Variabile casuale normale: 3 fatti importanti


Variabile casuale normale e distribuzione normale

      La variabile casuale con un insieme di valori non numerabile è nota come variabile casuale continua e la funzione di densità di probabilità con l'aiuto dell'integrazione come area sotto la curva fornisce la distribuzione continua, ora ci concentreremo su una delle variabili casuali continue più utilizzate e frequenti vale a dire variabile casuale normale che ha un altro nome come variabile casuale gaussiana o distribuzione gaussiana.

Variabile casuale normale

      La variabile casuale normale è la variabile casuale continua con funzione di densità di probabilità

[latex]f(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma} e^{-(x-\mu )^{^{2}/2\sigma ^{^{2} }}} \ \ -\infty < x < \infty[/latex]

avendo cattiva μ e varianza σ2 come parametri statistici e geometricamente la funzione di densità di probabilità ha la curva a campana che è simmetrica rispetto alla media μ.

Variabile casuale normale
Variabile casuale normale

Sappiamo che la funzione di densità di probabilità ha la probabilità totale come una sola

[latex]\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-\mu )^{^{2}/2\ sigma ^{^{2}}}} dx =1[/latex]

inserendo y = (x-μ) / σ

[latex]\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-\mu )^{^{2}/2\ sigma ^{^{2}}}} dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{^{2}/ 2}} di[/latex]

[latex]\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{^{2}/2}} dy = {\sqrt{2\pi}}[/latex]

[latex]let \ \ I= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{^{2}/2}} dy \ \ then[/latex]

[latex]I^{2}= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{^{2}/2}} di \int_{-\infty}^{\infty} e ^{-x^{^{2}/2}} dx[/latex]

[latex]= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^-({y^2+x^2})/2 \ \ dy dx[/ lattice]

questa doppia integrazione può essere risolta convertendola in forma polare

[latex]x= r\cos \theta , y= r\sin \theta , dydx= rdrd\theta[/latex]

[latex]I^{^{2}}= \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi } e^-{r^{2}/2} rd\theta dr[ /lattice]

[latex]= 2\pi \int_{0}^{\infty} re^-{r^{2}/2} \ \ dr[/latex]

[latex]=- 2\pi e^{-r^{2}/2}\lvert_{\infty }^{0} =2\pi[/latex]

che è il valore richiesto quindi è verificato per l'integrale I.

  • Se X è normalmente distribuito con il parametro μ  e σ2 allora anche Y = aX + b è normalmente distribuito con i parametri aμ + be a2μ2

Aspettativa e varianza della variabile casuale normale

Il valore atteso della variabile casuale normale e la varianza che otterremo con l'aiuto di

[latex]Z = \frac{X-\mu}{\sigma }[/latex]

dove X è normalmente distribuito con la media dei parametri μ e deviazione standard σ.

[latex]E [Z] = \int_{-\infty}^{\infty} xfZ(x) dx[/latex]

[latex]=\frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty}^{\infty} xe^{-x^{2}/2} dx[/latex]

[latex]=-\frac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-x^{2}/2} \lvert_{-\infty }^{\infty} =0[/latex]

poiché la media di Z è zero quindi abbiamo la varianza come

[latex]Var (Z) = E[Z^{2}][/latex]

[latex]=\frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-x^{2}/2} dx[/ lattice]

utilizzando l'integrazione per parti

[latex]Var(Z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}(-xe^{-x^{2}/2} \lvert_{-\infty }^{\infty} + \ int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}/2} dx)[/latex]

[latex]= \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}/2} dx =1[/latex]

per la variabile Z l'interpretazione grafica è la seguente

Variabile casuale normale
Variabile casuale normale

e l'area sotto la curva per questa variabile Z che è nota come variabile normale standard, it è calcolato per il riferimento (dato in tabella), poiché la curva è simmetrica quindi per valore negativo l'area sarà uguale a quella dei valori positivi

[latex]P \left { Z\leq -x \right } = P \left { Z > x \right } \ \ -\infty < x < \infty[/latex]

z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
0.00.500000.503990.507980.511970.515950.519940.523920.527900.531880.53586
0.10.539830.543800.547760.551720.555670.559620.563560.567490.571420.57535
0.20.579260.583170.587060.590950.594830.598710.602570.606420.610260.61409
0.30.617910.621720.625520.629300.633070.636830.640580.644310.648030.65173
0.40.655420.659100.662760.666400.670030.673640.677240.680820.684390.68793
0.50.691460.694970.698470.701940.705400.708840.712260.715660.719040.72240
0.60.725750.729070.732370.735650.738910.742150.745370.748570.751750.75490
0.70.758040.761150.764240.767300.770350.773370.776370.779350.782300.78524
0.80.788140.791030.793890.796730.799550.802340.805110.807850.810570.81327
0.90.815940.818590.821210.823810.826390.828940.831470.833980.836460.83891
1.00.841340.843750.846140.848490.850830.853140.855430.857690.859930.86214
1.10.864330.866500.868640.870760.872860.874930.876980.879000.881000.88298
1.20.884930.886860.888770.890650.892510.894350.896170.897960.899730.90147
1.30.903200.904900.906580.908240.909880.911490.913080.914660.916210.91774
1.40.919240.920730.922200.923640.925070.926470.927850.929220.930560.93189
1.50.933190.934480.935740.936990.938220.939430.940620.941790.942950.94408
1.60.945200.946300.947380.948450.949500.950530.951540.952540.953520.95449
1.70.955430.956370.957280.958180.959070.959940.960800.961640.962460.96327
1.80.964070.964850.965620.966380.967120.967840.968560.969260.969950.97062
1.90.971280.971930.972570.973200.973810.974410.975000.975580.976150.97670
2.00.977250.977780.978310.978820.979320.979820.980300.980770.981240.98169
2.10.982140.982570.983000.983410.983820.984220.984610.985000.985370.98574
2.20.986100.986450.986790.987130.987450.987780.988090.988400.988700.98899
2.30.989280.989560.989830.990100.990360.990610.990860.991110.991340.99158
2.40.991800.992020.992240.992450.992660.992860.993050.993240.993430.99361
2.50.993790.993960.994130.994300.994460.994610.994770.994920.995060.99520
2.60.995340.995470.995600.995730.995850.995980.996090.996210.996320.99643
2.70.996530.996640.996740.996830.996930.997020.997110.997200.997280.99736
2.80.997440.997520.997600.997670.997740.997810.997880.997950.998010.99807
2.90.998130.998190.998250.998310.998360.998410.998460.998510.998560.99861
3.00.998650.998690.998740.998780.998820.998860.998890.998930.998960.99900
3.10.999030.999060.999100.999130.999160.999180.999210.999240.999260.99929
3.20.999310.999340.999360.999380.999400.999420.999440.999460.999480.99950
3.30.999520.999530.999550.999570.999580.999600.999610.999620.999640.99965
3.40.999660.999680.999690.999700.999710.999720.999730.999740.999750.99976
3.50.999770.999780.999780.999790.999800.999810.999810.999820.999830.99983

poiché abbiamo utilizzato la sostituzione

[latex]Z =\frac{X-\mu }{\sigma } \ \ X =\mu + \sigma Z[/latex]

[latex]E[X] =\mu + \sigma E[Z] = \mu[/latex]

[latex]Var(X) = \sigma ^{2} Var(Z) = \sigma ^{2}[/latex]

Qui tieni presente che Z è la variazione normale standard dove come la variabile casuale continua X è normalmente distribuita normale variabile casuale con media μ e deviazione standard σ.

Quindi per trovare la funzione di distribuzione per la variabile casuale useremo la conversione alla variabile normale standard come

[latex]FX(a)= P\sinistra { X\leq a \right } = P (\frac{X-\mu }{\sigma } \leq \frac{a-\mu }{\sigma }) = \Phi \left (\frac{a-\mu }{\sigma } \right )[/latex]

per qualsiasi valore di a.

Esempio: Nella curva normale standard trova l'area tra i punti 0 e 1.2.

Se seguiamo la tabella il valore di 1.2 sotto la colonna 0 è 0.88493 e il valore di 0 è 0.5000,

Variabile casuale normale
Variabile casuale normale

[latex]P\left ( 0\leq Z \leq 1.2 \right ) =\Phi \left ( 1.2 \right ) – \Phi \left ( 0 \right ) =0.88493 -0.50000 =0.38493[/latex]

Esempio: trova l'area per la curva normale standard compresa tra -0.46 e 2.21.

Variabile casuale normale
Variabile casuale normale

Dalla regione ombreggiata possiamo biforcare questa regione da -0.46 a 0 e da 0 a 2.21 perché la curva normale è simmetrica attorno all'asse y quindi l'area da -0.46 a 0 è uguale a quella da 0 a 0.46 quindi dalla tabella

[latex]P\sinistra (-0.46 \leq Z \leq 0 \destra) = P\sinistra ( 0 \leq Z \leq 0.46 \destra) =0.1772[/latex]

e

[latex]P\sinistra ( 0 \leq Z \leq 2.21 \right ) =0.4864[/latex]

quindi possiamo scriverlo come

Area totale = (area tra z = -0.46 ez = 0) + (area tra z = 0 ez = 2.21)

= 0.1722 + 0.4864

= 0.6586

Esempio: Se X è una variabile casuale normale con media 3 e varianza 9, trova le seguenti probabilità

[lattice]P\sinistra { 2 < X < 5 \destra }[/lattice]

[latex]P \left \{ X > 0 \right \}[/latex]

[latex]P \left { \left | X – 3 \destra | > 6 \right }[/latex]

Soluzione: dal momento che abbiamo

[latex]FX(a) =P\sinistra { X \leq a \right } = P \left ( \frac{X-\mu }{\sigma } \leq \frac{a-\mu }{\sigma } \right ) = \Phi \left ( \frac{a-\mu }{\sigma } \right )[/latex]

[latex]P \left { 2< X < 5 \right } =P \left { \frac{2-3}{3} < \frac{X-3}{3}< \frac{5-3}{ 3} \right }[/latex]

[latex]=P \left { -\frac{1}{3} < Z < \frac{2}{3} \right }[/latex]

Variabile casuale normale
Variabile casuale normale

quindi biforcando negli intervalli da -1/3 a 0 e da 0 a 2/3 otterremo la soluzione dai valori tabulari

[latex]P \left { -\frac{1}{3} < Z < \frac{2}{3} \right } = P \left { -\frac{1}{3} < Z < 0 \right } + P \left ( 0 < Z < \frac{2}{3} \right )[/latex]

or

[latex] = \Phi \left ( \frac{2}{3} \right ) – \Phi \left ( – \frac{1}{3} \right )[/latex]

[latex]= \Phi \left ( \frac{2}{3} \right ) – \left [ 1- \Phi \left ( \frac{1}{3} \right ) \right ][/latex]

= 0.74537 -1 + 0.62930 = 0.37467

e

[latex]P \left { X > 0 \right } =P\left { \frac{X-3}{3} > \frac{0-3}{3} \right } = P\left { Z> - 1 \right }[/latex]

[latex]= 1- \Phi \left ( -1 \right )= \Phi \left ( 1 \right ) \approssimativamente 0.8413[/latex]

Variabile casuale normale
Variabile casuale normale

[latex]P \left { \left | X -3 \destra | > 6 \destra } =P\sinistra { X > 9 \destra } + P\sinistra { X < -3 \destra }[/latex]

[latex]=P\sinistra { \frac{X-3}{3} > \frac{9-3}{3} \right } + P\sinistra { \frac{X-3}{3} < \frac {-3-3}{3} \right }[/latex]

[latex]=P \sinistra { Z > 2 \destra } + P \sinistra { Z < -2 \destra }[/latex]

[latex]= 1- \Phi \left ( 2 \right ) + \Phi \left ( -2 \right )[/latex]

[latex]=2[1- \Phi \left ( 2 \right )] \approssimativamente .0456[/latex]

Variabile casuale normale
Variabile casuale normale

Esempio: Un osservatore nel caso di paternità afferma che la durata (in giorni) della crescita umana

è normalmente distribuito con parametri media 270 e varianza 100. In questo caso l'indagato padre del bambino ha fornito la prova di essere stato fuori dal Paese durante un periodo iniziato 290 giorni prima della nascita del bambino e terminato 240 giorni prima la nascita. Trova la probabilità che la madre possa aver avuto la gravidanza molto lunga o brevissima indicata dal testimone?

Indichiamo con X la variabile casuale normalmente distribuita per la gestazione e consideriamo che il sospetto è il padre del bambino. In quel caso la nascita del bambino è avvenuta entro il tempo specificato ha la probabilità

[latex]P \sinistra { X > 290 \ \ o \ \ X 290 \destra } + P\sinistra { X < 240 \destra }[/latex]

[latex]= P\sinistra { \frac{X-270}{10}> 2 \right } + P\left { \frac{X-270}{10}< -3 \right }[/latex]

[latex]= 1- \Phi \left ( 2 \right ) +1 – \Phi \left ( 3 \right ) \approssimativamente .0241[/latex]

Relazione tra variabile casuale normale e variabile casuale binomiale

      In caso di distribuzione binomiale la media è np e la varianza è npq quindi se convertiamo tale variabile casuale binomiale con tale media e deviazione standard avente n molto grande ep o q sono molto piccoli avvicinandosi a zero allora la variabile normale standard Z con la aiuto di questi media e varianza è

[latex]Z = \frac{X – np}{\sqrt{npq}}[/latex]

qui in termini di Prove di Bernouli X considera il numero di successi in n prove. Quando n è aumenta e si avvicina all'infinito, questa variazione normale va nello stesso modo per diventare una variazione normale standard.

La relazione di variata binomiale e normale standard possiamo trovare con l'aiuto del seguente teorema.

Teorema del limite di DeMoivre Laplace

If Sn indica il numero di successi che si verificano quando n  prove indipendenti, ciascuna con successo con probabilità p , vengono eseguiti, quindi, per qualsiasi a <b,

[latex]P\left { a\leq \frac{S_{n}-np}{\sqrt{np\left ( 1-p \right )}} \leq b \right } \rightarrow \Phi \left ( b \right ) -\Phi \left ( a \right )[/latex]

[latex]come \ \ n \rightarrow \infty[/latex]

 In altre parole

[latex]\lim_{n \to \infty} P \left ( a\leq \frac{X -np}{\sqrt{np\left ( 1 -p \right )}} \leq b \right ) =\ frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{a}^{b} e^{-u^{2}/2} du[/latex]

Esempio: Con l'aiuto della normale approssimazione alla variabile casuale binomiale trova la probabilità che si verifichi 20 volte la coda quando una moneta equa viene lanciata 40 volte.

Soluzione: Supponiamo che la variabile casuale X rappresenti l'occorrenza della coda, poiché la variabile casuale binomiale è una variabile casuale discreta e la variabile casuale normale è una variabile casuale continua, quindi per convertire il discreto in continuo, lo scriviamo come

[latex]P\sinistra ( X = 20 \destra ) =P\sinistra { 19.5\leq X \leq 20.5 \destra }[/latex]

[latex]=P\sinistra { \frac{19.5-20}{\sqrt{10}} < \frac{X-20}{\sqrt{10}} < \frac{20.5-20}{\sqrt{10 }} \right }[/latex]

[latex]\approssimativamente P\sinistra { -.16< \frac{X-20}{\sqrt{10}} < .16 \right }[/latex]

[latex]\approssimativamente \Phi \left ( .16 \right ) -\Phi \left ( -.16 \right ) \approssimativamente .1272[/latex]

e se risolviamo l'esempio dato con l'aiuto della distribuzione binomiale lo otterremo come

[latex]P\sinistra { X=20 \right } = \binom{40}{20}\left ( \frac{1}{2} \right )^{40}\approssimativamente .1254[/latex]

Esempio: Per decidere l'efficacia di un determinato nutrimento nel diminuire la quantità di colesterolo nella circolazione sanguigna, 100 persone vengono poste sul nutrimento. Il conteggio del colesterolo è stato osservato per il tempo definito dopo aver fornito il nutrimento. Se da questo campione il 65% ha un basso numero di colesterolo, il nutrimento sarà approvato. Qual è la probabilità che il nutrizionista approvi il nuovo alimento se, effettivamente, non ha conseguenze sul livello di colesterolo?

soluzione:  Lascia che la variabile casuale esprima il livello di colesterolo se diminuito del nutrimento in modo che la probabilità per tale variabile casuale sia ½ per ogni persona, se X indica il numero di persone di basso livello, la probabilità che il risultato sia approvato anche se non c'è ridurre il livello di colesterolo è

[latex]\sum_{i=65}^{100}\binom{100}{i}\left ( \frac{1}{2} \right )^{100} =P\left { X\geq 64.5 \ a destra }[/lattice]

[latex]=P\sinistra { \frac{X-(100)\sinistra ( \frac{1}{2} \right )}{\sqrt{100 \left ( \frac{1}{2} \right ) \left ( \frac{1}{2} \right )}} \geq 2.9 \right }[/latex]

[latex]\approssimativamente 1-\Phi \left ( 2.9 \right ) \approssimativamente .0019[/latex]

Conclusione:

   In questo articolo il concetto di variabile casuale continua è normale variabile casuale e la sua distribuzione con la funzione di densità di probabilità sono state discusse e viene fornita la media del parametro statistico, la varianza per la variabile casuale normale. La conversione della variabile casuale normalmente distribuita nella nuova variata normale standard e l'area sotto la curva per tale variata normale standard è data in forma tabellare uno dei con l'esempio viene menzionata anche la relazione con una variabile casuale discreta , se vuoi ulteriori letture, segui:

Schemi di probabilità e statistica di Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.

Per ulteriori argomenti sulla matematica, consultare questa pagina.

DOTT. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

sono il dott. Mohammed Mazhar Ul Haque, assistente professore di matematica. Avendo 12 anni di esperienza nell'insegnamento. Avere una vasta conoscenza in Matematica Pura, precisamente in Algebra. Avere l'immensa capacità di progettare e risolvere problemi. Capace di motivare i candidati a migliorare le loro prestazioni. Amo contribuire a Lambdageeks per rendere la matematica semplice, interessante e autoesplicativa per principianti ed esperti. Connettiamoci tramite LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

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