11 Fatti sulle aspettative matematiche e variabili casuali


Aspettativa matematica e variabile casuale    

     L'aspettativa matematica gioca un ruolo molto importante nella teoria della probabilità, la definizione di base e le proprietà di base dell'aspettativa matematica abbiamo già discusso in alcuni articoli precedenti ora dopo aver discusso le varie distribuzioni e tipi di distribuzioni, nel prossimo articolo ne prenderemo confidenza con un po' di più proprietà avanzate di aspettativa matematica.

Aspettativa di somma di variabili casuali | Aspettativa di funzione di variabili casuali | Aspettativa della distribuzione di probabilità congiunta

     Sappiamo che l'aspettativa matematica della variabile casuale di natura discreta è

e per quello continuo è

ora per la variabile casuale X e Y se discreta quindi con il giunto funzione di massa di probabilità p(x,y)

l'aspettativa della funzione della variabile casuale X e Y sarà

e se continua allora con la funzione di densità di probabilità congiunta f(x, y) l'aspettativa della funzione della variabile casuale X e Y sarà

se g è l'aggiunta di queste due variabili casuali in forma continua il

e se per le variabili casuali X e Y abbiamo

X>Y

poi anche l'attesa

Esempio

Un ospedale Covid-19 è distribuito uniformemente sulla strada della lunghezza L in un punto X, un veicolo che trasporta ossigeno per i pazienti è in una posizione Y che è anche distribuito uniformemente sulla strada, Trova la distanza prevista tra ospedale Covid-19 e veicolo che trasporta ossigeno se sono indipendenti.

Soluzione:

Per trovare la distanza attesa tra X e Y dobbiamo calcolare E { | XY | }

Ora la funzione di densità congiunta di X e Y sarà

da

seguendo questo abbiamo

ora il valore dell'integrale sarà

Quindi la distanza attesa tra questi due punti sarà

Aspettativa della media del campione

  Come media campionaria della sequenza di variabili casuali X1, X2, ………, Xn con funzione di distribuzione F e valore atteso di ciascuno come μ is

quindi l'aspettativa di questa media campionaria sarà

che mostra che anche il valore atteso della media campionaria è μ.

La disuguaglianza di Boole

                di Boole la disuguaglianza può essere ottenuta con l'aiuto di proprietà delle aspettative, supponiamo la variabile casuale X definita come

where

qui Ai sono gli eventi casuali, questo significa che la variabile casuale X rappresenta l'occorrenza del numero di eventi Ai e un'altra variabile casuale Y come

chiaramente

X>=Y

E[X] >= E[Y]

e così è

ora se prendiamo il valore della variabile casuale X e Y queste aspettative saranno

e

sostituendo queste aspettative nella disuguaglianza di cui sopra otterremo la disuguaglianza di Boole come

Aspettativa della variabile casuale binomiale | Media della variabile casuale binomiale

  Sappiamo che il variabile casuale binomiale è la variabile casuale che mostra il numero di successi in n prove indipendenti con probabilità di successo come p e fallimento come q=1-p, quindi se

X=X1 + X2+ …….+ Xn

Dove

ecco questi Xi sono le Bernoulli e l'aspettativa sarà

quindi l'aspettativa di X sarà

Aspettativa della variabile casuale binomiale negativa | Media della variabile casuale binomiale negativa

  Sia una variabile casuale X che rappresenta il numero di prove necessarie per raccogliere r successi, allora tale variabile casuale è nota come variabile casuale binomiale negativa e può essere espressa come

qui ogni Xi indichiamo il numero di prove richieste dopo il (i-1)esimo successo per ottenere il totale di i successi.

Poiché ciascuno di questi Xi rappresentano la variabile casuale geometrica e sappiamo che l'aspettativa per la variabile casuale geometrica è

so

qual è aspettativa di variabile casuale binomiale negativa.

Aspettativa della variabile casuale ipergeometrica | Media della variabile casuale ipergeometrica

L'aspettativa o media della variabile casuale ipergeometrica che otterremo con l'aiuto di un semplice esempio di vita reale, se n numero di libri sono selezionati casualmente da uno scaffale contenente N libri di cui m sono di matematica, quindi per trovare il numero atteso di libri di matematica indichiamo con X il numero di libri di matematica selezionati, quindi possiamo scrivere X come

where

so

=n/N

che dà

che è la media di tale variabile casuale ipergeometrica.

Numero previsto di partite

   Questo è un problema molto diffuso legato all'aspettativa, supponiamo che in una stanza ci sia un numero N di persone che lanciano i loro cappelli nel mezzo della stanza e tutti i cappelli sono mescolati dopo che ogni persona sceglie a caso un cappello quindi il numero previsto di persone che scelgono il proprio cappello si ottiene ponendo X come numero di fiammiferi così

Dove

poiché ogni persona ha pari opportunità di selezionare uno qualsiasi dei cappelli da N cappelli allora

so

il che significa che in media esattamente una persona sceglie il proprio cappello.

La probabilità di un'unione di eventi

     Otteniamo la probabilità dell'unione degli eventi con l'aiuto dell'aspettativa quindi per gli eventi Ai

con questo prendiamo

quindi l'aspettativa di questo sarà

ed espandendo usando la proprietà di aspettativa come

dal momento che abbiamo

Aspettativa matematica
Aspettativa matematica: la probabilità di un'unione di eventi

e

so

questo implica la probabilità di unione come

Limiti dalle aspettative utilizzando il metodo probabilistico

    Supponiamo che S sia un insieme finito e f sia la funzione sugli elementi di S e

qui possiamo ottenere il limite inferiore per questo m dall'aspettativa di f(s) dove "s" è un qualsiasi elemento casuale di S la cui aspettativa possiamo calcolare così

qui otteniamo l'aspettativa come il limite inferiore per il valore massimo

Identità massima-minima

 Massimo Minimo identità è il massimo dell'insieme dei numeri ai minimi dei sottoinsiemi di questi numeri cioè per qualsiasi numero xi

Per mostrarlo restringiamo xi all'interno dell'intervallo [0,1], supponiamo una variabile casuale uniforme U sull'intervallo (0,1) e gli eventi Ai poiché la variabile uniforme U è minore di xi cioè

poiché almeno uno degli eventi precedenti si verifica poiché U è minore di uno il valore di xi

e

Chiaramente lo sappiamo

e tutti gli eventi si verificheranno se U è minore di tutte le variabili e

la probabilità dà

abbiamo il risultato della probabilità di unione come

seguendo questa formula di esclusione di inclusione per la probabilità

prendere in considerazione

questo da

da

che significa

  • quindi possiamo scriverlo come

prendendo aspettativa possiamo trovare i valori attesi di massimi e minimi parziali come

Conclusione:

L'aspettativa in termini di varia distribuzione e correlazione dell'aspettativa con alcuni dei teoria della probabilità i concetti erano al centro di questo articolo che mostra l'uso dell'aspettativa come strumento per ottenere i valori attesi di diversi tipi di variabili casuali, se hai bisogno di ulteriori letture, leggi i libri di seguito.

Per ulteriori articoli sulla matematica, consulta il nostro Pagina di matematica.

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

Un primo corso di probabilità di Sheldon Ross

Schemi di probabilità e statistica di Schaum

Un'introduzione alla probabilità e alle statistiche di ROHATGI e SALEH

DOTT. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

io sono il dott. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ho completato il mio dottorato di ricerca in Matematica e lavoro come assistente universitario in Matematica. Avere 12 anni di esperienza nell'insegnamento. Avere una vasta conoscenza di Matematica Pura, precisamente di Algebra. Avere l'immensa capacità di progettazione e risoluzione dei problemi. Capace di motivare i candidati per migliorare le loro prestazioni. Mi piace contribuire a Lambdageeks per rendere la matematica semplice, interessante e autoesplicativa per principianti ed esperti. Connettiamoci tramite LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

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