INTRODUZIONE
Cos'è la matematica? È calcolo? È logica? Sono simboli? Immagini? Grafici? Si scopre che è tutto questo e molto altro ancora. È MA UNA LINGUA. La lingua universale, con i suoi simboli, caratteri, espressioni, vocabolario, grammatica, tutto ciò che fa una lingua, tutto perfettamente ragionato, unico e inequivocabile nel loro significato. È il linguaggio in cui sono scritte le leggi dell'universo. Quindi è la lingua che dobbiamo imparare ed esplorare per svelare i misteri della natura. Dobbiamo iniziare la nostra discussione su uno degli argomenti di matematica più belli e fondamentali, la TEORIA DELLA FUNZIONE, con questa filosofia.
COSA SONO LE ESPRESSIONI, LE EQUAZIONI E LE IDENTITÀ?
Come tutte le lingue ben definite, la matematica viene fornita con un proprio set di simboli e caratteri, numerici e alfabetici. Un'espressione in matematica è una combinazione di tali simboli e caratteri. Tutto questo verrà spiegato in questo teoria delle funzioni discussione.
5 + 2 / (9-3)
7a + 2b-3c
2 cos 1/2 (α + β) cos 1/2 (α – β)
Queste sono tutte espressioni matematiche. Non importa se possono essere valutati o meno, se sono significativi e se seguono la sintassi corretta, sono espressioni.
Ora, quando confrontiamo due espressioni con un segno "=", abbiamo qualcosa come ...
(1+x)2 = 1+2x+x2
Che è un'espressione per l'uguaglianza di due espressioni scritte su entrambi i lati di un segno =. Nota che questa uguaglianza è vera per tutti i valori di x. Questi tipi di uguaglianza sono chiamati IDENTITÀ.
(1+x)2 = 2+3x+2x2…………..(1)
O mi piace
(1+x)2 = 7-3x+2x2…………(2)
Quindi non saranno veri per tutti i valori di x, piuttosto sarebbero veri per alcuni valori di x come (2) o sarebbero veri per NESSUN valore di x, come (1). Queste sono chiamate EQUAZIONI.
Quindi, per riassumere, le uguaglianze che hanno per tutti i valori delle variabili, sono IDENTITÀ. E le uguaglianze che valgono per alcuni o nessun valore delle variabili sono EQUAZIONI.
PERCHÉ ABBIAMO BISOGNO DEL CONCETTO DI FUNZIONE?
Non è sorprendente che l'universo sia così perfettamente bilanciato? Un sistema di dimensioni così enormi fatto di tanti sistemi più piccoli, ognuno con così tante variabili che interagiscono tra loro, eppure si comportano così bene. Non sembra che tutto sia governato da un insieme di regole, invisibili ma esistenti ovunque? Prendiamo l'esempio della forza gravitazionale. È inversamente proporzionale alla distanza tra i corpi e questa regola è seguita da tutte le materie, ovunque nell'universo. Quindi, dobbiamo avere un modo per esprimere tali regole, come le connessioni tra variabili.
Siamo circondati da tali variabili che dipendono da altre variabili. La lunghezza dell'ombra di un edificio dipende dalla sua altezza e dall'ora del giorno. La distanza percorsa dall'auto dipende dalla coppia generata dal suo motore. È il concetto di teoria delle funzioni che ci consente di esprimere matematicamente tali relazioni.
COS'È UNA FUNZIONE IN MATEMATICA?
Regola di funzione o FUNZIONE di regola
Per dirla semplicemente, una funzione è una regola che lega due o più variabili. Se le variabili possono assumere solo valori reali, allora è semplicemente un'espressione che definisce una regola o un insieme di regole che assegna un numero reale a ciascuno di determinati numeri reali.
Ora questa definizione necessita sicuramente di alcune precisazioni che vengono date attraverso degli esempi come
1. La regola che assegna a ciascun numero il cubo di quel numero.
f(x) = x3
2. La regola che assegna (x2-x-1)/x3 a ciascuna x
f(x) = (x2-x-1)/x3
3. La regola che assegna (x2-x-1)/(x2+ x + 1) a tutte le x diverse da 1 e il numero da 0 a 1
f(x) = (x2-x-1)/(x2+x+1) per x ≠ 1
= 0 per x = 1
- f(x) = x2
per -1 <x <π / 3
- La regola che assegna
2 al numero 5
3 al numero 8/3
π / 2 al numero 1
ed per il resto
- La regola che assegna a un numero x, il numero di 1 nella sua espansione decimale se il conteggio è finito e 0 se ci sono infiniti 1 nell'espansione.
Questi esempi dovrebbero chiarire una cosa che una funzione è qualsiasi regola che assegna numeri ad altri numeri specifici. Queste regole potrebbero non essere sempre esprimibili mediante formulazione algebrica. Questi potrebbero non indicare nemmeno una condizione univoca che si applica a tutti i numeri. E non deve essere una regola che si possa trovare nella pratica o nel mondo reale, come quella della regola 6. Nessuno può dire quale numero questa regola assegna al numero π o √2. La regola potrebbe anche non applicarsi ad alcuni numeri. Ad esempio, la regola 2 non si applica a x=0. L'insieme di numeri a cui si applica la regola è chiamato DOMINIO della funzione.
COSA SIGNIFICA y = f (x)?
Nota che stiamo usando l'espressione y=f(x) per scrivere una funzione. Ogni volta che iniziamo un'espressione con 'f(x) = y' allora intendiamo che stiamo per definire una funzione che mette in relazione un insieme di numeri con un insieme di valori della variabile x.
FUNZIONE come relazione
Quindi, in altre parole, e forse in un senso più generale, una funzione è una relazione tra due insiemi A e B, dove tutti gli elementi dell'insieme A hanno un elemento assegnato loro dall'insieme B. Gli elementi dell'insieme B sono chiamati IMMAGINI e gli elementi dell'insieme A sono chiamati PREIMMAGINI.
Viene chiamato il processo di correlazione degli elementi MAPPATURA. Naturalmente ci possono essere molti modi in cui queste mappature possono essere fatte, ma non le chiameremmo tutte come funzioni. Solo quelle mappature che mettono in relazione gli elementi in modo tale che ogni elemento dell'insieme A abbia esattamente un'immagine nell'insieme B, devono essere chiamate funzioni. A volte è scritto come f: A–> B. Questo deve essere letto come "f è una funzione da A a B".
L'insieme A è chiamato DOMINIO della funzione e l'insieme B è chiamato CO-DOMINIO della funzione. Se f è tale che l'immagine di un elemento a dell'insieme A è l'elemento b dell'insieme B, allora scriviamo f (a) = b, letto come 'f di a è uguale a b', o 'b è il valore di f in a ', o' b è l'immagine di a sotto f '.
TIPI DI FUNZIONI
Le funzioni possono essere classificate in base al modo in cui mettono in relazione i due set.
Uno - uno o funzione iniettiva
La cifra dice tutto. È quando una funzione mette in relazione ogni elemento di un insieme con un elemento unico di un altro insieme, è una funzione uno a uno o iniettiva.
Molte - una funzione
Ancora una volta, la cifra è abbastanza autoesplicativa. Evidentemente ci sono più di una pre-immagine per una particolare immagine. Quindi la mappatura è molti a uno. Si noti che non viola la definizione di una funzione in quanto nessun elemento dell'insieme A ha più di un'immagine nell'insieme B.
Funzione ONTO o funzione SURJECTIVE
Quando tutti gli elementi dell'insieme B hanno almeno una pre-immagine, la funzione viene chiamata Onto o surjective. La mappatura Onto può essere uno a uno o molti a uno. Quello raffigurato sopra è evidentemente molti a uno sulla mappatura. Si noti che anche l'immagine utilizzata in precedenza per rappresentare la mappatura uno a uno è sulla mappatura. Questo tipo di uno a uno sulla mappatura è anche noto come BIIETTIVO Mappatura.
In funzione
Quando c'è almeno un'immagine senza alcuna pre-immagine, è una funzione INTO. Into function può essere uno a uno o molti a uno. Quello raffigurato sopra è ovviamente uno a uno in.
GRAFICO DI UNA FUNZIONE
Poiché è stato detto in precedenza che una funzione assegna numeri reali a determinati numeri reali, è del tutto possibile e conveniente tracciare la coppia di numeri sul piano cartesiano XY. La traccia ottenuta collegando i punti, è il grafico della funzione.
Consideriamo una funzione f(x) = x + 3. Quindi, potremmo valutare f(x) a x=1,2,3 per ottenere tre coppie di x e f(x) come (1,4) , ( 3,6) e (5,8). Tracciare questi punti e collegarli mostra che la funzione traccia una linea retta nel piano xy. Questa linea è il grafico della funzione.
Evidentemente, la natura della traccia varierà a seconda dell'espressione per la funzione. Così otteniamo una serie di grafici per diversi tipi di espressioni. Alcuni sono dati.
I grafici di f(x) = sin x, f(x) = x2 e f(x) = ex da sinistra a destra
A questo punto, si può vedere che l'espressione per una funzione assomiglia effettivamente a quella di un'equazione. Ed è vero, ad esempio y = x + 3 è davvero un'equazione oltre che una definizione di funzione. Questo ci porta alla domanda, sono tutte funzioni di equazione? Se non allora
Come capire se un'equazione è una funzione?
Tutte le equazioni rappresentate nei grafici precedenti sono in realtà funzioni, poiché per tutte c'è esattamente un valore di f(x) o y per qualche valore di x. Ciò significa che l'espressione per f(x) dovrebbe restituire un solo valore quando valutata per qualsiasi valore di x. Questo è vero per qualsiasi equazione lineare. Ma se consideriamo l'equazione y2 = 1x2, troviamo che ci sono sempre due soluzioni per tutte le x comprese tra 0 e 1, in altre parole, due immagini vengono assegnate a ciascun valore di x all'interno del suo intervallo. Ciò viola la definizione di una funzione e quindi non può essere chiamata una funzione.
Questo dovrebbe apparire più chiaro dal grafico che ci sono esattamente due immagini di ciascuna x poiché una linea verticale tracciata in qualsiasi punto dell'asse x taglierà il grafico esattamente in due punti.
Quindi, questo ci porta a una conclusione importante che non tutte le equazioni sono funzioni. E se un'equazione è una funzione, può essere verificato da prova in linea verticale, che consiste semplicemente nell'immaginare una linea verticale variabile in ogni punto sull'asse x e vedere se incontra il grafico in un singolo punto.
Questo risponde anche a un'altra domanda importante, che è: come sapere se una funzione è uno a uno? Sicuramente abbastanza, quella risposta è anche nel grafico e può essere verificata dal test della linea verticale.
Ora ci si potrebbe chiedere se esiste un modo per raccontare la stessa cosa senza ottenere il grafico o se si potrebbe raccontarla algebricamente poiché non è sempre facile disegnare grafici di funzioni. Bene, la risposta è sì, può essere fatta semplicemente testando che f(a)=f(b) implica a=b. Questo vuol dire che anche se f(x) assume lo stesso valore per due valori di x, allora i due valori di x non possono essere diversi. Prendiamo un esempio della funzione
y = (x-1) / (x-2)
Come si noterà, è difficile tracciare il grafico di questa funzione in quanto è di natura non lineare e non si adatta alla descrizione di alcuna curva familiare e inoltre non è definita in x=2 . Quindi, questo problema richiede sicuramente un approccio diverso dal test della linea verticale.
Quindi, iniziamo lasciando
f (a) = f (b)
=> (a-1) / (a-2) = (b-1) / (b-2)
=> (a-1) (b-2) = (b-1) (a-2)
=> ab-2a-b + 2 = ab-2b-a + 2
=> 2a + b = 2b + a
=> 2 (ab) = (ab)
Ciò è possibile solo per a-b=0 o a=b
Quindi, la funzione è davvero uno a uno, e l'abbiamo dimostrato senza rappresentare graficamente.
Ora, vorremmo vedere quando qualche funzione fallisce questo test. Potremmo voler testare l'equazione del cerchio che abbiamo testato prima. Iniziamo scrivendo
f (a) = f (b)
f(x) = x2
=> a2=b2
a2 =b2
=> a = b oppure a = -b
Il che significa semplicemente che ci sono soluzioni diverse da a = b, quindi f (x) non è una funzione.
È COSÌ DIFFICILE TRAMA y = (x-1) / (x-2)?
Discuteremo la rappresentazione grafica di una funzione in modo molto più dettagliato nei prossimi articoli, ma qui è necessario familiarizzare con le basi della rappresentazione grafica poiché aiuta immensamente con la risoluzione dei problemi. Un'interpretazione visiva di un problema di calcolo spesso rende il problema molto semplice e sapere come rappresentare graficamente una funzione è la chiave per una buona interpretazione visiva.
Quindi, per tracciare il grafico di (x-1)/(x-2), iniziamo facendo alcune osservazioni critiche come
1. La funzione diventa 0 in x=1.
2. La funzione diventa indefinita in x=2 .
3. La funzione è positiva ovunque tranne che per 1
Poiché in questo intervallo (x-1) è positivo e (x-2) è negativo, questo rende il loro rapporto negativo.
4. Quando x va a -∞ la funzione si avvicina all'unità dal lato inferiore, il che significa che va vicino a 1 ma è sempre inferiore a 1.
Perché per x <0, (x-1) / (x-2) = (| x | +1) / (| x | +2) <1 come | x | +2> | x | +1
5. Quando x va a + ∞ la funzione si avvicina all'unità dal lato superiore, il che significa che va vicino a 1 ma è sempre maggiore di 1.
6. Quando x va a 2 dal lato sinistro, la funzione va a -∞.
7. Quando x va a 2 dal lato destro, la funzione va a + ∞.
8. La funzione è sempre decrescente per x> 2.
PROVA:
Prendiamo due valori di chiusura di x come (a, b) tali che (a, b)> 2 eb> a
ora, f (b) - f (a)
= (b-1) / (b-2) - (a-1) / (a-2)
={(b-1)(a-2)-(a-1)(b-2)}/(a-2)(b-2)
= (ab) / {(a-2) (b-2)}
<0 come (ab) <0 per b> a
e (a-2) (b-2)> 0 come (a, b)> 2
Ciò implica f (b) 2, in altre parole f (x) è strettamente decrescente per x> 2
- 9. La funzione è sempre decrescente per x <2
- PROVA: come prima. Lasciamo che tu provi.
La combinazione di queste osservazioni rende la rappresentazione grafica abbastanza semplice. Combinando 4,9 e 6 possiamo dire che quando x va da -∞ a 2, la traccia parte dall'unità e scende gradualmente fino a toccare 0 in x = 1 e scende ulteriormente a -∞ in x = 2. Combinando ancora 7,5 e 8 è facile vedere che quando x va da 2 a + ∞, la traccia inizia a cadere da + ∞ e continua ad avvicinarsi all'unità senza mai toccarla veramente.
Questo fa sembrare il grafico completo
Ora diventa evidente che la funzione è davvero uno a uno.
CONCLUSIONE
Finora abbiamo discusso le basi della teoria delle funzioni. Ora dovremmo essere chiari sulle definizioni e sui tipi di funzioni. Avevamo anche una piccola idea dell'interpretazione grafica delle funzioni. Il prossimo articolo tratterà molti più dettagli su concetti come intervallo e dominio, funzioni inverse, varie funzioni e relativi grafici e molti problemi risolti. Per approfondire lo studio, sei incoraggiato a leggere
Calcolo di Michael Spivak.
Algebra di Michael Artin.
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