Asimmetria: 7 fatti importanti che dovresti sapere

Contenuti

 skewness

    La curva che rappresenta le osservazioni tracciate rappresenta l'asimmetria se la forma della curva non è simmetrica, dell'insieme dato. In altre parole la mancanza di simmetria nel grafico dell'informazione data rappresenta l'asimmetria dell'insieme dato. A seconda della coda a destra o a sinistra, l'asimmetria è nota come obliqua positivamente o negativamente. La distribuzione che dipende da questa asimmetria è nota come distribuzione asimmetrica positivamente o distribuzione asimmetrica negativa

picture 53
curva positivamente inclinata
picture 54
Curva inclinata negativamente

La media, la moda e la mediana mostrano la natura della distribuzione, quindi se la natura o la forma della curva è simmetrica queste misure delle tendenze centrali sono uguali e per le distribuzioni asimmetriche queste misure delle tendenze centrali variano come media>mediana>modalità o media

Varianza e asimmetria

Varianzaskewness
La quantità di variabilità può essere ottenuta utilizzando la varianzaLa direzione della variabilità può essere ottenuta utilizzando l'asimmetria
L'applicazione della misura della variazione è in Economia e CommercioL'applicazione della misura dell'asimmetria è nelle scienze mediche e della vita
varianza e asimmetria

Misura dell'asimmetria

Per trovare il grado e la direzione della distribuzione di frequenza positiva o negativa, la misura dell'asimmetria è molto utile anche con l'aiuto del grafico conosciamo la natura positiva o negativa dell'asimmetria ma la grandezza non sarà esatta nei grafici quindi questi le misure statistiche danno l'entità della mancanza di simmetria.

Per essere precisi, la misura dell'asimmetria deve avere

  1. Unità libera in modo che le diverse distribuzioni possano essere comparabili se le unità sono uguali o diverse.
  2. Valore della misura per la distribuzione simmetrica zero e positivo o negativo per le distribuzioni positive o negative di conseguenza.
  3. Il valore della misura dovrebbe variare se si passa da un'asimmetria negativa a un'asimmetria positiva.

Esistono due tipi di misura dell'asimmetria

  1. Misura assoluta dell'asimmetria
  2. Misura relativa dell'asimmetria

assolutote Misura dell'asimmetria

Nella distribuzione simmetrica la media, la moda e la mediana sono le stesse, quindi nella misura assoluta dell'asimmetria la differenza di queste tendenze centrali fornisce l'estensione della simmetria nella distribuzione e la natura come distribuzione asimmetrica positiva o negativa ma la misura assoluta per le diverse unità non è utile quando si confrontano due insiemi di informazioni.

L'asimmetria assoluta può essere ottenuta utilizzando

  1. Asimmetria (Sk)=Media-Mediana
  2. Asimmetria (Sk)=Modalità media
  3. Asimmetria (Sk)=(D3-Q2)-(Q2-Q1)

Misura relativa dell'asimmetria

La misura relativa dell'asimmetria viene utilizzata per confrontare l'asimmetria in due o più distribuzioni eliminando l'influenza della variazione, la misura relativa dell'asimmetria è nota come coefficiente di asimmetria, le seguenti sono le importanti misure relative dell'asimmetria.

  1. Coefficiente di asimmetria di Karl Pearson

Questo metodo viene utilizzato più spesso per calcolare l'asimmetria

S_k=\\frac{Modalità media}{\\sigma}

questo coefficiente di asimmetria è positivo per la distribuzione positiva, negativo per la distribuzione negativa e zero per la distribuzione simmetrica. Questo coefficiente di Karl Pearson è solitamente compreso tra +1 e -1. Se la modalità non è definita, per calcolare il coefficiente di Karl Pearson utilizziamo la formula as

S_k=\\frac{3(modalità media)}{\\sigma}

Se usiamo questa relazione, il coefficiente di Karl Pearson è compreso tra +3 e -3.

2. Coefficiente di asimmetria di Bowleys|Misura quartile dell'asimmetria

Nel coefficiente di asimmetria di Bowleys le deviazioni del quartile sono state utilizzate per trovare l'asimmetria, quindi è anche noto come misura quartile dell'asimmetria

S_k=\\frac{(Q_3-Q_2)-(Q_2-Q_1)}{(Q_3-Q_1)} \\\\=\\frac{(Q_3-2Q_2+Q_1)}{(Q_3-Q_1)}

oppure possiamo scriverlo come

S_k=\\frac{(Q_3-M)-(M-Q_1)}{(Q_3-Q_1)} \\\\=\\frac{(Q_3-2M+Q_1)}{(Q_3-Q_1)}

questo valore di coefficiente è zero se la distribuzione è simmetrica e il valore per la distribuzione positiva è positivo, per la distribuzione negativa è negativo. Il valore di Sk è compreso tra -1 e +1.

3. Coefficiente di asimmetria di Kelly

In questa misura dell'asimmetria i percentili e i decili sono usati per calcolare l'asimmetria, il coefficiente è

S_k=\\frac{(P_{90}-P_{50})-(P_{50}-P_{10})}{(P_{90}-P_{10})} \\\\=\\frac{(P_{90}-2P_{50}+P_{10})}{(P_{90}-P_{10})}

dove queste asimmetrie coinvolgono i 90, 50 e 10 percentili e usando i decili possiamo scriverlo come

S_k=\\frac{(D_9-D_5)-(D_5-D_1)}{(D_9-D_1)} \\\\=\\frac{(D_9-2D_5+D_1)}{(D_9-D_1)}

in cui sono stati utilizzati 9,5 e 1 decili.

4. β e γ Coefficiente di asimmetria| Misura dell'asimmetria basata sui momenti.

Utilizzando i momenti centrali si può definire la misura dell'asimmetria come il coefficiente di asimmetria β

\\beta_1=\\frac{{\\mu_3}^2}{{\\mu_2}^3}

questo coefficiente di asimmetria dà valore zero per la distribuzione simmetrica ma questo coefficiente non indica specificamente la direzione né positiva né negativa, quindi questo inconveniente può essere rimosso prendendo la radice quadrata di beta come

\\gamma_1=\\pm \\sqrt{\\beta_1}=\\frac{\\mu_3}{{\\mu_2}^{3/2}}=\\frac{\\mu_3}{\\sigma^3}

questo valore fornisce il valore positivo e negativo rispettivamente per le distribuzioni positive e negative.

Esempi di asimmetria

  1.  Usando le seguenti informazioni trova il coefficiente di asimmetria
Salari0-1010-2020-3030-4040-5050-6060-7070-80
Numero di persone121835425045208

Soluzione: Per trovare il coefficiente di asimmetria useremo il coefficiente di Karl Pearson

frequenzavalore medio(x)fxfx2
0-1012560300
10-2018152704050
20-30352587521875
30-404235147051450
40-5050452250101250
50-6045552475136125
60-702065130084500
70-8087560045000
2309300444550

il coefficiente di asimmetria di Karl Pearson è

\\begin{array}{l} \\text { Coefficiente di asimmetria di Karl person }=J=\\frac{\\text { Media }-\\text { Modalità }}{S . D .}\\\\ \\begin{array}{l} \\text { Mean, } \\quad \\bar{x}=\\frac{1}{N} \\sum_{i} f_{ i} x_{i}, \\quad \\text { Modalità }=l+\\frac{c\\left(f_{1}-f_{0}\\right)}{\\left(f_{1} -f_{0}\\right)+\\left(f_{1}-f_{2}\\right)} \\\\ \\text { Deviazione standard }=\\sqrt{\\frac{1} {N} \\sum_{i} f_{i} x_{i}^{2}-\\bar{x}^{2}} \\end{array} \\end{array}

\\begin{array}{c} \\text { Mean }=\\frac{9300}{230}=40.43 \\\\ \\text { S.D. }=\\sqrt{\\frac{1}{N} \\sum_{i} f_{i} x_{i}^{2}-\\bar{x}^{2}}=\\sqrt{ \\frac{1}{230}(444550)-\\sinistra[\\frac{9300}{230}\\destra]^{2}}=17.27 . \\end{array}

la classe modale è la classe di frequenza massima 40-50 e le rispettive frequenze lo sono

f_{0}=42, f_{1}=50,f_{2}=45

così

\\text { Hence, Mode }=40+\\frac{10(50-42)}{(50-42)+(50-45)}=46.15

quindi il coefficiente di asimmetria sarà

=\\frac{40.43-46.15}{17.27}=-0.3312

che mostra l'asimmetria negativa.

2. Trovare il coefficiente di asimmetria dei voti distribuiti in frequenza di 150 studenti in determinati esami

votazione0-1010-2020-3030-4040-5050-6060-7070-80
frequenza104020010401614

Soluzione: Per calcolare il coefficiente di asimmetria richiediamo media, moda, mediana e deviazione standard per le informazioni fornite, quindi per calcolarli formiamo la seguente tabella

intervallo di classefvalore medio
x
cfd'=(x-35)/10f*d'f*d'2
0-1010510-3 all'30 ottobre90
10-20401550-2 all'80 ottobre160
20-30202570-1 all'20 ottobre20
30-4003570000
40-5010458011010
50-604055120280160
60-701665136348144
70-801475150456244
totale=64totale=828

ora le misure saranno

\\begin{array}{l} Mediana =\\mathrm{L}+\\frac{\\left(\\frac{\\mathrm{N}}{2}-\\mathrm{C}\\right )}{\\mathrm{f}} \\times \\mathrm{h}=40+\\frac{75-70}{10} \\times 10=45 \\\\Mean (\\overline{\ \mathrm{x}})=\\mathrm{A}+\\frac{\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{\\mathrm{k}} \\mathrm{fd}^{\ \prime}}{\\mathrm{N}} \\times \\mathrm{h}=35+\\frac{64}{150} \\times 10=39.27 \\end{array}

ed

\\begin{aligned} Deviazione standard }(\\sigma) &=\\mathrm{h} \\times \\sqrt{\\frac{\\sum \\mathrm{fd}^{\\prime 2}} {\\mathrm{~N}}-\\left(\\frac{\\sum \\mathrm{fd}}{\\mathrm{N}}\\right)^{2}} \\\\ & =10 \\times \\sqrt{\\frac{828}{150}-\\left(\\frac{64}{150}\\right)^{2}} \\\\&=10 \\ volte \\sqrt{5.33}=23.1 \\end{allineato}

quindi il coefficiente di asimmetria della distribuzione è

S_k=\\frac{3(Mean-Median)}{\\sigma} \\\\=\\frac{3(39.27-45}{23.1}=-0.744

3. Trova la media, la varianza e il coefficiente di asimmetria della distribuzione i cui primi quattro momenti circa 5 sono 2,20,40 e 50.

Soluzione: poiché i primi quattro momenti sono dati così

\\begin{array}{c} \\mu_{1}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i} \\sinistra(x_{i}-5\\destra)=2 ; \\mu_{2}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i}\\left(x_{i}- 5\\destra)^{2}=20 ; \\\\ \\mu_{3}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i}\\left(x_ {i}-5\\right)^{3}=40 \\quad \\text { e } \\quad \\mu_{4}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{ N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i}\\left(x_{i}-5\\right)^{4}=50 . \\\\ \\mu_{1}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i} x_{i}- 5=2 \\\\ \\Freccia destra \\bar{x}=2+5=7 \\end{array}

così possiamo scriverlo

\\begin{array}{l} \\mu_{r}=\\mu_{r}^{\\prime}(A)-{ }^{r} C_{1} \\mu_{r-1} ^{\\prime}(A) \\mu_{1}^{\\prime}(A)+{ }^{r} C_{2} \\mu_{r-2}^{\\prime}( A)\\sinistra[\\dot{\\mu}_{1}^{\\prime}(A)\\destra]^{2}-\\ldots .+(-1)^{r}\ \left[\\mu_{1}^{\\prime}(A)\\right]^{r} \\\\ \\text { Quindi } \\mu_{2}=\\mu_{2}^ {\\prime}(5)-\\sinistra[\\mu_{1}^{\\prime}(5)\\destra]^{2}=20-4=16 \\\\ \\mu_{ 3}=\\mu_{3}^{\\prime}(5)-3 \\mu_{2}^{\\prime}(5) \\mu_{1}^{\\prime}(5) +2\\sinistra[\\mu_{1}^{\\prime}(5)\\destra]^{3} \\\\ 40-3 \\times 20 \\times 2+2 \\times 2 ^{3}=-64 \\end{array}

quindi il coefficiente di asimmetria è

\\beta_{1}=\\frac{\\mu_{3}^{2}}{\\mu_{2}^{3}}=\\frac{(-64)^{2}}{(16)^{3}}=-1

Pdefinizione di ositively skewed | significato di Right skewed

Qualsiasi distribuzione in cui la misura delle tendenze centrali cioè media, moda e mediana aventi valori positivi e l'informazione nella distribuzione manca di simmetria.

In altre parole la distribuzione positivamente asimmetrica è la distribuzione in cui la misura delle tendenze centrali segue come significa>mediana>modalità nella parte destra della curva della distribuzione.

Se tracciamo le informazioni della distribuzione la curva sarà allineata a destra a causa della quale la distribuzione asimmetrica positiva è anche nota come distribuzione distorta a destra.

distribuzione asimmetrica positiva o distribuzione asimmetrica a destra
distribuzione asimmetrica positiva/a destra

dalla curva sopra è chiaro che la moda è la misura più piccola nella distribuzione asimmetrica positiva o destra e la media è la misura più grande delle tendenze centrali.

esempio di distribuzione asimmetrica positiva|esempio di distribuzione asimmetrica a destra

  1. Per una distribuzione asimmetrica positiva o asimmetrica destra se il coefficiente di asimmetria è 0.64, trovare la modalità e la mediana della distribuzione se la media e la deviazione standard sono rispettivamente 59.2 e 13.

Soluzione: I valori dati sono media=59.2, sk= 0.64 e  σ=13 quindi usando la relazione

S_k=\\frac{modalità-media}{\\sigma} \\\\0.64=\\frac{59.2-\\text { Modalità }}{13} \\\\Modalità =59.20-8.32=50.88 \\ \\Modalità =3 Mediana -2 Media \\\\50.88=3 Mediana -2(59.2) \\\\Mediana =\\frac{50.88+118.4}{3}=\\frac{169.28}{3}= 56.42

2. Trovare la deviazione standard della distribuzione asimmetrica positiva il cui coefficiente di asimmetria è 1.28 con media 164 e modo 100?

Soluzione: Allo stesso modo usando le informazioni fornite e la formula per il coefficiente di distribuzione asimmetrica positiva

S_k=\\frac{mean-mode}{\\sigma} \\\\1.28=\\frac{164-100}{\\sigma} \\\\\\sigma=\\frac{64}{1.28}=50

quindi la deviazione standard sarà 50.

3. Nelle deviazioni trimestrali se la somma del primo e del terzo trimestre è 200 con mediana 76, trovare il valore del terzo quartile della distribuzione di frequenza che è positivamente distorta con coefficiente di asimmetria 1.2?

Soluzione: Per trovare il terzo quartile dobbiamo utilizzare la relazione tra coefficiente di asimmetria e trimestrali, poiché l'informazione fornita è

S_k=1.2 \\\\Q_1+Q_3=200 \\\\Q_2=76[ \\\\S_{k}=\\frac{\\left(Q_{3}+Q_{1}-2 Q_{2}\\right)}{\\left(Q_{3}-Q_{1}\\right)} \\\\1.2=\\frac{(200-2 \\times 76)}{\\left(Q_{3}-Q_{1}\\right)} \\\\Q_{3}-Q_{1}=\\frac{48}{1.2}=40 \\\\Q_{3}-Q_{1}=40

dalla relazione data abbiamo

Q_1+Q_3=200 \\\\Q_1=200-Q_3

da queste due equazioni possiamo scrivere

Q_{3}-Q_{1}=40 \\\\ Q_{3}-(200-Q_3)=40 \\\\2Q_3=240 \\\\Q_3=120

quindi il valore del terzo quartile è 120.

4. Trova il coefficiente di asimmetria per le seguenti informazioni

x93-9798-102103-107108-112113-117118-122123-127128-132
f25121714631

Soluzione: qui useremo la misura dell'asimmetria di Bowley usando i quartili

classefrequenzafrequenza cumulativa
92.5-97.522
97.5-102.557
102.5-107.51219
107.5-112.51736
112.5-117.51450
117.5-122.5656
122.5-127.5359
127.5-132.5160
N = 60

come Nth/ 4 = 15th l'osservazione della classe è 102.5-107.5 , Nth/ 2 = 30th l'osservazione della classe è 107.5-112.5 e 3Nth/ 4 = 45th l'osservazione della classe è 112.5-117.5 so

Q_{1}=l_{1}+\\frac{\\left(\\frac{N}{4}-m_{1}\\right) c_{1}}{f_{1}}=102.5+\\frac{\\left(\\frac{60}{4}-7\\right) 5}{12}=105.83

ed

Q_{3}=l_{3}+\\frac{\\left(\\frac{3 N}{4}-m_{3}\\right) c_{3}}{f_{3}}=112.5+\\frac{\\left(\\frac{3 \\times 60}{4}-36\\right) 5}{14}=115.714

e la mediana è

Q_{2}=l_{2}+\\frac{\\left(\\frac{N}{2}-m_{2}\\right) c_{2}}{f_{2}}=107.5+\\frac{\\left(\\frac{60}{2}-19\\right) 5}{17}=110.735

così

Q=\\frac{Q_{3}+Q_{1}-2 M}{Q_{3}-Q_{1}}=\\frac{115.714+105.83-2 \\times 110.735}{115.714-105.83}=0.0075

che è una distribuzione asimmetrica positiva.

dove è la media in una distribuzione asimmetrica positiva

Sappiamo che la distribuzione asimmetrica positiva è una distribuzione asimmetrica a destra quindi la curva è allineata a destra il significato di questa maggior parte delle informazioni sarà più vicina alla coda quindi la media in una distribuzione asimmetrica positiva è più vicina alla coda e poiché in positiva o a destra distribuzione asimmetrica media>mediana>modalità quindi media sarà dopo la mediana.

Distribuzione asimmetrica destra modalità mediana media|relazione tra mediana media e moda nella distribuzione asimmetrica positiva

Nella distribuzione distorta positivamente o distorta a destra la misura delle tendenze centrali media, mediana e moda sono nell'ordine significa>mediana>modalità, poiché la moda è la più piccola della mediana e la tendenza centrale più grande è la media che per la curva a coda destra è più vicina alla coda della curva per l'informazione.

quindi la relazione tra mediana media e moda nella distribuzione positivamente asimmetrica è in ordine crescente e con l'aiuto della differenza di queste due tendenze centrali può essere calcolato il coefficiente di asimmetria, quindi media, mediana e moda danno anche la natura dell'asimmetria.

grafico di distribuzione inclinato positivamente|curva di distribuzione inclinato positivamente

Il grafico sotto forma di curva liscia o sotto forma di istogramma per l'informazione discreta, la natura è allineata a destra poiché la media delle informazioni si raccoglie attorno alla coda della curva poiché l'asimmetria della distribuzione discute la forma della distribuzione. Poiché la grande quantità di dati si trova a sinistra della curva e la coda della curva a destra è più lunga.

alcuni dei grafici di informazioni distribuite positivamente sono i seguenti

Immagine
picture 1
picture 2

picture 3
picture 4

dai grafici sopra si evince che la curva è carente di simmetria in tutti gli aspetti.

distribuzione del punteggio positivamente distorta

In qualsiasi distribuzione, se i punteggi sono in un'asimmetria positiva, questo è il punteggio che segue la distribuzione in un'asimmetria positiva come media>mediana>modalità e la curva del punteggio della distribuzione ha una curva a coda destra in cui il punteggio è influenzato dal valore grande.

Questo tipo di distribuzione è noto come distribuzione del punteggio asimmetrica positiva. Tutte le proprietà e le regole per questa distribuzione sono le stesse della distribuzione asimmetrica positiva o asimmetrica a destra.

distribuzione positiva della frequenza di distorsione

Nella distribuzione di frequenza positivamente distorta, in media, la frequenza delle informazioni è inferiore rispetto alla distribuzione, quindi la distribuzione di frequenza positivamente distorta non è altro che la distribuzione positivamente distorta o distorta a destra in cui la curva è una curva a coda destra.

distribuzione asimmetrica positiva vs distribuzione asimmetrica negativa|distribuzione asimmetrica positiva vs asimmetrica negativa

distribuzione asimmetrica positivadistribuzione distorta negativa
Nella distribuzione asimmetrica positiva l'informazione è distribuita come la media è la più grande e la moda è la più piccola Nella distribuzione asimmetrica negativa l'informazione è distribuita come la media è la più piccola e la moda è la più grande
la curva ha la coda a destrala curva ha la coda a sinistra
significa>mediana>modalitàSignificare

FAQ

Come fai a sapere se una distribuzione è asimmetrica positivamente o negativamente?

L'asimmetria è positiva se media>mediana>modalità e negativa se media

Anche dalla curva di distribuzione possiamo giudicare se la curva è a destra è positiva e se la curva è a sinistra è negativa

Come si determina l'asimmetria positiva?

Calcolando la misura del coefficiente di asimmetria se positivo, l'asimmetria è positiva o tracciando la curva di distribuzione se coda a destra quindi positiva o controllando media>mediana>modalità

Cosa rappresenta un'inclinazione positiva

L'asimmetria positiva rappresenta che il punteggio della distribuzione è più vicino a valori grandi e la curva è allineata a destra e la media è la misura più grande

Come si interpreta un istogramma distorto a destra?

se l'istogramma è asimmetrico a destra, la distribuzione è asimmetrica positivamente distribuzione dove media>mediana>modalità

Nelle distribuzioni inclinate verso destra qual è la relazione tra mediana media e moda?

La relazione è media>mediana>modalità

Conclusione:

L'asimmetria è un importante concetto di statistica che dà l'asimmetria o la mancanza di simmetria presente nella distribuzione di probabilità a seconda del valore positivo o negativo è classificato come distribuzione asimmetrica positivamente o distribuzione asimmetrica negativa, nell'articolo precedente il concetto breve con esempi discussi , se hai bisogno di ulteriori letture passa attraverso

https://en.wikipedia.org/wiki/skewness

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