Variabile casuale normale e distribuzione normale
La variabile casuale con un insieme di valori non numerabile è nota come variabile casuale continua e la funzione di densità di probabilità con l'aiuto dell'integrazione come area sotto la curva fornisce la distribuzione continua, ora ci concentreremo su una delle variabili casuali continue più utilizzate e frequenti vale a dire variabile casuale normale che ha un altro nome come variabile casuale gaussiana o distribuzione gaussiana.
Variabile casuale normale
La variabile casuale normale è la variabile casuale continua con funzione di densità di probabilità
avendo cattiva μ e varianza σ2 come parametri statistici e geometricamente la funzione di densità di probabilità ha la curva a campana che è simmetrica rispetto alla media μ.
Sappiamo che la funzione di densità di probabilità ha la probabilità totale come una sola
inserendo y = (x-μ) / σ
questa doppia integrazione può essere risolta convertendola in forma polare
che è il valore richiesto quindi è verificato per l'integrale I.
- Se X è normalmente distribuito con il parametro μ e σ2 allora anche Y = aX + b è normalmente distribuito con i parametri aμ + be a2μ2
Aspettativa e varianza della variabile casuale normale
Il valore atteso della variabile casuale normale e la varianza che otterremo con l'aiuto di
dove X è normalmente distribuito con la media dei parametri μ e deviazione standard σ.
poiché la media di Z è zero quindi abbiamo la varianza come
utilizzando l'integrazione per parti
per la variabile Z l'interpretazione grafica è la seguente
e l'area sotto la curva per questa variabile Z che è nota come variabile normale standard, it è calcolato per il riferimento (dato in tabella), poiché la curva è simmetrica quindi per valore negativo l'area sarà uguale a quella dei valori positivi
z | 0.00 | 0.01 | 0.02 | 0.03 | 0.04 | 0.05 | 0.06 | 0.07 | 0.08 | 0.09 |
0.0 | 0.50000 | 0.50399 | 0.50798 | 0.51197 | 0.51595 | 0.51994 | 0.52392 | 0.52790 | 0.53188 | 0.53586 |
0.1 | 0.53983 | 0.54380 | 0.54776 | 0.55172 | 0.55567 | 0.55962 | 0.56356 | 0.56749 | 0.57142 | 0.57535 |
0.2 | 0.57926 | 0.58317 | 0.58706 | 0.59095 | 0.59483 | 0.59871 | 0.60257 | 0.60642 | 0.61026 | 0.61409 |
0.3 | 0.61791 | 0.62172 | 0.62552 | 0.62930 | 0.63307 | 0.63683 | 0.64058 | 0.64431 | 0.64803 | 0.65173 |
0.4 | 0.65542 | 0.65910 | 0.66276 | 0.66640 | 0.67003 | 0.67364 | 0.67724 | 0.68082 | 0.68439 | 0.68793 |
0.5 | 0.69146 | 0.69497 | 0.69847 | 0.70194 | 0.70540 | 0.70884 | 0.71226 | 0.71566 | 0.71904 | 0.72240 |
0.6 | 0.72575 | 0.72907 | 0.73237 | 0.73565 | 0.73891 | 0.74215 | 0.74537 | 0.74857 | 0.75175 | 0.75490 |
0.7 | 0.75804 | 0.76115 | 0.76424 | 0.76730 | 0.77035 | 0.77337 | 0.77637 | 0.77935 | 0.78230 | 0.78524 |
0.8 | 0.78814 | 0.79103 | 0.79389 | 0.79673 | 0.79955 | 0.80234 | 0.80511 | 0.80785 | 0.81057 | 0.81327 |
0.9 | 0.81594 | 0.81859 | 0.82121 | 0.82381 | 0.82639 | 0.82894 | 0.83147 | 0.83398 | 0.83646 | 0.83891 |
1.0 | 0.84134 | 0.84375 | 0.84614 | 0.84849 | 0.85083 | 0.85314 | 0.85543 | 0.85769 | 0.85993 | 0.86214 |
1.1 | 0.86433 | 0.86650 | 0.86864 | 0.87076 | 0.87286 | 0.87493 | 0.87698 | 0.87900 | 0.88100 | 0.88298 |
1.2 | 0.88493 | 0.88686 | 0.88877 | 0.89065 | 0.89251 | 0.89435 | 0.89617 | 0.89796 | 0.89973 | 0.90147 |
1.3 | 0.90320 | 0.90490 | 0.90658 | 0.90824 | 0.90988 | 0.91149 | 0.91308 | 0.91466 | 0.91621 | 0.91774 |
1.4 | 0.91924 | 0.92073 | 0.92220 | 0.92364 | 0.92507 | 0.92647 | 0.92785 | 0.92922 | 0.93056 | 0.93189 |
1.5 | 0.93319 | 0.93448 | 0.93574 | 0.93699 | 0.93822 | 0.93943 | 0.94062 | 0.94179 | 0.94295 | 0.94408 |
1.6 | 0.94520 | 0.94630 | 0.94738 | 0.94845 | 0.94950 | 0.95053 | 0.95154 | 0.95254 | 0.95352 | 0.95449 |
1.7 | 0.95543 | 0.95637 | 0.95728 | 0.95818 | 0.95907 | 0.95994 | 0.96080 | 0.96164 | 0.96246 | 0.96327 |
1.8 | 0.96407 | 0.96485 | 0.96562 | 0.96638 | 0.96712 | 0.96784 | 0.96856 | 0.96926 | 0.96995 | 0.97062 |
1.9 | 0.97128 | 0.97193 | 0.97257 | 0.97320 | 0.97381 | 0.97441 | 0.97500 | 0.97558 | 0.97615 | 0.97670 |
2.0 | 0.97725 | 0.97778 | 0.97831 | 0.97882 | 0.97932 | 0.97982 | 0.98030 | 0.98077 | 0.98124 | 0.98169 |
2.1 | 0.98214 | 0.98257 | 0.98300 | 0.98341 | 0.98382 | 0.98422 | 0.98461 | 0.98500 | 0.98537 | 0.98574 |
2.2 | 0.98610 | 0.98645 | 0.98679 | 0.98713 | 0.98745 | 0.98778 | 0.98809 | 0.98840 | 0.98870 | 0.98899 |
2.3 | 0.98928 | 0.98956 | 0.98983 | 0.99010 | 0.99036 | 0.99061 | 0.99086 | 0.99111 | 0.99134 | 0.99158 |
2.4 | 0.99180 | 0.99202 | 0.99224 | 0.99245 | 0.99266 | 0.99286 | 0.99305 | 0.99324 | 0.99343 | 0.99361 |
2.5 | 0.99379 | 0.99396 | 0.99413 | 0.99430 | 0.99446 | 0.99461 | 0.99477 | 0.99492 | 0.99506 | 0.99520 |
2.6 | 0.99534 | 0.99547 | 0.99560 | 0.99573 | 0.99585 | 0.99598 | 0.99609 | 0.99621 | 0.99632 | 0.99643 |
2.7 | 0.99653 | 0.99664 | 0.99674 | 0.99683 | 0.99693 | 0.99702 | 0.99711 | 0.99720 | 0.99728 | 0.99736 |
2.8 | 0.99744 | 0.99752 | 0.99760 | 0.99767 | 0.99774 | 0.99781 | 0.99788 | 0.99795 | 0.99801 | 0.99807 |
2.9 | 0.99813 | 0.99819 | 0.99825 | 0.99831 | 0.99836 | 0.99841 | 0.99846 | 0.99851 | 0.99856 | 0.99861 |
3.0 | 0.99865 | 0.99869 | 0.99874 | 0.99878 | 0.99882 | 0.99886 | 0.99889 | 0.99893 | 0.99896 | 0.99900 |
3.1 | 0.99903 | 0.99906 | 0.99910 | 0.99913 | 0.99916 | 0.99918 | 0.99921 | 0.99924 | 0.99926 | 0.99929 |
3.2 | 0.99931 | 0.99934 | 0.99936 | 0.99938 | 0.99940 | 0.99942 | 0.99944 | 0.99946 | 0.99948 | 0.99950 |
3.3 | 0.99952 | 0.99953 | 0.99955 | 0.99957 | 0.99958 | 0.99960 | 0.99961 | 0.99962 | 0.99964 | 0.99965 |
3.4 | 0.99966 | 0.99968 | 0.99969 | 0.99970 | 0.99971 | 0.99972 | 0.99973 | 0.99974 | 0.99975 | 0.99976 |
3.5 | 0.99977 | 0.99978 | 0.99978 | 0.99979 | 0.99980 | 0.99981 | 0.99981 | 0.99982 | 0.99983 | 0.99983 |
poiché abbiamo utilizzato la sostituzione
Qui tieni presente che Z è la variazione normale standard dove come la variabile casuale continua X è normalmente distribuita normale variabile casuale con media μ e deviazione standard σ.
Quindi per trovare la funzione di distribuzione per la variabile casuale useremo la conversione alla variabile normale standard come
per qualsiasi valore di a.
Esempio: Nella curva normale standard trova l'area tra i punti 0 e 1.2.
Se seguiamo la tabella il valore di 1.2 sotto la colonna 0 è 0.88493 e il valore di 0 è 0.5000,
Esempio: trova l'area per la curva normale standard compresa tra -0.46 e 2.21.
Dalla regione ombreggiata possiamo biforcare questa regione da -0.46 a 0 e da 0 a 2.21 perché la curva normale è simmetrica attorno all'asse y quindi l'area da -0.46 a 0 è uguale a quella da 0 a 0.46 quindi dalla tabella
ed
quindi possiamo scriverlo come
Area totale = (area tra z = -0.46 ez = 0) + (area tra z = 0 ez = 2.21)
= 0.1722 + 0.4864
= 0.6586
Esempio: Se X è una variabile casuale normale con media 3 e varianza 9, trova le seguenti probabilità
P2
P{X>0}
P|X-3|>6
Soluzione: dal momento che abbiamo
quindi biforcando negli intervalli da -1/3 a 0 e da 0 a 2/3 otterremo la soluzione dai valori tabulari
or
= 0.74537 -1 + 0.62930 = 0.37467
ed
Esempio: Un osservatore nel caso di paternità afferma che la durata (in giorni) della crescita umana
è normalmente distribuito con parametri media 270 e varianza 100. In questo caso l'indagato padre del bambino ha fornito la prova di essere stato fuori dal Paese durante un periodo iniziato 290 giorni prima della nascita del bambino e terminato 240 giorni prima la nascita. Trova la probabilità che la madre possa aver avuto la gravidanza molto lunga o brevissima indicata dal testimone?
Indichiamo con X la variabile casuale normalmente distribuita per la gestazione e consideriamo che il sospetto è il padre del bambino. In quel caso la nascita del bambino è avvenuta entro il tempo specificato ha la probabilità
Relazione tra variabile casuale normale e variabile casuale binomiale
In caso di distribuzione binomiale la media è np e la varianza è npq quindi se convertiamo tale variabile casuale binomiale con tale media e deviazione standard avente n molto grande ep o q sono molto piccoli avvicinandosi a zero allora la variabile normale standard Z con la aiuto di questi media e varianza è
qui in termini di Prove di Bernouli X considera il numero di successi in n prove. Quando n è aumenta e si avvicina all'infinito, questa variazione normale va nello stesso modo per diventare una variazione normale standard.
La relazione di variata binomiale e normale standard possiamo trovare con l'aiuto del seguente teorema.
Teorema del limite di DeMoivre Laplace
If Sn indica il numero di successi che si verificano quando n prove indipendenti, ciascuna con successo con probabilità p , vengono eseguiti, quindi, per qualsiasi a <b,
Esempio: Con l'aiuto della normale approssimazione alla variabile casuale binomiale trova la probabilità che si verifichi 20 volte la coda quando una moneta equa viene lanciata 40 volte.
Soluzione: Supponiamo che la variabile casuale X rappresenti l'occorrenza della coda, poiché la variabile casuale binomiale è una variabile casuale discreta e la variabile casuale normale è una variabile casuale continua, quindi per convertire il discreto in continuo, lo scriviamo come
e se risolviamo l'esempio dato con l'aiuto della distribuzione binomiale lo otterremo come
Esempio: Per decidere l'efficacia di un determinato nutrimento nel diminuire la quantità di colesterolo nella circolazione sanguigna, 100 persone vengono poste sul nutrimento. Il conteggio del colesterolo è stato osservato per il tempo definito dopo aver fornito il nutrimento. Se da questo campione il 65% ha un basso numero di colesterolo, il nutrimento sarà approvato. Qual è la probabilità che il nutrizionista approvi il nuovo alimento se, effettivamente, non ha conseguenze sul livello di colesterolo?
soluzione: Lascia che la variabile casuale esprima il livello di colesterolo se diminuito del nutrimento in modo che la probabilità per tale variabile casuale sia ½ per ogni persona, se X indica il numero di persone di basso livello, la probabilità che il risultato sia approvato anche se non c'è ridurre il livello di colesterolo è
Conclusione:
In questo articolo il concetto di variabile casuale continua è normale variabile casuale e la sua distribuzione con la funzione di densità di probabilità sono state discusse e viene fornita la media del parametro statistico, la varianza per la variabile casuale normale. La conversione della variabile casuale normalmente distribuita nella nuova variata normale standard e l'area sotto la curva per tale variata normale standard è data in forma tabellare uno dei con l'esempio viene menzionata anche la relazione con una variabile casuale discreta , se vuoi ulteriori letture, segui:
Schemi di probabilità e statistica di Schaum
https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.
Per ulteriori argomenti sulla matematica, consultare questa pagina.
Sono il DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ho completato il mio dottorato di ricerca. in Matematica e lavorando come professore assistente in Matematica. Avere 12 anni di esperienza nell'insegnamento. Avere vaste conoscenze in Matematica Pura, precisamente in Algebra. Avere l'immensa capacità di progettare e risolvere problemi. Capace di motivare i candidati a migliorare le loro prestazioni.
Adoro contribuire a Lambdageeks per rendere la matematica semplice, interessante e autoesplicativa sia per i principianti che per gli esperti.
Ciao amico lettore,
Siamo una piccola squadra alla Techiescience, che lavora duro tra i grandi player. Se ti piace quello che vedi, condividi i nostri contenuti sui social media. Il tuo supporto fa una grande differenza. Grazie!