Permutazioni e combinazioni: 3 fatti importanti da ricordare

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  Dopo aver discusso le definizioni e i concetti di base, elencheremo tutti i risultati e le relazioni di permutazione e combinazione, a seconda di tutti quelli acquisiremo più familiarità con il concetto di permutazione e combinazione risolvendo esempi vari.

Punti da ricordare (permutazione)

  1. Il numero di modi per ordinare = nPr= {n (n-1) (n-2)… .. (n-r + 1) ((nr)!)} / (nr)! = n! / {(nr)!}
  2. Il numero di disposizione di n oggetti diversi presi tutti insieme alla volta è = nPn = n!
  3. nP0 = n! / n! = 1
  4. P = n. n-1PR 1
  5. 0! = 1
  6. 1 / (- r)! = 0, (-r)! = ∞ (r∈ N)
  7. Il numero di modi per riempire r posti dove ogni posto può essere riempito da uno qualsiasi di n oggetti, Il conteggio delle permutazioni = Il numero di modi per riempire r posti = (n)r   

Esempio: Quanti numeri tra 999 e 10000 si possono generare con l'aiuto dei numeri 0, 2, 3,6,7,8 dove le cifre non devono essere duplicate?

Soluzione: I numeri compresi tra 999 e 10000 sono tutti di quattro cifre.

                   I numeri a quattro cifre costruiti dalle cifre 0, 2, 3,6,7,8 sono

Permutazione
Permutazione: esempio

  Ma qui si tratta anche dei numeri che iniziano da 0. Quindi possiamo prendere i numeri formati da tre cifre.

Prendendo la cifra iniziale 0, il numero di modi per organizzare in sospeso 3 posizioni da cinque cifre 2, 3,6,7,8 sono 5P3 =5!/(5-3)!=2!*3*4*5/2!= 60

Quindi i numeri richiesti = 360-60 = 300.

Esempio: Quanti libri possono essere disposti in fila in modo che i due libri menzionati non siano insieme?

Soluzione: Numero totale di ordini di n libri diversi = n !.                                                                                                                

           Se due libri menzionati sono sempre insieme, allora numero di modi = (n-1)! X2

Esempio: Quanti modi ci sono divisi per 10 palline tra due ragazzi, uno ne prende due e l'altro otto.

Soluzione: A ottiene 2, B  gets 8;  10!/2!8!=45

                  A ottiene 8, B gets 2; 10!/(8!2!)=45

ciò significa 45 + 45 = 90 modi in cui la palla verrà divisa.

Esempio: Ricerca il numero di disposizione degli alfabeti della parola “CALCUTTA”.

Soluzione: Numero di vie richiesto = 8! / (2! 2! 2!) = 5040

Esempio: Venti persone sono state invitate alla festa. Quanti modi diversi in cui loro e l'ospite possono sedersi a una tavola rotonda, se le due persone devono sedersi ai lati del custode.

Soluzione: Saranno in totale 20 + 1 = 21 persone in tutto.

Le due persone specificate e l'ospite sono considerate come una unità in modo che rimangano 21 - 3 + 1 = 19 persone da organizzare in 18! modi.

 Ma le due persone ai lati dell'ospite possono essere disposte in 2! modi.

  Quindi ce ne sono 2! * 18! modi.

Esempio : In quanti modi una ghirlanda può essere realizzata con esattamente 10 fiori.

Soluzione:  n la ghirlanda di fiori può essere realizzata in (n-1)! modi.

Utilizzando 10 fiori la ghirlanda può essere preparata in 9!/2 modi diversi.

Esempio: Trova il numero di quattro cifre specifico che dovrebbe essere formato da 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 in modo che ogni numero abbia il numero 1.

Soluzione: Dopo aver assicurato 1 in prima posizione su 4 posti, 3 posti possono essere riempiti7P3 =7!/(7-3)!=5*6*7=210 ways.

Ma alcuni numeri la cui quarta cifra è zero, quindi questo tipo di modi =6P2= 6! / (6-2)! = 20.

                   Modi totali = 7P3 - 6P2 = 210-20 = 180

Tieni a mente questi punti per la combinazione

  • Il numero di combinazioni di n oggetti, di cui p sono identici, presi r alla volta è

npCr+npCR 1+npCR 2+ …… .. +npC0 , se r<=p e  npCr+npCR 1+npCR 2+… .. +npCrp  , se r>p

  1. n scegli 0 oppure n scegli n è 1, nC0 = nCn = 1, nC1 = n.
  2. nCr + nCR 1 = n + 1Cr
  3. Cx = nCy <=> x = y oppure x + y = n
  4. n. n-1CR 1 = (n-r + 1) nCR 1
  5. nC0+nC2+nC4+…. =nC1+nC3+nC5… .. = 2n-1
  6. 2n + 1C0+2n + 1C1+2n + 1C2+ …… +2n + 1Cn=22n
  7. nCn+n + 1Cn+n + 2Cn+n + 3Cn+ ……… .. +2n-1Cn=2nCn + 1
  9. Numero di combinazioni di n cose dissimili prese tutte insieme. nCn= n! / {n! (nn)!} = 1 / (0)! = 1

Di seguito risolveremo alcuni esempi  

Esempio: If 15Cr=15Cr + 5 , allora qual è il valore di r?

Soluzione: Qui useremo quanto sopra

 nCr=nCnr sul lato sinistro dell'equazione

15Cr=15Cr + 5 => 15C15-r =15Cr + 5

=> 15-r=r+5 => 2r=10 => r=10/2=5

quindi il valore di r è 5 implica il problema di 15 SCEGLI 5.

Esempio: If 2nC3 : nC2 = 44: 3 trova il valore di r, In modo che il valore di nCr  saranno 15.

 Soluzione: Qui il termine dato è il rapporto tra 2n scegli 3 en scegli 2 come

dalla definizione di combinazione

(2n)!/{(2n-3)!x3!} X {2!x(n-2)!}/n!=44/3

=> (2n)(2n-1)(2n-2)/{3n(n-1)}=44/3

=> 4 (2n-1) = 44 => 2n = 12 => n = 6

                   Adesso 6Cr=15 => 6Cr=6C2   or 6C4 => r = 2, 4

quindi il problema risulta essere 6 scegli 2 o 6 scegli 4

Esempio:  If  nCR 1= 36 nCr= 84 e nCr + 1= 126, allora quale sarebbe il valore di r?

 soluzione: Qui nCR 1 / nCr = 36/84 e nCr /nCr + 1 =84/126 .

(n)! / {(n-r + 1)! x (r-1)!} X {(r)! x (nr)!} / (n)! = 36/84

r/(n-r+1)=3/7 => 7r=3n-3r+3

=> 3n-10r=-3, e analogamente dalla seconda razione si ottiene

4n-10r = 6

Risolvendo, otteniamo n = 9, r = 3

quindi il problema si è rivelato essere 9 scegli 3, 9 scegli 2 e 9 scegli 4.

Esempio: Tutti nella stanza stringono la mano a tutti. Il numero totale di strette di mano è 66. Trova il numero di persone nella stanza.

nC2 =66 => n!/{2!(n-2)!}=66 => n(n-1)=132 => n=12

Soluzione: quindi il valore di n è 12 implica che il numero totale di persone nella stanza è 12 e il problema è 12 scegli 2.

Esempio: In un torneo di calcio sono state giocate 153 partite. Tutte le squadre hanno giocato una partita. trovare il numero di gruppi coinvolti nel torneo.

Soluzione:

qui nC2 =153 => n!/{2!(n-2)} = 153 => n(n-1)/2=153 => n=18

quindi il numero totale di squadre che hanno partecipato al torneo erano 18 e il combinazione è 18 scegli 2 .

Esempio Durante la cerimonia di Deepawali ogni membro del club invia biglietti di auguri agli altri. Se ci sono 20 membri nel club, quale sarebbe il numero totale di modi in cui i biglietti di auguri vengono scambiati dai membri.

Soluzione: Poiché due membri possono scambiarsi le carte a vicenda in due modi, è possibile scegliere 20 due volte

2 x 20C2 =2 x (20!)/{2!(20-2)!}=2*190=380, ci sarebbero 380 modi per scambiare biglietti d'auguri.

Esempio: Sei simboli più "+" e quattro simboli meno "-" dovrebbero essere disposti in una linea retta in modo che non si incontrino due simboli "-", trovare il numero totale di modi.

 Soluzione: L'ordine può essere fatto come -+-+-+-+-+-+- i segni (-) possono essere messi in 7 posti vacanti (puntati).

Quindi richiesto numero di modi = 7C4 = 35.

Esempio: If nC21 =nC6 , quindi trova nC15 =?

Soluzione: Dato nC21 =nC6

21+6=n => n=27

Quindi 27C15 =27!/{15!(27-15)!} =17383860

che è il 27 scegli 15.

Conclusione

Alcuni esempi sono presi a seconda delle relazioni e dei risultati, come numero di esempi che possiamo prendere su ciascuno dei risultati, ma la cosa importante qui che voglio mostrare è come possiamo usare qualsiasi risultato a seconda della situazione se hai bisogno di ulteriori letture puoi passare attraverso il contenuto o se qualsiasi aiuto personale, è possibile contattarci liberamente per alcuni dei contenuti correlati che è possibile trovare da:

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SCHEMA DI TEORIA E PROBLEMI DI MATEMATICA DISCRETA DI SCHAUM

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination