Funzione di massa di probabilità: 5 esempi

Variabile casuale discreta e aspettativa matematica-II

Come già ora abbiamo familiarità con il variabile casuale discreta, è la variabile casuale che prende il numero numerabile di valori possibili in una sequenza. I due concetti importanti relativi alle variabili casuali discrete sono la probabilità di variabile casuale discreta e la funzione di distribuzione restringiamo il nome a tale funzione di probabilità e distribuzione come

Probabilità funzione di massa (pmf)

                L' Probabilità Funzione di massa è la probabilità della variabile casuale discreta, quindi per qualsiasi variabili casuali discrete  x₁, X₂, X₃, X₄,……, X_k  le probabilità corrispondenti P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄) ……, P (x_k) sono le corrispondenti funzioni di massa di probabilità.

In particolare, per X = a, P (a) = P (X = a) è il suo pmf

Qui in poi usiamo funzione di massa di probabilità per variabili casuali discrete probabilità. Tutte le caratteristiche di probabilità per la probabilità saranno ovviamente applicabili alla funzione di massa di probabilità come la positività e la somma di tutti i pmf saranno una ecc.

Funzione di distribuzione cumulativa (cdf) / Funzione di distribuzione

  La funzione di distribuzione definita come

F (x) = P (X <= x)

per la variabile casuale discreta con funzione di massa di probabilità è la funzione di distribuzione cumulativa (cdf) della variabile casuale.

e aspettativa matematica per tale variabile casuale abbiamo definito era

vediamo ora alcuni dei risultati delle aspettative matematiche

1. Se x₁, X₂, X₃, X₄,… .. sono le variabili aleatorie discrete con rispettive probabilità P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄)… L'aspettativa per la funzione a valori reali g sarà

Esempio: per le seguenti funzioni di massa di probabilità, trova E (X³)

Qui g (X) = X³

Così,

E (X³) = (-1)³ <em>0.2 + (0)³</em> 0.5 + (1)³ * 0.3

E (x³) = 0.1

Allo stesso modo per ogni ennesimo ordine possiamo scrivere

Che è noto come ennesimo momento.

2. Se aeb sono costanti allora

E [aX + b] = aE [X] + b

Questo lo possiamo capire facilmente come

= aE [X] + b

Varianza in termini di aspettativa.

                Per la media denotata da μ la varianza della variabile casuale discreta X denotata da var (X) o σ in termini di aspettativa sarà

Var (X) = E [(X- μ)²]

e questo lo possiamo ulteriormente semplificare come

Var (X) = E [(X- μ)²]

= E [X²] – 2µ² + μ²

= E [X²] – μ²

questo significa che possiamo scrivere la varianza come la differenza tra l'aspettativa della variabile casuale al quadrato e il quadrato dell'aspettativa della variabile casuale.

cioè Var (X) = E [X²] - (E [X])²

Esempio:  quando viene lanciato un dado calcola la varianza.

Soluzione:   qui sappiamo che quando muore lanciato le probabilità per ogni faccia saranno

p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

quindi per calcolare la varianza troveremo l'aspettativa della variabile casuale e il suo quadrato come

E[X]=1.(1/6)+2.(1/6)+3.(1/6)+4.(1/6)+5.(1/6)+6.(1/6)=(7/2)

EX²] = 1². (1/6) +2². (1/6) +3². (1/6) +4². (1/6) +5². (1/6) +6².(1/6) =(1/6)(91)

e abbiamo appena ottenuto la varianza come

Var (X) = E [X²] - (E [X])²

so

Var (X) = (91/6) - (7/2)² = 35 / 12

Uno di identità importante per la varianza is

1. Per le costanti arbitrarie aeb abbiamo

Var (aX + b) = a² Var (X)

Questo lo possiamo mostrare facilmente come

Var (aX + b) = E [(aX + b -aμ-b)² ]

= E [a²(X - μ)²]

=a² E [(X-μ)²]

=a² Var (X)

Variabile casuale di Bernoulli

      Un matematico svizzero James Bernoulli definisce il Variabile casuale di Bernoulli come variabile casuale che ha successo o fallimento come solo due risultati per l'esperimento casuale.

cioè quando il risultato è successo X = 1

Quando il risultato è il fallimento X = 0

Quindi la funzione massa di probabilità per la variabile casuale di Bernoulli è

p (0) = P {X = 0} = 1-p

p (1) = P {X = 1} = p

dove p è la probabilità di successo e 1-p sarà la probabilità di fallimento.

Qui possiamo prendere 1-p = q anche dove q è la probabilità di fallimento.

Poiché questo tipo di variabile casuale è ovviamente discreta, questa è una variabile casuale discreta.

Esempio: Lanciare una moneta.

Variabile casuale binomiale

Se per un esperimento casuale che ha solo esito come successo o fallimento prendiamo n prove così ogni volta che avremo successo o fallimento, la variabile casuale X che rappresenta il risultato per tale n esperimento casuale è nota come Variabile casuale binomiale.

                In altre parole, se p è la funzione di massa di probabilità per il successo nella singola prova di Bernoulli eq = 1-p è la probabilità per il fallimento, allora la probabilità che si verifichi l'evento 'x o i' volte in n prove sarà

or

Esempio: Se lanciamo due monete sei volte e ottenere testa è un successo e le occorrenze rimanenti sono fallimenti, la sua probabilità sarà

in modo simile possiamo calcolare per qualsiasi esperimento del genere.

L' Variabile casuale binomiale sta avendo il nome Binomiale perché rappresenta l'espansione di

Se mettiamo al posto di n = 1, questo si trasformerebbe nella variabile casuale di Bernoulli.

Esempio: Se vengono lanciate cinque monete e il risultato viene preso indipendentemente, quale sarebbe la probabilità del numero di teste che si sono verificate.

Qui se prendiamo la variabile casuale X come numero di teste, allora si trasformerebbe nella variabile casuale binomiale con n = 5 e probabilità di successo come ½

Quindi, seguendo la funzione di massa di probabilità per la variabile casuale binomiale, otterremo

Esempio:

In una certa azienda la probabilità di difettosità è 0.01 dalla produzione. L'azienda produce e vende il prodotto in una confezione da 10 e ai suoi clienti offre la garanzia di rimborso che al massimo 1 prodotto su 10 è difettoso, quindi quale percentuale di imballaggi venduti l'azienda deve sostituire.

Qui se X è la variabile casuale che rappresenta i prodotti difettosi, allora è di tipo binomiale con n = 10 ep = 0.01, la probabilità che il pacchetto ritorni è

Esempio: (chuck-a-luck / wheel of fortune) In uno specifico gioco di fortuna in hotel un giocatore scommette su uno qualsiasi dei numeri da 1 a 6, tre dadi poi lanciano e se il numero appare scommesso dal giocatore una, due o tre volte il giocatore che molte unità significa se compaiono una volta, quindi 1 unità se su due dadi quindi 2 unità e se su tre dadi quindi 3 unità, controlla con l'aiuto della probabilità che il gioco sia equo per il giocatore o meno.

Se assumiamo che non ci saranno mezzi ingiusti con i dadi e le tecniche di confusione, assumendo il risultato dei dadi indipendentemente, la probabilità di successo per ogni dado è 1/6 e il fallimento sarà

 1-1 / 6 quindi questo risulta essere l'esempio di variabile casuale binomiale con n = 3

quindi prima calcoleremo le probabilità di vincita assegnando x come vincono i giocatori

Ora per calcolare il gioco è giusto o meno per il giocatore calcoleremo l'aspettativa della variabile casuale

E[X] = -125+75+30+3/216

= -17/216

Ciò significa che la probabilità di perdere la partita per il giocatore quando gioca 216 volte è 17.

Conclusione:

   In questo articolo abbiamo discusso alcune delle proprietà di base di una variabile casuale discreta, funzione di massa di probabilità e varianza. Inoltre abbiamo visto alcuni tipi di una variabile casuale discreta, prima di iniziare la variabile casuale continua cerchiamo di coprire tutti i tipi e le proprietà della variabile casuale discreta, se desideri ulteriori letture, segui:

Schemi di probabilità e statistica di Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

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