Polinomio Hermite: 9 fatti rapidi completi

  Il polinomio di Hermite è ampiamente utilizzato nelle applicazioni come funzione ortogonale. Il polinomio di Hermite è la soluzione in serie dell'equazione differenziale di Hermite.

Equazione di Hermite

    L'equazione differenziale del secondo ordine con coefficienti specifici come

d²a/a² – 2x dy/dx + 2xy = 0

è nota come equazione di Hermite, risolvendo questa equazione differenziale otterremo il polinomio che è Polinomio Hermite.

Troviamo la soluzione dell'equazione

d²a/a² – 2x dy/dx + 2ny = 0

con l'aiuto della soluzione in serie dell'equazione differenziale

ora sostituendo tutti questi valori nell'equazione di Hermite abbiamo

Questa equazione soddisfa per il valore di k=0 e poiché abbiamo assunto il valore di k non sarà negativo, ora per il termine di grado più basso x^m-2 prendi k=0 nella prima equazione poiché la seconda dà un valore negativo, quindi il coefficiente x^m-2 is

a₀m(m-1)=0 ⇒ m=0,m=1

come ₀ 0

ora allo stesso modo uguagliando il coefficiente di x^m-1 dalla seconda sommatoria

ed eguagliando i coefficienti di x^m+k a zero,

a_{k + 2}(m+k+2)(m+k+1)-2a_k(m+kn) = 0

possiamo scriverlo come

a_{k + 2} = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) a_k

se m=0

a_{k + 2} = 2(kn)/(k+2)(k+1) a_k

se m=1

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) a_k

per questi due casi ora discutiamo i casi per k

Quando $m=0, a_{k + 2}= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} a_k$

Se, $k=0 a₂ =-2 n/2 a₀=-na₀$

$k=1, a₃=2(1-n)/6a₁ =-2(n-1)/3 ! un₁$

Se $k=2, a₄ =2(2-n)/12a₂ =2 (2-n)/12 (-n₀) = 2² n(n-2)/4 ! un₀$

finora m=0 abbiamo due condizioni quando a₁=0, quindi a₃=a₅=a₇=….=a_2r+1=0 e quando a₁ non è zero allora

seguendo questo metti i valori di a₀,a₁,a₂,a₃,a₄ e₅ ne ha

e per m=1 a₁=0 ponendo k=0,1,2,3,….. si ottiene

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)a_k

quindi la soluzione sarà

quindi la soluzione completa è

dove A e B sono le costanti arbitrarie

Polinomio Hermite

   La soluzione dell'equazione di Hermite è della forma y(x)=Ay₁(x)+Per₂(x) dove y₁(x) e y₂(x) sono i termini della serie come discusso sopra,

una di queste serie termina se n è intero non negativo se n è pari y₁ termina altrimenti y₂ se n è dispari, e possiamo facilmente verificare che per n=0,1,2,3,4…….. questi polinomi sono

1,x,1-2x²,x-2/3x³, 1-4 volte²+4/3x⁴,x-4/3x³+4/15x⁵

quindi possiamo dire qui che la soluzione dell'equazione di Hermite è un multiplo costante di questi polinomi e che i termini contenenti la massima potenza di x sono della forma 2ⁿxⁿ indicato con H_n(x) è noto come polinomio hermite

Funzione generatrice del polinomio di Hermite

Polinomio di Hermite solitamente definito con l'aiuto della relazione usando la funzione generatrice

[n/2] è il più grande intero minore o uguale a n/2 quindi segue il valore di H_n(X) as

questo dimostra che H_n(X) è un polinomio di grado n in x e

H_n(x) = 2ⁿxⁿ +_n-2 (X)

where π_n-2 (x) è il polinomio di grado n-2 in x, e sarà funzione pari di x per valore pari di n e funzione dispari di x per valore dispari di n, quindi

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(X)

alcuni dei polinomi di Hermite di partenza sono

H₀(x) = 1

H₁(x) = 2x

H₂(x) = 4x² - 2

H₃(x) = 8x³ all'12 ottobre

H₄(x) = 16x⁴ - 48x²+ 12

H₅(x) = 32x² - 160x³+ 120x

Funzione generatrice del polinomio Hermite di Rodrigue Formula

Il polinomio di Hermite può anche essere definito con l'aiuto della formula di Rodrigue usando la funzione generatrice

poiché la relazione della funzione generatrice

  Usando il teorema di Maclaurin, abbiamo

or

ponendo z=xt e

per t=0, quindi z=x dà

questo possiamo mostrarlo in un altro modo come

differenziare

rispetto a t dà

prendendo il limite t tende a zero

ora differenziando rispetto a x

prendendo il limite t tende a zero

da queste due espressioni possiamo scrivere

allo stesso modo possiamo scrivere

 differenziando n volte poniamo t=0, otteniamo

da questi valori possiamo scrivere

da questi possiamo ricavare i valori

Esempio sul polinomio di Hermite           

1. Trova il polinomio ordinario di

Soluzione: usando la definizione di polinomio di Hermite e le relazioni che abbiamo

2. Trova il polinomio di Hermite del polinomio ordinario

Soluzione: l'equazione data possiamo convertire in Hermite come

e da questa equazione eguagliando lo stesso coefficiente di potenze

quindi il polinomio di Hermite sarà

Ortogonalità del polinomio di Hermite | Proprietà ortogonale del polinomio di Hermite

La caratteristica importante per il polinomio di Hermite è la sua ortogonalità che afferma che

Per dimostrare questa ortogonalità ricordiamo che

che è la funzione generatrice per il polinomio di Hermite e sappiamo

quindi moltiplicando queste due equazioni otterremo

moltiplicando e integrando entro limiti infiniti

e da allora

so

usando questo valore nell'espressione sopra abbiamo

che dà

ora uguagliare i coefficienti su entrambi i lati

che mostra la proprietà ortogonale del polinomio di Hermite.

  Il risultato della proprietà ortogonale del polinomio di Hermite può essere mostrato in un altro modo considerando la relazione di ricorrenza

Esempio sull'ortogonalità del polinomio di Hermite

1.Valutare l'integrale

Soluzione: Usando la proprietà di ortogonalità del polinomio hermite

poiché i valori qui sono m=3 e n=2 quindi

2. Valuta l'integrale

Soluzione: Usando la proprietà di ortogonalità del polinomio di Hermite possiamo scrivere

Relazioni di ricorrenza del polinomio di Hermite

Il valore del polinomio di Hermite può essere facilmente ricavato dalle relazioni di ricorrenza

Queste relazioni possono essere facilmente ottenute con l'aiuto della definizione e delle proprietà.

Prove:1. Conosciamo l'equazione di Hermite

y”-2xy'+2ny = 0

e la relazione

prendendo la differenziazione rispetto a x parzialmente possiamo scriverla come

da queste due equazioni

ora sostituisci n con n-1

eguagliando il coefficiente di tⁿ

quindi il risultato richiesto è

2. Allo stesso modo differenziando parzialmente rispetto a t l'equazione

otteniamo

n=0 sarà svanito quindi ponendo questo valore di e

ora eguagliando i coefficienti di tⁿ

così

3. Per dimostrare questo risultato elimineremo H_n-1 da

ed

quindi otteniamo

quindi possiamo scrivere il risultato

4. Per dimostrare questo risultato distinguiamo

otteniamo la relazione

sostituendo il valore

e sostituendo n con n+1

che dà

Esempi sulle relazioni di ricorrenza del polinomio di Hermite

1. Mostra che

H_2n(0) = (-1)ⁿ. 2²ⁿ (1 / 2)ⁿ

Soluzione:

Per mostrare il risultato che abbiamo

H2n(x) =

prendendo x=0 qui otteniamo

2. Dimostralo

H'_{2n + 1}(0) = (-1)ⁿ 2^{2n + 1} (3 / 2)²

Soluzione:

Poiché dalla relazione di ricorrenza

H'_n(x) = 2nH_n-1(X)

qui sostituisci n con 2n+1 così

H'_2n-1(x) = 2(2n+1)H_2n(X)

prendendo x=0

3. Trova il valore di

H_{2n + 1}(0)

Soluzione

Dal momento che sappiamo

usa x=0 qui

H_2n-1(0) = 0

4. Trova il valore di H'_2n(0).

Soluzione :

abbiamo la relazione di ricorrenza

H'_n(x) = 2nH_n-1(X)

qui sostituisci n con 2n

H'_2n(x) = =2(2n)H_2n-1(X)

metti x=0

H'_2n(0) = (4n)H_2n-1(0) = 4n*0=0

5. Mostra il seguente risultato

Soluzione :

Usando la relazione di ricorrenza

H'_n(x) = 2nH_n-1 (X)

so

ed

d³/dx³ {H_n(x)} = 2³n(n-1)(n-2)H_n-3(X)

differenziando questo m volte

che dà

6. Dimostralo

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(X)

Soluzione :

possiamo scrivere

dal coefficiente di tⁿ ne ha

e per -x

7. Valuta l'integrale e mostra

Soluzione : Per risolvere questo integrale utilizzare le parti di integrazione come

Ora la differenziazione sotto il segno di Integrale si differenzia con

rispetto a x

utilizzando

H'_n(x) = 2_nH_n-1 (X)

ed

H'_m(x) = 2mH_m-1 (X)

ne ha

e da allora

?? _n,m-1 = ????_{n+1, m}

quindi il valore dell'integrale sarà

Conclusione:

Il polinomio specifico che ricorre frequentemente nell'applicazione è il polinomio di Hermite, quindi la definizione di base, la funzione generatrice, le relazioni di ricorrenza e gli esempi relativi al polinomio di Hermite sono stati discussi in breve qui, se hai bisogno di ulteriori letture leggi

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

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DOTT. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Sono il DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ho completato il mio dottorato di ricerca. in Matematica e lavorando come professore assistente in Matematica. Avere 12 anni di esperienza nell'insegnamento. Avere vaste conoscenze in Matematica Pura, precisamente in Algebra. Avere l'immensa capacità di progettare e risolvere problemi. Capace di motivare i candidati a migliorare le loro prestazioni.
Adoro contribuire a Lambdageeks per rendere la matematica semplice, interessante e autoesplicativa sia per i principianti che per gli esperti.