13 Fatti sui punti nella geometria delle coordinate in 2D

Questo è un post sequenziale relativo a Coordinata geometria, specialmente su Punteggio. Abbiamo già discusso qualche argomento in precedenza nel post "Una guida completa alla geometria coordinata". In questo post parleremo dei restanti argomenti.

Formule di base sui punti in geometria coordinata in 2D:

Tutte le formule di base sui punti in Geometria Analitica sono descritte qui e per un apprendimento facile e veloce a colpo d'occhio sulle formule a 'Tabella delle formule sui punti' con spiegazione grafica è presentato di seguito.

Formule di distanza a due punti | Geometria Analitica:

La distanza è una misura per determinare la distanza tra oggetti, luoghi, ecc. Ha un valore numerico con unità. Nella geometria delle coordinate o geometria analitica in 2D, esiste una formula derivata dal teorema di Pitagora per calcolare la distanza tra due punti. possiamo scriverlo come "Distanza" d =√ [(x2-x1)2+ (y2-y1)2 ] , Dove  (x1,y1) ed (x2,y2) sono due punti sul piano xy. Una breve spiegazione grafica è seguita da 'Tabella delle formule sull'argomento punti n. 1' qua sotto.

Una distanza di un punto dall'origine | Geometria coordinata:

Se iniziamo il nostro viaggio con Origin nel piano xy e finiamo con un punto qualsiasi di quel piano, la distanza tra l'origine e il punto può essere trovata anche con una formula, 'Distanza' PO=√ (x2 + y2), che è anche una forma ridotta della “formula della distanza di due punti” con un punto in (0,0). Segue una breve spiegazione grafica 'Tabella delle formule sull'argomento punti n. 2' qua sotto.

Formule della sezione dei punti | Geometria delle coordinate:

Se un punto divide un segmento di linea che unisce due punti dati in un certo rapporto, possiamo usare le formule di sezione per trovare le coordinate di quel punto mentre il rapporto per il quale è diviso il segmento di linea è dato e viceversa. Esiste la possibilità che il segmento di linea possa essere diviso internamente o esternamente dal punto. Quando il punto si trova sul segmento di linea tra i due punti dati, vengono utilizzate le formule di sezione interna, ad es

\\textbf{}\\textbf{x}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{x}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{x}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}

ed

\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}

E quando il punto si trova sulla parte esterna del segmento di linea che unisce i due punti dati, vengono utilizzate le formule di sezione esterna, ad es

\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{-}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{-}\\textbf{n}}

Dove (x, y) dovrebbero essere le coordinate richieste del punto. Queste sono formule molto necessarie per trovare il baricentro, gli incentri, il circocentro di un triangolo nonché il centro di massa dei sistemi, i punti di equilibrio ecc. in fisica. È necessario guardare la breve panoramica dei diversi tipi di formule di sezione con i grafici forniti di seguito nel 'Tabella delle formule sui punti tema n. 3; caso-I e caso-II'.

Formula punto medio| coordinate Geometria:

Si tratta di formule semplici derivate dalle formule della sezione dei punti interni descritte sopra. Mentre abbiamo bisogno di trovare il punto medio di un segmento di linea, cioè la coordinata del punto che è equidistante dai due punti dati sul segmento di linea, cioè il rapporto ottiene una forma 1:1, allora questa formula è necessaria. La formula è nella forma di

Se un punto divide un segmento di linea che unisce due punti dati in un certo rapporto, possiamo usare le formule di sezione per trovare le coordinate di quel punto mentre il rapporto per il quale è diviso il segmento di linea è dato e viceversa. Esiste la possibilità che il segmento di linea possa essere diviso internamente o esternamente dal punto. Quando il punto si trova sul segmento di linea tra i due punti dati, vengono utilizzate le formule di sezione interna, ad es

\\textbf{}\\textbf{x}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{x}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{x}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}

ed

\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}

E quando il punto si trova sulla parte esterna del segmento di linea che unisce i due punti dati, vengono utilizzate le formule di sezione esterna, ad es

\\textbf{}\\textbf{x}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{x}_{2}\\textbf{-}\\textbf{n}\ \textbf{x}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{-}\\textbf{n}}

        ed

\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{-}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{-}\\textbf{n}}

Dove (x, y) dovrebbero essere le coordinate richieste del punto. Queste sono formule molto necessarie per trovare il baricentro, gli incentri, il circocentro di un triangolo nonché il centro di massa dei sistemi, i punti di equilibrio ecc. in fisica. È necessario guardare la breve panoramica dei diversi tipi di formule di sezione con i grafici forniti di seguito nel 'Tabella delle formule sui punti tema n. 3; caso-I e caso-II'.

Formula punto medio| coordinate Geometria:

Si tratta di formule semplici derivate dalle formule della sezione dei punti interni descritte sopra. Mentre abbiamo bisogno di trovare il punto medio di un segmento di linea, cioè la coordinata del punto che è equidistante dai due punti dati sul segmento di linea, cioè il rapporto ottiene una forma 1:1, allora questa formula è necessaria. La formula è nella forma di

x=\\frac{x_{1}+x_{2}}{2}

ed

x=\\frac{y_{1}+y_{2}}{2}

Passare attraverso il "Tabella delle formule sui punti argomento n. 3 caso-III" sotto per avere l'idea grafica su questo.

Area di un triangolo in Coordinate Geometry:

Un triangolo ha tre lati e tre vertici sul piano o in un campo bidimensionale. L'area del triangolo è lo spazio interno circondato da questi tre lati. La formula di base per il calcolo dell'area di un triangolo è (2/1 X Base X Altezza). In Geometria Analitica, se si danno le coordinate di tutti e tre i vertici, l'area del triangolo può essere facilmente calcolata con la formula, Area del triangolo   =|½[x1 (y2-  y3 )+x2 (y3-  y2)+x3 (y2-y  1)]| , in realtà questo può essere derivato dalla formula di base dell'area di un triangolo usando la formula della distanza di due punti nella geometria delle coordinate. Entrambi i casi sono descritti graficamente nel 'Tabella delle formule sull'argomento 4 dei punti' qua sotto.

Collinearità dei punti ( Tre punti) | Geometria delle coordinate:

Collineare significa "stare sulla stessa linea". In geometria, se tre punti giacciono su un'unica retta del piano, non potranno mai formare un triangolo con area diversa da zero, cioè se la formula dell'area del triangolo viene sostituita dalle coordinate dei tre punti collineari, il risultato per area di il triangolo immaginario formato da quei punti finirà con solo zero. Quindi la formula diventa come ½[x1 (y2-  y3 )+x2 (y3-  y2)+x3 (y2-y  1)] =0 Per un'idea più chiara con rappresentazione grafica, passare attraverso il “Tabella delle formule sul tema a punti n. 5” qua sotto.

Centroide di un triangolo| Formula :

Le tre mediane* di un triangolo si intersecano sempre in un punto, situato all'interno del triangolo e dividono la mediana in rapporto 2:1 da qualsiasi vertice al punto medio del lato opposto. Questo punto è chiamato baricentro del triangolo. La formula per trovare le coordinate del baricentro è

x=\\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}

ed

x=\\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}

Nel “Tabella delle formule sul tema a punti n. 6” di seguito, l'argomento di cui sopra è descritto graficamente per una migliore comprensione e per una rapida visualizzazione.

Incentro di un triangolo|Formula:

È il centro del cerchio più grande del triangolo che si inserisce all'interno del triangolo. È anche il punto di intersezione delle tre bisettrici degli angoli interni del triangolo. La formula usata per trovare l'incentro di un triangolo è     

x=\\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}

ed

x=\\frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}

Nel “Tabella delle formule sul tema a punti n. 6” di seguito, l'argomento di cui sopra è descritto graficamente per una migliore comprensione e per una rapida visualizzazione.

Per una facile spiegazione grafica di seguito “Tabella delle formule sul tema a punti n. 7” è necessario vedere.

Cambio di formula di origine| Geometria coordinata:

Abbiamo già imparato nel post precedente "Una guida completa alla geometria coordinata" che l'origine giace sul punto (0,0) che è il punto di intersezione degli assi nel piano. possiamo spostare l'origine in tutti i quadranti del piano rispetto all'origine , che darà nuovi assi attraverso di essa.

Per un punto nel suddetto piano, le sue coordinate cambieranno insieme alla nuova origine e assi e che possono essere calcolate dalla formula, nuove coordinate di un punto P (x1,y1) cambiano ciclicamente x1 = x-a; sì1 = y-  b dove le coordinate della nuova origine sono (a,b). Per avere una chiara comprensione di questo argomento è preferibile vedere la rappresentazione grafica di seguito nel “Tabella delle formule sul tema a punti n. 8” .

Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D:

punti
Schermata 15 1
Screenshot 16
Screenshot 17
Screenshot 2

Circumcentro di un triangolo:

È il punto di intersezione delle tre bisettrici perpendicolari del lato di un triangolo. È anche il centro del circumcerchio di un triangolo che tocca solo i vertici del triangolo.

Mediane:

La mediana è il segmento di linea che unisce il vertice del triangolo al punto medio o al punto, bisecando il lato opposto del vertice. Ogni triangolo ha tre mediane che si intersecano sempre nel baricentro dello stesso triangolo.                                                         

Problemi risolti su punti in geometria coordinata in 2D.

Per apprendere meglio i punti in 2D, qui viene risolto passo dopo passo un esempio di base e per esercitarsi da soli ci sono più problemi con risposte su ciascuna formula. Ci devono essere problemi impegnativi con soluzione nei prossimi articoli subito dopo aver ottenuto un'idea chiara e di base sull'argomento dei punti nelle coordinate Geometria 2D.

Esempi di base sulle formule “La distanza tra due punti”

Problemi 1:  Calcolare la distanza tra i due punti dati (1,2) e (6,-3).

Soluzione: Sappiamo già, la formula della distanza tra due punti  (x1,y1) ed (x2,y2)  is d =√ [(x2-x1)2+ (y2-y1)2 ] …(1)                                                                                                                    

(Vedi la tabella delle formule sopra)   Qui possiamo assumere che (x1,y1) ≌ (1,2) e (x2,y2) ≌ (6,-3) ovvero x1=1, a1=2 e x2=6, a2 =-3, Se inseriamo tutti questi valori nell'equazione (1), otteniamo la distanza richiesta.

image6

Pertanto, la distanza tra i due punti (1,2) e (6,-3) è

=√ [(6-1)2+(-3-2)2 ] unità

= [(5)2+(-5)2 ] unità

=√[25+25 ] unità

=√ [50 ] unità

=√ [2×52 ] unità

= 5√2 unità (Ans.)

Nota: La distanza è sempre seguita da alcune unità.

Di seguito vengono forniti ulteriori problemi con risposta (di base) per ulteriori esercitazioni utilizzando la procedura descritta sopra problema 1:-

Problema 2: Trova la distanza tra i due punti (2,8) e (5,10).               

Risposta √unità 13

Problema 3: Trova la distanza tra i due punti (-3,-7) e (1,-10).           

Ans. unità 5

Problema 4: Trova la distanza tra i due punti (2,0) e (-3,4).               

 Risposta √unità 41

Problema 5: Trova la distanza tra i due punti (2,-4) e (0,0).                

Ans. 2unità 5

Problema 6: Trova la distanza tra i due punti (10,100) e (-10,100,). 

                                                                                                                               Ans. unità 20

Problema 7: Trova la distanza tra i due punti (√5,1) e (2√5,1).          

Risposta 5 unità

Problema 8: Trova la distanza tra i due punti (2√7,2) e (3√7,-1).       

Risposta 4 unità

Problema 9: Trova la distanza tra i due punti (2+√10, 0) e (2-√10, 0).   

                                                                                                                              Risposta 2√10 unità

Problema 10: Trova la distanza tra i due punti (2+3i, 0) e (2-3i, 10). { i=√-1 }

                                                                                                                                 Ans. unità 8

Problema 11: Trova la distanza tra i due punti (2+i, -5) e (2-i, -7). { i=√-1 }

                                                                                                                                  Risposta 0 unità

Problema 12: Trova la distanza tra i due punti (7+4i,2i) e (7-4i, 2i). { i=√-1 }

                                                                                                                                   Risposta 8i unità

Problema 13: Trova la distanza tra i due punti (√3+i, 3) e (2√3+i, 5). { i=√-1 }  

                                                                                                                                Risposta 7 unità

Problema 14: Trova la distanza tra i due punti (5+√2, 3+i) e (2+√2, 7+2i). { i=√-1 } 

                                                                                                                           Risposta 2√(6+2i) unità 

Esempi di base sulle formule “La distanza di un punto dall'origine”

Problemi 15: Trova la distanza di un punto (3,4) dall'origine.

Soluzione:                                                                                                 

 Abbiamo la formula della distanza di un punto dall'origine,  PO=√ (x2 + y2) (Vedi la tabella delle formule sopra) Quindi qui possiamo assumere (x,y) ≌ (3,4) cioè x=3 e y=4                                                                                            

image9

Pertanto, mettendo questi valori di x e y nell'equazione sopra, otteniamo la distanza richiesta 

=(32 + 42) unità

=√(9 + 16) unità

=√ (25) unità

= 5 unità

Nota: la distanza è sempre seguita da alcune unità.

Nota: la distanza di un punto dall'origine è in realtà la distanza tra il punto e il punto di origine, ovvero (0,0)

Di seguito vengono fornite ulteriori risposte ai problemi per ulteriori esercitazioni utilizzando la procedura descritta sopra

Problema 15:-

Problema 16: Trova la distanza di un punto (1,8) dall'origine.                              

Risposta √unità 65

Problema 17: Trova la distanza di un punto (0,7) dall'origine.                              

Risposta 7 unità

Problema 18: Trova la distanza di un punto (-3,-4) dall'origine.                            

Risposta 5 unità

Problema 19: Trova la distanza di un punto (10,0) dall'origine.                             

Risposta 10 unità

Problema 20: Trova la distanza di un punto (0,0) dall'origine.                               

Risposta 0 unità

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Esempi di base su altre formule di punti sopra descritta e poche domande impegnative su questo argomento in coordinate Geometria, sono seguiti dai prossimi post.