Geometria delle coordinate 2D: 11 fatti importanti

Luogo nella geometria di coordinate 2D

Locus è una parola latina. Deriva dalla parola "luogo" o "posizione". Il plurale di locus è Loci.

Definizione di luogo:

In Geometria, 'Locus' è un insieme di punti che soddisfano una o più condizioni specificate di una figura o forma. Nella matematica moderna, la posizione o il percorso su cui un punto si muove sul piano che soddisfa determinate condizioni geometriche, è chiamato luogo del punto.

Il luogo è definito per la linea, il segmento di linea e le forme curve regolari o irregolari eccetto le forme che hanno vertice o angoli al loro interno in Geometria. https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system

Esempi sul luogo:

linee, cerchi, ellissi, parabole, iperboli ecc. tutte queste forme geometriche sono definite dal luogo dei punti.

Equazione del luogo:

La forma algebrica delle proprietà o condizioni geometriche che sono soddisfatte dalle coordinate di tutti i punti sul luogo è nota come equazione del luogo di quei punti.

Metodo per ottenere l'equazione del luogo:

Per trovare l'equazione del luogo di un punto in movimento su un piano, seguire il processo descritto di seguito

(i) In primo luogo, assumiamo le coordinate di un punto in movimento su un piano essere (h,k).

(ii) Secondo, derivare un'equazione algebrica con h e k dalle condizioni o proprietà geometriche date.

(iii) Terzo, sostituire h e k rispettivamente con x e y nella suddetta equazione. Ora questa equazione è chiamata l'equazione del luogo del punto in movimento sul piano. (x,y) sono le coordinate correnti del punto in movimento e l'equazione del luogo deve sempre essere derivata sotto forma di xey cioè coordinate correnti.

Ecco alcuni esempi per rendere chiara la concezione del luogo.

4+diversi tipi di problemi risolti su Locus:

1 problema: If P essere qualsiasi punto sul piano XY che è equidistante da due punti dati UN(3,2) e B(2,-1) sullo stesso piano, quindi trovare il luogo e l'equazione del luogo del punto P con grafico.

Soluzione:  

Assumiamo che le coordinate di ogni punto nel luogo di P sul piano XY sono (HK).

Poiché P è equidistante da A e B, possiamo scrivere

La distanza di P da A=La distanza di P da B

Oppure |PA|=|PB|

Oppure, (h² -6h+9+k² -4k+4) = (h² -4h+4+k² +2k+1)——– facendo quadrato su entrambi i lati.

Oppure, h² -6h+13+k² -4k -h²+4h-5-k² -2k = 0

Oppure, -2h -6k+8 = 0

Oppure, h+3k -4 = 0

Oppure, h+3k = 4 ——– (1)

Questa è un'equazione di primo grado di h e k.

Ora, se h e k sono sostituiti da x e y, l'equazione (1) diventa l'equazione di primo grado di x e y nella forma di x + 3y = 4 che rappresenta una linea retta.

Pertanto, il luogo del punto P(h, k) sul piano XY è una retta e l'equazione del luogo è x + 3y = 4 . (Risp.)

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2 problema: Se un punto R si muove sul piano XY in modo tale che AR:RB = 3:2 dove le coordinate dei punti A e B cambiano ciclicamente (-5,3) e (2,4) rispettivamente sullo stesso piano, quindi trovare il luogo del punto R.

Che tipo di curva indica l'equazione del luogo di R?

Soluzione:  Supponiamo che le coordinate di qualsiasi punto sul luogo del punto dato R sul piano XY be (m,n).

Asper data condizione AR:RB = 3:2,

noi abbiamo,

(La distanza di R da A) / (La distanza di R da B) = 3/2

Oppure, (m² +10m+34+n² -6n) / (m² -4m+n² -8n+20) =9/4 ———– facendo quadrato su entrambi i lati.

Oppure, 4(m² +10m+34+n² -6n) = 9(mm² -4m+n² -8n+20)

Oppure, 4m² +40m+136+4n² -24n = 9m² -36m+9n² -72n+180)

Oppure, 4m² +40m+136+4n² -24n – 9m² +36m-9n² +72n-180 = 0

Oppure, -5m² +76m-5n²+48n-44 = 0

Oppure, 5(m²+n²)-76m+48n+44 = 0 ———-(1)

Questa è un'equazione di secondo grado di m e n .

Ora se m e n sono sostituiti da x e y, l'equazione (1) diventa l'equazione di secondo grado di x e y nella forma di 5(x²+y²)-76x+48y+44 = 0 dove i coefficienti di x² ey² sono uguali e il coefficiente di xy è zero. Questa equazione rappresenta un cerchio.

Pertanto, il luogo del punto R(m, n) sul piano XY è un cerchio e l'equazione del luogo è

5(x)²+y²)-76x+48y+44 = 0 (Risp.)

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3 problema: Per tutti i valori di (θ,aCosθ,bSinθ) sono le coordinate un punto P che si muove sul piano XY. Trova l'equazione di luogo di P.

Soluzione:  siano (h, k) le coordinate di qualsiasi punto giacente nel luogo di P sul piano XY.

Quindi come risposta alla domanda, possiamo dire

h= un Cosθ

Oppure, h/a = Cosθ —————(1)

E k = b Sinθ

Oppure, k/b = Sinθ —————(2)

Ora prendendo il quadrato di entrambe le equazioni (1) e (2) e poi sommando, abbiamo l'equazione

h²/a² +k²/b² = Cos²θ + peccato²θ

Oppure, h²/a² +k²/b² = 1 (poiché Cos²θ + peccato²θ =1 in trigonometria)

Quindi l'equazione del luogo del punto P è x²/a² + y²/b² = 1. (Risp.)

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Problema 4: Trova l'equazione del luogo di un punto Q, che si muove sul piano XY, se le coordinate di Q sono

dove u è il parametro variabile.

soluzione: Sia (h, k) le coordinate di un qualsiasi punto nel luogo del punto Q dato mentre ci si sposta sul piano XY.

Allora, h = e k =

cioè h(3u+2) = 7u-2 e k(u-1) = 4u+5

cioè (3h-7)u = -2h-2 e (k-4)u = 5+k

cioè u = —————(1)

e u = —————(2)

Ora eguagliando le equazioni (1) e (2) otteniamo,

Oppure, (-2h-2)(k-4) = (3h-7)(5+k)

Oppure, -2hk+8h-2k+8 = 15h+3hk-35-7k

Oppure, -2hk+8h-2k-15h-3hk+7k = -35-8

Oppure, -5k-7h+5k = -43

Oppure, 5hk+7h-5k = 43

Pertanto, l'equazione del luogo di Q è 5xy+7x-5y = 43.

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Altri esempi su Locus con risposte per esercitarsi da soli:

Problemi 5: Se θ è una variabile e u una costante, allora trova l'equazione di luogo del punto di intersezione delle due rette x Cosθ + y Sinθ = u e x Sinθ- y Cosθ = u. (Ans. x²+y² =2u² )

Problemi 6: Trova l'equazione di luogo del punto medio del segmento di retta x Sinθ + y Cosθ = t tra gli assi. ( Risp. 1/x²+ 1 /y² =4/t² )

Problemi 7: Se un punto P si muove in modo tale sul piano XY che l'area del triangolo formata dal punto con due punti (2,-1) e (3,4). (Risp. 5x-y=11)

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Esempi di base sulle formule "Centroide di un triangolo"  nella geometria delle coordinate 2D

centroide: Le tre mediane di un triangolo si intersecano sempre in un punto, situato nell'area interna del triangolo e divide la mediana in rapporto 2:1 da qualsiasi vertice al punto medio del lato opposto. Questo punto è chiamato baricentro del triangolo.   

Problemi 1: Trova il baricentro del triangolo con i vertici (-1,0), (0,4) e (5,0).

Soluzione:   Lo sappiamo già,

                                             If  Ascia₁,y₁), B(x₂,y₂) e C(x₃,y₃) essere i vertici di un triangolo e Sol(x, y) essere il baricentro del triangolo, quindi Coordinate di G cambiano ciclicamente

e

Usando questa formula abbiamo , 

(x₁,y₁) (-1,0) cioè x₁=-1, y₁=0;

(x₂,y₂) (0,4) cioè   x₂= 0, y₂=4 e

(x₃,y₃) (5,0) cioè   x₃= 5, y₃=0

(Vedi grafico formule)

Quindi, la coordinata x del baricentro G,   

vale a dire

cioè x=4/3

                  e 

la coordinata y del baricentro G,  

ie

cioè y=4/3

Pertanto, le coordinate del baricentro del triangolo dato è . (risposta)

Di seguito vengono forniti ulteriori problemi con risposta per ulteriore pratica utilizzando la procedura descritta nel problema 1 sopra: -

Problemi 2: Trova le coordinate del baricentro del triangolo con i vertici nei punti (-3,-1), (-1,3)) e (1,1).

Ans. (-1,1)

Problemi 3: Qual è la coordinata x del baricentro del triangolo con i vertici (5,2), (10,4) e (6,-1)?

Ans. 7 

Problemi 4: Tre vertici di un triangolo sono (5,9), (2,15) e (11,12). Trova il baricentro di questo triangolo.

Ans. (6,12)

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Cambio di origine / Traslazione degli assi - Geometria delle coordinate 2D

Spostamento dell'Origine significa spostare l'Origine in un nuovo punto mantenendo invariato l'orientamento degli assi, ovvero i nuovi assi rimangono paralleli agli assi originali nello stesso piano. Con questo processo di traslazione degli assi o spostamento dell'origine molti problemi sull'equazione algebrica di una forma geometrica vengono semplificati e risolti facilmente.

Le formule di “Spostamento di Origine” o “Traslazione Assi” sono descritte di seguito con rappresentazione grafica.

Formula:

Se O è l'origine ,P(x,y) è un punto qualsiasi del piano XY e O è spostato in un altro punto O′(a,b) rispetto al quale le coordinate del punto P diventano (x₁,y₁) nello stesso piano con nuovi assi X₁Y₁  ,Allora le nuove coordinate di P sono

x₁ = x-a

y₁ = y- b

Rappresentazione grafica per chiarimento: Segui i grafici

Pochi risolti Problemi sulla formula di 'Spostamento di Origine':

Problema-1: Se ci sono due punti (3,1) e (5,4) nello stesso piano e l'origine viene spostata al punto (3,1) mantenendo i nuovi assi paralleli agli assi originali, trovare le coordinate di il punto (5,4) rispetto alla nuova origine e agli assi.

Soluzione: Confrontando con la formula di 'Spostamento di Origine' descritta sopra, abbiamo una nuova Origine, O′(a, b) ≌ (3,1) cioè a=3 , b=1 e il punto richiesto P, (x, y) ≌ (5,4) ovvero x=5 , y=4

Ora se (x₁,y₁) essere le nuove coordinate del punto P(5,4) ,quindi come formula x₁ = xa e y₁ =yb,

otteniamo, x₁ = 5-3 e y₁ = 4-1

cioè x₁ = 2 e y₁ =3

Pertanto, le nuove coordinate richieste del punto (5,4) sono (2,3) . (Risp.)

Problema-2: Dopo aver spostato l'Origine in un punto nello stesso piano, rimanendo gli assi paralleli tra loro, le coordinate di un punto (5,-4) diventano (4,-5). Trova le Coordinate della nuova Origine.

Soluzione: Qui usando la formula di 'Spostamento dell'Origine' o 'Traslazione degli Assi' , possiamo dire che le coordinate del punto P rispetto alla vecchia e alla nuova Origine e agli assi sono rispettivamente (x, y) ≌ (5,-4) cioè x=5 , y= -4 e (x₁,y₁) ≌ (4,-5) cioè  x₁= 4, a₁= -5

Ora dobbiamo trovare le coordinate della nuova Origine O'(a, b) vale a dire a=?, b=?

formula Asper,

x₁ = x- a

y₁ = y- b

vale a dire a=xx₁ e b=yy₁

oro, a=5-4 e b= -4-(-5)

oro, a=1 e b= -4+5

oro, a=1 e b= 1

Quindi, O'(1,1) è la nuova Origine cioè le coordinate della nuova Origine sono (1,1). (Risp.)

Esempi di base sulle formule “Colinearità di punti (tre punti)” in Geometria a coordinate 2D

Problemi 1:  Verificare se i punti (1,0), (0,0) e (-1,0) sono collineari o meno.

Soluzione:   Lo sappiamo già,

                                            If  Ascia₁,y₁), B(x₂,y₂) e C(x₃,y₃) essere tre punti allineati qualsiasi, allora l'area del triangolo da essi formato deve essere zero ie l'area del triangolo è ½[x₁ (y₂– si₃) + x₂ (y₃– si₁) + x₃ (y₁-y₂)] =0

(Vedi grafico formule)

Usando questa formula abbiamo ,

(x₁,y₁) (-1,0) cioè   x₁=-1, y₁= 0 ;

(x₂,y₂) (0,0) cioè   x₂= 0, y₂= 0;

(x₃,y₃) (1,0) cioè    x₃= 1, y₃= 0

Quindi, l'area del triangolo è = |½[x₁ (y₂-  y₃) + x₂ (y₃-  y₁) + x₃ (y₁-y₂)]| ie.

(LHS) = |½[-1 (0-0) + 0 (0-0) + 1 (0-0)]|

= |½[(- 1)x0 + 0x0 + 1×0]|

= |½[0 + 0 + 0]|

= |½ x 0|

= 0 (RHS)

Pertanto, l'area del triangolo formata da quei punti dati diventa zero, il che significa che si trovano sulla stessa linea.

Pertanto, i punti dati sono punti allineati. (risposta)

Di seguito vengono fornite ulteriori risposte ai problemi per ulteriori esercitazioni utilizzando la procedura descritta sopra problema 1: -

Problemi 2: Verifica se i punti (-1,-1), (0,0) e (1,1) sono allineati o meno.

Ans. Sì

Problemi 3: È possibile tracciare una linea attraverso tre punti (-3,2), (5,-3) e (2,2)?

Ans.Non

Problemi 4: Verificare se i punti (1,2), (3,2) e (-5,2), collegati da linee, possono formare un triangolo nel piano delle coordinate.

Ans. Non

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Esempi di base sulle formule "Incentro di un triangolo" nella geometria delle coordinate 2D

In centro:È il centro del cerchio più grande del triangolo che si adatta all'interno del triangolo. È anche il punto di intersezione delle tre bisettrici degli angoli interni del triangolo.

Problemi 1: I vertici di un triangolo con i lati sono rispettivamente (-2,0), (0,5) e (6,0). Trova l'incentro del triangolo.

Soluzione: Lo sappiamo già,

If  Ascia₁,y₁), B(x₂,y₂) e C(x₃,y₃) essere i vertici, BC=a, CA=b e AB=c , G′(x,y) essere il centro del triangolo,

Le coordinate di G' cambiano ciclicamente

e         

(Vedi grafico formule)

Asper la formula che abbiamo,

(x₁,y₁) (-4,0) cioè  x₁=-4, y₁=0;

(x₂,y₂) (0,3) cioè  x₂= 0, y₂=3 ;

(x₃,y₃) (0,0) cioè   x₃= 0, y₃=0

Abbiamo ora,

a= [(x₂-x₁)²+ (y₂-y₁)² ]

Oppure, a= [(0+4)²+(3-0)² ]

Oppure, a= [(4)²+ (3)² ]

Oppure, a= (16+9)

Oppure, a= 25

oro, a = 5 —————— (1)

b=√ [(x₁-x₃)²+ (y₁-y₃)² ]

Oppure, b= [(-4-0)²+(0-0)² ]

Oppure, b= [(-4)²+ (0)² ]

Oppure, b= (16+0)

Oppure, b= √16

oro, b= 4 ——————––(2)

c= [(x₃-x₂)²+ (y₃-y₂)² ]

Oppure, c= [(0-0)²+(0-3)² ]

Oppure, c= [(0)²+(-3)² ]

Oppure, c= (0+9)

Oppure, c= 9

oro, c= 3 ——————––(3)

e unx₁+ bx₂ +cx₃ = (5 X (-4)) + (4 X 0) + (3 X 6 )

= -20+0+18

oro, ax₁+ bx₂ +cx₃ = -2 ——————-(4)

ay₁+ by₂+ ci₃ = (5 X 0) + (4 X 3) + (3 X 0)

= 0+12+0

oro, ay₁+ di₂+ ci₃ = 12 ——————––(5)

a+b+c = 5+4+3

oro, a+b+c = 12 ——————(6)

Usando le equazioni di cui sopra (1), (2), (3), (4), (5) e (6) possiamo calcolare il valore di x e y da

Oppure, x = -2/12

Oppure, x = -1/6

e

Oppure, y = 12/12

Oppure, y = 1

Quindi le coordinate richieste dell'incentro del triangolo dato sono (-1/6, 1). (Risp.)

Di seguito vengono forniti ulteriori problemi con risposta per ulteriore pratica utilizzando la procedura descritta nel problema 1 sopra: -

Problemi 2: Trova le coordinate dell'incentro del triangolo con i vertici nei punti (-3,-1), (-1,3)) e (1,1).

Problemi 3: Qual è la coordinata x dell'incentro del triangolo con i vertici (0,2), (0,0) e (0,-1)?

Problemi 4: Tre vertici di un triangolo sono (1,1), (2,2) e (3,3). Trova l'incentro di questo triangolo.

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