[/latex]

2. Trova il polinomio di Hermite del polinomio ordinario

[latex]64 x^{4}+8 x^{3}-32 x^{2}+40 x+10[/latex]

Soluzione: l'equazione data possiamo convertire in Hermite come

[latex]\begin{allineato} 64 x^{4}+8 x^{3} &-32 x^{2}+40 x+10=\mathrm{AH}_{4}(x)+\mathrm {BH}_{3}(x)+\mathrm{CH}_{2}(x)+\mathrm{DH}_{1}(x)+\mathrm{EH}_{0}(x) \ \ &=\mathrm{A}\sinistra(16 x^{4}-48 x^{2}+12\destra)+\mathrm{B}\sinistra(8 x^{3}-12 x\destra) +\mathrm{C}\sinistra(4 x^{2}-2\destra)+\mathrm{D}(2 x)+\mathrm{E}(1) \\ &=16 \mathrm{~A} x^{4}+8 \mathrm{~B} x^{3}(-48 \mathrm{~A}+4 \mathrm{C}) x^{2}+(-12 \mathrm{~B} +2 \mathrm{D}) x+12 \mathrm{~A}-2 \mathrm{C}+\mathrm{E} \end{aligned}[/latex]

e da questa equazione eguagliando lo stesso coefficiente di potenze

[lattice]\begin{allineato}
16 \mathrm{~A}=64 & \Freccia destra \mathrm{A}=4 \\
8 \mathrm{~B}=8 & \Freccia destra \mathrm{B}=1 \\
-48 \mathrm{~A}+4 \mathrm{C}=-32 & \Rightarrow 4 \mathrm{C}=-32+192 \Rightarrow \mathrm{C}=40 \\
-12 \mathrm{~B}+2 \mathrm{D}=40 & \Rightarrow-12+2 \mathrm{D}=40 \Rightarrow 2 \mathrm{D}=52 \Rightarrow \mathrm{D}=26 \\
12 \mathrm{~A}-2 \mathrm{C}+\mathrm{E}=10 & \Rightarrow 12 \times 4-2(40)+\mathrm{E}=10 \Rightarrow \mathrm{E}= 42
\end{aligned}[/latex]

quindi il polinomio di Hermite sarà

[latex]4 \mathrm{H}_{4}(x)+\mathrm{H}_{3}(x)+40 \mathrm{H}_{2}(x)+26 \mathrm{H}_{1}(x)+42 \mathrm{H}_{0}(x)[/latex]

Ortogonalità del polinomio di Hermite | Proprietà ortogonale del polinomio di Hermite

La caratteristica importante per il polinomio di Hermite è la sua ortogonalità che afferma che

[latex]\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{m}(x) H_{n}(x) dx=\left\{\begin{array} {ll}
0, & m \neq n \\
2^{n} n! \sqrt{\pi}, & m=n
\end{array}\right.[/latex]

Per dimostrare questa ortogonalità ricordiamo che

[latex]e^{\left\{x^{2}-\left(t_{1}-x\right)^{2}\right\}}=\sum \frac{H_{n}(x) }{n !} t_{1}^{n}[/latex]

che è la funzione generatrice per il polinomio di Hermite e sappiamo

[latex]e^{\left\{x^{2}-\left(t_{2}-x\right)^{2}\right\}}=\sum \frac{H_{m}(x) }{m !} t_{2}^{m}[/latex]

quindi moltiplicando queste due equazioni otterremo

[lattice]\begin{allineato}
e^{\sinistra\{x^{2}-\sinistra(t_{1}-x\destra)^{2}\destra\}} \cdot e^{\sinistra\{x^{2}-\ sinistra(t_{2}-x\destra)^{2}\destra\}} &=\sinistra[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x)}{n !} t_{1}^{n}\right]\left[\sum_{m=0}^{\infty} \frac{H_{m}(x)}{m !} t_{2}^{m }\Giusto] \\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\left[H_{n}(x)\left|H_{m}(x)\right|\right] \frac{t_{1}^{n } \cdot t_{2}^{m}}{n ! m !}
\end{aligned}[/latex]

moltiplicando e integrando entro limiti infiniti

[latex]\begin{array}{l}
\left.\left.\sum_{nm}\left[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) dx\right] \frac{t_{1}^{n} t_{2}^{m}}{n ! m !}=e^{-x^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\left\{x^{2}-\left(t_{1}-x\right )^{2}\destra.}\destra\}_{.} e^{\sinistra\{x^{2}-\sinistra(t_{2}-x\destra)^{2}\destra.} \right\}_{dx} \\
=\int_{-\infty}^{\infty} e^{\left\{x^{2}-\left(t_{1}-x\right)^{2}\right\}-\left( t_{2}-x\destra)^{2}} dx \\
=e^{\left(-\left(t_{1}^{2}+t_{2}^{2}\right)\right\}} \int_{-\infty}^{\infty} e^ {\sinistra\{-x^{2}+2 x\sinistra(t_{1}+t_{2}\destra)\destra\}} dx
\end{array}[/latex]

e da allora

[latex]\int_{-\infty}^{\infty} e^{\left\{-ax^{2}+2 bx\right\}} dx=\sqrt{\frac{\pi}{2} e^{\frac{b^{2}}{a}}} \quad[/latex]

so

[latex]\int_{-\infty}^{\infty} e^{\left\{-x^{2}+2 x\left(t_{1}+t_{2}\right)\right\} } dx=\sqrt{\pi} e^{\left(t_{1}+t_{2}\right)^{2}}[/latex]

usando questo valore nell'espressione sopra abbiamo

[lattice]\begin{allineato}
e^{\left\{-\left(i+1+r_{2}\right)^{2}\right\}} \cdot \sqrt{\pi} e^{\left(t_{1}+ t_{2}\destra)^{2}} &=\sqrt{\pi} e^{-t^{2}-t_{2}^{2}+t_{1}^{2}+t_{ 2}^{2}+2 \uparrow r_{2}}=\sqrt{\pi} e^{2 l_{1} l_{2}} \\
&=\sqrt{\pi}\left[1+2 t_{1} t_{2}+\frac{\left(2 t_{1} t_{2}\right)^{2}}{2 !} +\frac{\left(2 t_{1} t_{2}\right)^{3}}{3 !}+\ldots \ldots .\right]=\sqrt{\pi} \sum \frac{\ sinistra(2 t_{1} t_{2}\destra)^{n}}{n !} \\
&=\sqrt{\pi} \sum \frac{2^{n} t_{1}^{n} t_{2}^{n}}{n !}=\sqrt{\pi} \sum_{m =0 \atop n=0}^{\infty} 2^{n} t_{1}^{n} t_{2}^{m} \delta_{m, n} \quad\left[t_{2} ^{n}=t_{2}^{m} \delta_{n, m}\destra]
\end{aligned}[/latex]

che dà

[latex]\sum_{nm}\left[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) dx\right ] \frac{t_{1}^{n} t_{2}^{m}}{n ! m !}=\sqrt{\pi} \sum_{nm} \frac{2^{n}}{n !} e^{n} t_{2}^{m} \delta_{n, m}[/ lattice]

ora uguagliare i coefficienti su entrambi i lati

[latex]\begin{array}{ll}
& \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} \frac{H_{n}(x) H_{m}(x)}{n ! m !} dx=\frac{\sqrt{\pi} 2^{n}}{n !} \delta_{n, m} \\
\Rightarrow & \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) dx=\sqrt{\pi} 2^{ n} m \mid \delta_{n, m} \\
\Rightarrow & \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{m}(x) H_{n}(x) dx=\left\{\begin{array} {ll}
0 & m \neq n\sinistra[\delta_{n, m}=0, \text { se } m \neq n\destra. \\
2^{n} n! \sqrt{\pi}, & m=n
\end{array}\left[\begin{array}{l}
=1, \testo { se } m=n
\end{array}\right]\right.
\end{array}[/latex]

che mostra la proprietà ortogonale del polinomio di Hermite.

  Il risultato della proprietà ortogonale del polinomio di Hermite può essere mostrato in un altro modo considerando la relazione di ricorrenza

Esempio sull'ortogonalità del polinomio di Hermite

1.Valutare l'integrale

[latex]\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{2}(x) H_{3}(x) dx[/latex]

Soluzione: Usando la proprietà di ortogonalità del polinomio hermite

[latex]\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{m}(x) H_{n}(x)=0 \text { se } m \neq n
\end{array}[/latex]

poiché i valori qui sono m=3 e n=2 quindi

[latex]\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{2}(x) H_{3}(x)=0[/latex]

2. Valuta l'integrale

[latex]\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\left[H_{2}(x)\right]^{2} dx[/latex]

Soluzione: Usando la proprietà di ortogonalità del polinomio di Hermite possiamo scrivere

[latex]\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\left[H_{n}(x)\right]^{2} dx=2^{n}(n) ! \sqrt{\pi} \\
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\left[H_{2}(x)\right]^{2} dx=2^{2}(2 !) \sqrt{\pi}=8 \sqrt{\pi}
\end{array}[/latex]

Relazioni di ricorrenza del polinomio di Hermite

Il valore del polinomio di Hermite può essere facilmente ricavato dalle relazioni di ricorrenza

polinomio hermite
Relazioni di ricorrenza polinomiale di Hermite

Queste relazioni possono essere facilmente ottenute con l'aiuto della definizione e delle proprietà.

Prove:1. Conosciamo l'equazione di Hermite

y”-2xy'+2ny = 0

[latex]y^{\prime \prime}-2 xy^{\prime}+2 ny=0[/latex]

e la relazione

[latex]e^{2 tx-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x) t^{n}}{n !}[/ lattice]

prendendo la differenziazione rispetto a x parzialmente possiamo scriverla come

[latex]2 te^{2t xt^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} H_{n}^{'}(x) \frac{r^{m}}{n ! }[/lattice]

da queste due equazioni

[latex]\quad 2 t \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x) t^{n}}{n !}=\sum_{n=0}^{\ infty} H_{n}^{'}(x) \frac{t^{n}}{n !}[/latex]

[latex]\quad 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x) t^{n+1}}{n !}=\sum_{n=0}^{ \infty} H_{n}^{\prime}(x) \frac{t^{n}}{n !}[/latex]

ora sostituisci n con n-1

[latex]2 \frac{H_{\mathrm{m}-1}(\mathrm{x}) t^{n}}{(n-1) !}=H_{n}^{'}(x) \frac{t^{n}}{n !}[/latex]

[latex]\quad \frac{2 n H_{n-1}(x) t^{n}}{n !}=H_{n}^{\prime}(x) \frac{t^{n} }{n !}[/latex]

eguagliando il coefficiente di tn

[latex]2 \frac{n !}{(n-1) !} H_{n-1}(x)=H^{\prime}{ }_{n}(x)[/latex]

[latex]\quad 2 n H_{n-1}(x)=H_{n}^{\prime}(x)[/latex]

quindi il risultato richiesto è

[latex]\mathbf{2 n H_{n-1}(x)=H_{n}^{\prime}(x)}[/latex]

2. Allo stesso modo differenziando parzialmente rispetto a t l'equazione

[latex]e^{2 tx-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x) t^{n}}{n !}[/ lattice]

otteniamo

[latex]2(xt) e^{2 tx-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} H_{n}(x) \frac{nt^{n-1}} {(n-1) !}[/latex]

[latex]2(xt) e^{2tx-t^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty} H_{n}(x) \frac{t^{n-1}}{ (n-1) !} [/lattice]

n=0 sarà svanito quindi ponendo questo valore di e

[latex]2(xt) \sum_{n=0}^{\infty} H_{n}(x) \frac{t^{n}}{n !}=\sum_{n=1}^{\ infty} H_{n}(x) \frac{t^{n-1}}{(n-1) !}[/latex]

[latex]\quad 2 x \sum_{n=0}^{\infty} H_{n}(x) \frac{t^{n}}{n !}-2 \sum_{n=0}^{ \infty} H_{n}(x) \frac{t^{n+1}}{n !}=\sum_{n=1}^{\infty} H_{n}(x) \frac{r^ {n-1}}{(n-1) !}[/latex]

ora eguagliando i coefficienti di tn

[latex]2 x \frac{H_{n}(x)}{n !}-2 \frac{H_{n-1}(x)}{(n-1) !}=\frac{H_{n +1}(x)}{n !} \quad[/latex]

così

[latex]\quad \mathbf{2 x H_{n}(x)=2 n H_{n-1}(x)+H_{n+1}(x)}[/latex]

3. Per dimostrare questo risultato elimineremo Hn-1 da

[latex] 2 x H_{n}(x)=2 n H_{n-1}(x)+H_{n+1}(x)[/latex]

e

[latex]2 n H_{n-1}(x)=H_{n}^{\prime}(x)[/latex]

quindi otteniamo

[latex]\begin{allineato} 2 x H_{n}(x)=2 n H_{n-1}(x)+H_{m+1}(x) &(x) \\ 2 x H_{n }(x)=H_{n}^{r}(x)+H_{n+1}(x) \\\ldots \ldots\end{aligned}[/latex]

quindi possiamo scrivere il risultato

[latex]\mathbf{H_{n}^{\prime}(x)=2 x H_{n}(x)-H_{n+1}(x)}[/latex]

4. Per dimostrare questo risultato distinguiamo

[latex]H_{n}^{\prime}(x)=2 x H_{n}(x)-H_{n+1}(x)[/latex]

otteniamo la relazione

[latex]H_{n}^{\prime \prime}(x)=2 x H_{n}^{'}(x)+2 H_{n}(x)-H_{n+1}^{\ primo}(x)[/latex]

sostituendo il valore

[latex]H_{n+1}^{'}(x)=2(n+1) H_{n}(x)[/latex]

e sostituendo n con n+1

[latex]H_{n}^{'}(x)=2 \mathrm{x} H_{n}^{\prime}(x)+2 H_{n}(x)-2(n+1) H_ {n}(x)[/latex]

[latex]\quad H_{n}^{'}(x)-2 x H_{n}^{\prime}(x)+2 n H_{n}(x)=0[/latex]

che dà

[latex]\mathbf{H_{n}^{\prime \prime}(x)-2 x H_{n}^{1}(x)+2 n H_{n}(x)=0]}[/ lattice]

Esempi sulle relazioni di ricorrenza del polinomio di Hermite

1. Mostra che

H2n(0) = (-1)n. 22n (1 / 2)n

[latex]H_{2 n}(0)=(-1)^{n} \cdot 2^{2 n}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}[/latex]

Soluzione:

Per mostrare il risultato che abbiamo

H2n(x) =

[latex]H_{2 n}(x)=\sum\frac{(-1)^{n}(2m)!(2x)^{2n+2x}}{x!(2n-2x)!}[/latex]

prendendo x=0 qui otteniamo

[latex]\begin{allineato} H_{2 n}(0) &=\frac{(-1)^{n}(2 n) !}{(n) !}=(-1)^{n} \frac{(2 n)(2 n-1)(2 n-2) \cdot \ldots}{n(n-1)(n-2) \ldots \ldots 1} \\ &=(-1) ^{n} \frac{2(2 n-1) 2(2 n-3) 2(2 n-5) 2 \cdot \ldots 2.1}{n !} n ! \\ &=(-1)^{n} 2^{n} \cdot 2^{n} \frac{(2 n-1)}{2} \frac{(2 n-3)}{2} \frac{(2 n-5)}{2} \\ &=(-1)^{n} 2^{2 n}\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac {3}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)\left(\frac{7}{2}\right) \ldots \ldots\left(\frac{2 n- 3}{2}\destra)\sinistra(\frac{2 n-1}{2}\destra) \\&=(-1)^{n} 2^{2 n}\sinistra(\frac{1 }{2}\right)^{m} \end{aligned}[/latex]

2. Dimostralo

H'2n + 1(0) = (-1)n 22n + 1 (3 / 2)2

[latex]H^{\prime}{ }_{2 n+1}(0)=(-1)^{n} 2^{2 n+1}\left(\frac{3}{2}\right)^{2}[/latex]

Soluzione:

Poiché dalla relazione di ricorrenza

H'n(x) = 2nHn-1(X)

[latex]H_{n}^{\prime}(x)=2 n H_{n-1}(x)[/latex]

qui sostituisci n con 2n+1 così

H'2n-1(x) = 2(2n+1) H2n(X)

[latex]H_{2 n+1}^{\prime}(x)=2(2 n+1) H_{2 n}(x)[/latex]

prendendo x=0

[lattice]\begin{allineato}
H_{2 n+1}^{\prime}(0) &=2(2 n+1) H_{2 n}(0) \\
&=2(2 n+1)(-1)^{n} 2^{2 n}\sinistra(\frac{1}{2}\destra)^{n} \\
&=(2 n+1)(-1)^{n} 2^{2 n+1}\left[\frac{(2 n-1)(2 n-3) \ldots \ldots 3.1}{2 ^{n}}\destra]\\
&=(-1)^{n} 2^{2 n+1}\left[\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}+1\right) \ldots \ldots\left(\frac{3}{2}+n-1\right)\right] \\
&=(-1)^{n} \cdot 2^{2 n+1}\left(\frac{3}{2}\right)^{n}
\end{aligned}[/latex]

3. Trova il valore di

H2n + 1(0)

[lattice]H_{2 n+1}(0)[/lattice]

Soluzione

Dal momento che sappiamo

[latex]H_{2 n+1}(x)=\sum_{k=0}^{2 n+1 / 2} \frac{(-1)^{k}(2 n+1) !(2 x)^{2 n+1-2 k}}{k !(2 n+1-2 k)}
[/lattice]

usa x=0 qui

H2n-1(0) = 0

[latex]\quindi H_{2 n+1}(0)=0[/latex]

4. Trova il valore di H'2n(0).

Soluzione :

abbiamo la relazione di ricorrenza

H'n(x) = 2nHn-1(X)

[latex]H^{\prime}{ }_{n}(x)=2 n H_{n-1}(x)[/latex]

qui sostituisci n con 2n

H'2n(x) = =2(2n)H2n-1(X)

[latex]H^{\prime}_{2 n}(x)=2(2 n) H_{2 n-1}(x)[/latex]

metti x=0

H'2n(0) = (4n)H2n-1(0) = 4n*0=0

[latex]H^{\prime}_{2 n}(0)=(4 n) H_{2 n-1}(0)=4n*0=0[/latex]

5. Mostra il seguente risultato

[latex]\frac{d^{m}}{dx^{m}}\left\{H_{n}(x)\right\}=\frac{2^{n}(n) !}{( nm) !} H_{nm} \quad m<n
[/lattice]

Soluzione :

Usando la relazione di ricorrenza

H'n(x) = 2nHn-1 (X)

[latex]H^{\prime}{ }_{n}(x)=2 n H_{n-1}(x)[/latex]

so

[lattice]\begin{allineato}
\quad \frac{d}{dx}\left\{H_{n}(x)\right\} &=2 m H_{n-1}(x) \\
\quad \frac{d^{2}}{dx^{2}}\left\{H_{n}(x)\right\} &=2 n \frac{d}{dx}\left[H_{ n-1}(x)\destra] \\
&=2 n H^{\prime} n-1 \top(x) \\
&=2 n\sinistra[2(n-1) H_{n-2}(x)\destra] \\
&=2^{2} n(n-1) H_{n-2}(x)
\end{aligned}[/latex]

e

d3/dx3 {Hn(x)} = 23n(n-1)(n-2)Hn-3(X)

[latex]\frac{d^{3}}{d x^{3}}\left\{H_{n}(x)\right\}=2^{3} n(n-1)(n-2) H_{n-3}(x)[/latex]

differenziando questo m volte

[latex]\frac{d^{m}}{d^{m}}\left\{H_{n}(x)\right\}=2^{m} n(n-1) \ldots \ldots (n-m+1) H_{nm}(x)\\=\frac{2^{\prime m}}{(nm) !} H_{nw}(x), m

che dà

[latex]\frac{d^{m}}{dx^{m}}\left{H_{n}(x)\right}=\frac{2^{n}(n) !}{(nm) !} H_{nm} \quad m<n
[/lattice]

6. Dimostralo

Hn(-x) = (-1)n Hn(X)

[latex]H_{n}(-x)=(-1)^{n} H_{n}(x)[/latex]

Soluzione :

possiamo scrivere

[latex]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x) t^{n}}{n !}=e^{2 nt^{2}}=e^{ 2 \pi} e^{-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 x)^{n} t^{n}}{n !} \times \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1) t^{2 n}}{n !}[/latex]

[latex]=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n / 2} \frac{(-1)^{k}(2 x)^{n-2 k }}{k(n-2k) !}[/latex]

dal coefficiente di tn ne ha

[latex]H_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n / 2} \frac{(-1)^{k} n !(2 x)^{n-2 k}}{ k !(n-2 k) !}[/latex]

e per -x

[lattice]\begin{allineato}
H_{n}(-x) &=\sum_{k=0}^{\pi / 2} \frac{(-1)^{k} n !(-2 x)^{n-2 k}} {k(n-2k) !} \\
&=\sum_{k=0}^{n / 2} \frac{(-1)^{k}(-1)^{n-2 k} n !(2 x)^{n-2 k} }{k(n-2k) !} \\
&=(-1)^{n} \sum_{k=0}^{n / 2} \frac{(-1)^{k} n !(2 x)^{n-2 k}}{k (n-2 k) !}=(-1)^{n} H_{n}(x)
\end{aligned}[/latex]

7. Valuta l'integrale e mostra

[latex]\int_{-\infty}^{\infty} xe^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) dx=\sqrt{x}\left[2 ^{n-1} m \mid 8_{m, n-1}+2^{n}(n+1) \delta_{n * 1, m}\destra] .[/latex]

Soluzione : Per risolvere questo integrale utilizzare le parti di integrazione come

[latex]\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{\infty} xe^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) dx=\left[-\frac{1}{2} e^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m}(x) dx\destra]_{-\infty}^{\infty} \\
\quad+\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} \frac{d}{dx}\left\{H_{n}(x ) H_{m}(x)\destra\} dx \\
=0+\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} \frac{d}{dx}\left\{H_{n}( x) H_{m}(x)\right\} dx \text { (proprietà di ortogonalità) }
\end{array}[/latex]

Ora la differenziazione sotto il segno di Integrale si differenzia con

rispetto a x

[latex]=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\left\{H_{n}^{\prime}(x) H_{m}(x)+H_{n}(x) H_{m}^{\prime}(x)\right\} dx[/latex]

utilizzando

H'n(x) = 2nHn-1 (X)

[latex]H_{n}^{\prime}(x)=2 n H_{n-1}(x)[/latex]

e

H'm(x) = 2mHm-1 (X)

[latex]H_{m}^{\prime}(x)=2 m H_{m-1}(x)[/latex]

ne ha

[latex]\begin{array}{l}
=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\left[2 n H_{n-1}(x) H_{m}( x)+2 m H_{n}(x) H_{m-1}(x)\destra] dx \\
=n \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n-1}(x) H_{m}(x) d x+m \int_{-\infty }^{\infty} e^{-x^{2}} H_{n}(x) H_{m-1}(x) dx \\
=n \sqrt{\pi} 2^{n-1}(n-1) ! \delta_{m, n-1}+m \sqrt{\pi} 2^{n} n ! \delta_{n, m-1}
\end{array}[/latex]

e da allora

𝝳 n,m-1 = 𝳳n+1, m

[latex]\delta_{n, m-1}=\delta_{n+1, m}[/latex]

quindi il valore dell'integrale sarà

[latex]=\sqrt{\pi}\left[2^{n-1} n ! \delta_{m, n-1}+2^{n}(n+1) ! \delta_{n+1, m}\right][/latex]

Conclusione:

Il polinomio specifico che ricorre frequentemente nell'applicazione è il polinomio di Hermite, quindi la definizione di base, la funzione generatrice, le relazioni di ricorrenza e gli esempi relativi al polinomio di Hermite sono stati discussi brevemente qui, se hai bisogno di ulteriori letture passa attraverso

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

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DOTT. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

sono il dott. Mohammed Mazhar Ul Haque, assistente professore di matematica. Avendo 12 anni di esperienza nell'insegnamento. Avere una vasta conoscenza in Matematica Pura, precisamente in Algebra. Avere l'immensa capacità di progettare e risolvere problemi. Capace di motivare i candidati a migliorare le loro prestazioni. Amo contribuire a Lambdageeks per rendere la matematica semplice, interessante e autoesplicativa per principianti ed esperti. Connettiamoci tramite LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

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