Funzione generatrice di momenti
La funzione generatrice del momento è una funzione molto importante che genera i momenti della variabile casuale che coinvolgono media, deviazione standard e varianza ecc., quindi con l'aiuto solo della funzione generatrice del momento, possiamo trovare i momenti base così come i momenti superiori. In questo articolo noi vedrà le funzioni di generazione del momento per le diverse variabili casuali discrete e continue. Poiché la funzione di generazione del momento (MGF) è definita con l'aiuto delle aspettative matematiche indicate da m (t) come
e usando la definizione di aspettativa per la variabile casuale discreta e continua questa funzione sarà
che sostituendo il valore di t come zero genera rispettivi momenti. Questi momenti dobbiamo raccogliere differenziando questa funzione generatrice di momenti ad esempio per primo momento o media che possiamo ottenere differenziando una volta come
Questo dà il suggerimento che la differenziazione è intercambiabile sotto l'aspettativa e possiamo scriverla come
ed
se t=0 i momenti precedenti saranno
ed
In generale possiamo dire che
quindi
Funzione generatrice del momento della distribuzione binomiale||Funzione generatrice del momento della distribuzione binomiale||MGF della distribuzione binomiale||Media e varianza della distribuzione binomiale utilizzando la funzione generatrice del momento
La funzione generatrice del momento per la variabile casuale X che è distribuzione binomiale seguirà la funzione di probabilità della distribuzione binomiale con i parametri n e p come
che è il risultato del teorema binomiale, ora differenziando e ponendo il valore di t=0
che è il mezzo o il primo momento della distribuzione binomiale allo stesso modo il secondo momento sarà
quindi la varianza della distribuzione binomiale sarà
che è la media e la varianza standard della distribuzione binomiale, allo stesso modo anche i momenti più alti possiamo trovare usando questa funzione generatrice di momenti.
Funzione generatrice di momenti di Poisson distribuzione||Poisson funzione generatrice del momento di distribuzione||MGF of Poisson distribuzione||Media e varianza della distribuzione di Poisson utilizzando la funzione generatrice di momenti
Se abbiamo la variabile casuale X che è distribuita da Poisson con il parametro Lambda, allora la funzione generatrice del momento per questa distribuzione sarà
ora differenziando questo darà
questo da
che dà la media e la varianza per la distribuzione di Poisson stessa che è vera
Funzione generatrice del momento della distribuzione esponenziale||Esponenziale funzione generatrice del momento di distribuzione||MGF of Esponenziale distribuzione||Media e varianza di Esponenziale distribuzione usando la funzione generatrice di momenti
La funzione generatrice del momento per la variabile casuale esponenziale X seguendo la definizione è
qui il valore di t è inferiore al parametro lambda, ora differenziando questo darà
che fornisce i momenti
chiaramente
Quali sono la media e la varianza della distribuzione esponenziale.
Funzione generatrice del momento della distribuzione normale||Normal funzione generatrice del momento di distribuzione||MGF of Normal distribuzione||Media e varianza di Normale distribuzione usando la funzione generatrice di momenti
La funzione generatrice di momenti per le distribuzioni continue è uguale a quella discreta quindi la funzione generatrice di momenti per la distribuzione normale con funzione di densità di probabilità standard sarà
questa integrazione possiamo risolverla aggiustando come
poiché il valore dell'integrazione è 1. Quindi la funzione generatrice dei momenti per la variabile normale standard sarà
da questo possiamo ricavare per ogni variabile aleatoria normale generale la funzione generatrice dei momenti usando la relazione
così
così la differenziazione ci dà
così
quindi la varianza sarà
Funzione generatrice del momento di Somma di variabili casuali
I Funzione generatrice di momenti della somma delle variabili casuali dà proprietà importante che è uguale al prodotto della funzione generatrice dei momenti delle rispettive variabili casuali indipendenti cioè per le variabili casuali indipendenti X e Y quindi la funzione generatrice dei momenti per la somma della variabile casuale X+Y è
qui le funzioni generatrici di momento di ciascuna X e Y sono indipendenti dalla proprietà dell'aspettativa matematica. In successione troveremo la somma delle funzioni di generazione del momento di diverse distribuzioni.
Somma di variabili casuali binomiali
Se le variabili casuali X e Y sono distribuite per distribuzione binomiale con i parametri (n,p) e (m,p) rispettivamente, allora la funzione generatrice dei momenti della loro somma X+Y sarà
dove i parametri per la somma sono (n+m,p).
Somma di variabili casuali di Poisson
La distribuzione per la somma delle variabili casuali indipendenti X e Y con rispettive medie che sono distribuite dalla distribuzione di Poisson la possiamo trovare come
Dove
è la media della variabile casuale di Poisson X+Y.
Somma di variabili casuali normali
Considera l'indipendente normali variabili casuali X e Y con i parametri
quindi per la somma delle variabili casuali X+Y con parametri
quindi la funzione generatrice dei momenti sarà
che è una funzione generatrice di momenti con media e varianza additiva.
Somma del numero casuale di variabili casuali
Per trovare la funzione di generazione del momento della somma del numero casuale di variabili casuali assumiamo la variabile casuale
dove le variabili casuali X1,X2, … sono sequenze di variabili casuali di qualsiasi tipo, che sono indipendenti e identicamente distribuite allora la funzione generatrice del momento sarà
Che dà la funzione generatrice dei momenti di Y sulla differenziazione come
quindi
allo stesso modo la differenziazione due volte darà
che danno
quindi la varianza sarà
Esempio di variabile casuale Chi-quadrato
Calcola la funzione generatrice dei momenti della variabile casuale Chi-quadrato con n gradi di libertà.
Soluzione: si consideri la variabile casuale Chi-quadrato con n gradi di libertà per
la sequenza delle variabili normali standard allora la funzione generatrice del momento sarà will
così dà
la densità normale con media 0 e varianza σ2 integra a 1
che è la funzione generatrice del momento richiesta di n gradi di libertà.
Esempio di variabile casuale uniforme
Trova la funzione generatrice di momento della variabile casuale X che è distribuita in modo binomiale con i parametri n e p dati i condizionale variabile casuale Y=p sull'intervallo (0,1)
Soluzione: trovare la funzione generatrice dei momenti della variabile casuale X data Y
utilizzando la distribuzione binomiale, sin Y è la variabile casuale Uniforme sull'intervallo (0,1)
Funzione generatrice del momento articolare
La funzione generatrice del momento congiunto per il numero n di variabili casuali X1,X2,…,Xn
dove1,t2,……Tn sono i numeri reali, dalla funzione generatrice del momento congiunta possiamo trovare la funzione generatrice del momento individuale come
Teorema: Le variabili casuali X1,X2,…,Xn sono indipendenti se e solo se la funzione generatrice di mementi congiunta
Dimostrazione: Assumiamo che le variabili casuali date X1,X2,…,Xn sono indipendenti allora
Supponiamo ora che la funzione generatrice del momento articolare soddisfi l'equazione
- per dimostrare le variabili casuali X1,X2,…,Xn sono indipendenti abbiamo il risultato che la funzione generatrice del momento comune fornisce in modo univoco la distribuzione congiunta (questo è un altro risultato importante che richiede una dimostrazione) quindi dobbiamo avere una distribuzione congiunta che mostra che le variabili casuali sono indipendenti, quindi la condizione necessaria e sufficiente è dimostrata.
Esempio di funzione generatrice del momento articolare
1.Calcula la funzione di generazione del momento articolare della variabile casuale x+y e x-y
Soluzione: Poiché la somma delle variabili casuali X+Y e la sottrazione delle variabili casuali XY sono indipendenti come per le variabili casuali indipendenti X e Y, la funzione generatrice del momento congiunta per queste sarà
poiché questa funzione generatrice di momenti determina la distribuzione congiunta, quindi da questo possiamo avere X+Y e XY sono variabili casuali indipendenti.
2. Considera per l'esperimento il numero di eventi contati e non contati distribuiti per distribuzione di Poisson con probabilità pe media λ, mostra che il numero di eventi contati e non contati sono indipendenti con rispettive medie λp e λ(1-p).
Soluzione: considereremo X come il numero di eventi e Xc il numero di eventi contati quindi il numero di eventi non contati è XXc,la funzione di generazione del momento articolare genererà il momento
e dalla funzione generatrice dei momenti della distribuzione binomiale
e togliere le aspettative da questi darà
Conclusione:
Utilizzando la definizione standard di funzione generatrice di momenti sono stati discussi i momenti per le diverse distribuzioni come binomiale, poisson, normale ecc. e la somma di queste variabili casuali è stata ottenuta con la funzione generatrice di momenti discreta o continua per quelle e la funzione generatrice di momenti congiunta Esempi adatti, se hai bisogno di ulteriori letture, passa attraverso i libri.
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