Permutazione e combinazione: 7 fatti rapidi completi

Proprietà di permutazione e combinazione

  Quando si discute di permutazione e combinazione poiché si tratta di selezione e disposizione con o senza considerazioni sull'ordine, a seconda della situazione ci sono diversi tipi e proprietà per il permutazione e combinazione, queste differenze tra permutazioni e combinazioni spiegheremo qui con esempi giustificati.

permutazioni senza ripetizione

  Questa è la normale permutazione che dispone n oggetti presi r alla volta, cioè nPr

n Pr= n! / (nr)!

numero di ordinazioni di n oggetti diversi presi tutti in una volta n Pn = n!

Inoltre, abbiamo

nP0 = n! / n! = 1

nPr = n.n-1PR 1

0! = 1

1 / (- r)! = 0 o (-r)! = ∞

permutazioni con ripetizione

 Numero di permutazioni (disposizioni) per elementi diversi, presi r alla volta, in cui ogni elemento può accadere una, due volte, tre volte, …… .. r-volte più in qualsiasi disposizione = Numero di modi per riempire le aree r in cui ciascuna l'elemento può essere riempito con uno qualsiasi degli n elementi.

Proprietà di Permutazione e combinazione: permutazioni con ripetizione

Il numero di permutazioni = Il numero di modi di riempimento r posti = (n)r

Il numero di ordini che possono essere organizzati utilizzando n oggetti di cui p sono simili (e di un tipo) q sono simili (e di un altro tipo), r sono simili (e di un altro tipo) e il resto è distinto nPr = n! / (p! q! r!)

Esempio:

In quanti modi possono essere distribuite 5 mele tra quattro ragazzi quando ogni ragazzo può prendere una o più mele.      

Soluzione: Questo è l'esempio di permutazione con ripetizione come sappiamo che per questi casi abbiamo

Il numero di permutazioni = Il numero di modi di riempimento r posti = nr

Il numero di modi richiesto è 45 = 10, poiché ogni mela può essere distribuita in 4 modi.

Esempio: Trova il numero di parole può essere organizzato con le lettere della parola MATEMATICA raggruppandole.

Soluzione: Qui possiamo osservare che ci sono 2 M, 2 A e 2 T questo è l'esempio di permutazione con ripetizione

= n! / (p! q! r!)

 Il numero di vie richiesto è = 11! / (2! 2! 2!) = 4989600

Esempio: Quanti modi in cui il numero di croci è uguale al numero di teste se sei monete identiche sono disposte in fila.

Soluzione: Qui possiamo osservarlo

Numero di teste = 3

Numero di code = 3

E poiché le monete sono identiche, questo è l'esempio di permutazione con ripetizione = n! / (P! Q! R!)

Numero di vie richiesto = 6! / (3! 3!) = 720 / (6X6) = 20

Permutazione circolare:

Nella permutazione circolare, soprattutto l'ordinamento dell'oggetto è rispetto agli altri.

Quindi, nella permutazione circolare, regoliamo la posizione di un oggetto e disponiamo gli altri oggetti in tutte le direzioni.

La permutazione circolare è suddivisa in due modi:

(i) Permutazione circolare dove suggeriscono le impostazioni in senso orario e antiorario permutazione diversa, ad esempio, disposizioni per far sedere le persone attorno al tavolo.

(ii) Permutazione circolare in cui vengono visualizzate le impostazioni in senso orario e antiorario stessa permutazione, ad esempio disponendo alcune perline per creare una collana.

Disposizione in senso orario e antiorario

Se l'ordine e il movimento in senso antiorario e orario lo sono nessuna differenza ad esempio, disposizione di perline in collana, disposizione di fiori in ghirlanda ecc., quindi il numero di permutazioni circolari di n elementi distinti è (n-1)! / 2

  1. Il numero di permutazioni circolari per n elementi diversi, preso r alla volta, quando gli ordini per il senso orario e il senso antiorario sono considerati diverso by nPr /r
  2. Il numero di permutazioni circolari per n elementi diversi, preso r alla volta, quando gli ordini in senso orario e antiorario lo sono nessuna differenza da nPr / 2r
  3. Il numero di permutazioni circolari di n oggetti differenti è (n-1)!
  4. Il numero di modi in cui n ragazzi diversi possono essere seduti attorno a un tavolo circolare è (n-1)!
  5. Il numero di modi in cui n gemme diverse possono essere impostate per formare una collana, è (n-1)! / 2

Esempio:

In quanti modi è possibile posizionare cinque chiavi nell'anello

Soluzione:

Dal momento che in senso orario e antiorario sono gli stessi in caso di anello.

Se la sequenza e il movimento in senso antiorario e orario sono nessuna differenza quindi il numero di permutazioni circolari di n elementi distinti è

= (n-1)! / 2

Numero di vie richiesto = (5-1)! / 2 = 4! / 2 = 12     

Esempio:

Quale sarebbe il numero di accordi, se undici membri di una commissione siedessero a una tavola rotonda in modo che il presidente e il segretario si siedessero sempre insieme.

Soluzione:

Per proprietà fondamentale della permutazione circolare

Il conteggio delle permutazioni circolari di n cose diverse è (n-1)!

Poiché due posizioni sono fisse, lo abbiamo fatto

Numero di vie richiesto (11-2)! * 2 = 9! * 2 = 725760

Esempio: Quale sarebbe il numero di modi in cui 6 uomini e 5 donne possono mangiare a una tavola rotonda se nessuna donna può sedersi insieme

Soluzione: Per proprietà fondamentale della permutazione circolare.

Il conteggio delle permutazioni circolari di n cose diverse è (n-1)!

Numero di modi in cui 6 uomini possono essere organizzati in una tavola rotonda = (6 - 1)! = 5!

Proprietà di permutazione e combinazione
Proprietà di permutazione e combinazione: esempio

Ora le donne possono essere organizzate in 6! vie e numero totale di vie = 6! × 5!

Combinazioni senza ripetizione

Questa è la solita combinazione che è "Il numero di combinazioni (selezioni o gruppi) da cui è possibile formare n diversi oggetti presi r alla volta è nCr = n! / (nr)! r!

Leggi anche    nCr =nCrr

              n Pr / r! = n! / (nr)! =nCr

Esempio: Trova il numero di opzioni per coprire 12 posti vacanti se ci sono 25 candidati e cinque di loro appartengono alla categoria programmata, a condizione che 3 posti vacanti siano riservati ai candidati SC mentre i restanti sono aperti a tutti.

Soluzione: Dal momento che 3 posizioni vacanti sono occupate da 5 candidati in 5 C3  modi (cioè 5 SCEGLI 3) e ora i candidati rimanenti sono 22 e i seggi rimanenti sono 9, quindi sarebbe 22C9 (22 SCEGLI 9) La selezione può essere effettuata in 5 C3  X 22C9 ={5!/3!(5-3)! }X{22!/9!(22-9)!}

5 C3  X 22C9 = {(3!X4X5)/(3!X2!)}X {22!/(9!X13!)}=4974200

Quindi la selezione può essere effettuata in 4974200 modi. 

Esempio: Ci sono 10 candidati e tre posti vacanti alle elezioni. in quanti modi un elettore può esprimere il proprio voto?

Soluzione: Poiché ci sono solo 3 posti vacanti per 10 candidati, questo è il problema di 10 SCEGLI 1, 10 SCEGLI 2 e 10 SCEGLI 3 Esempi,

Un elettore può votare 10C1+10C2+10C3 = {10!/1!(10-1)!}+{10!/2!(10-2)!}+{10!/3!(10-3)!} =10+45+120= 175 ways.

 Quindi in 175 modi l'elettore può votare.

Esempio:Ci sono 9 sedie in una stanza per 4 persone, una delle quali è un ospite singolo con una sedia specifica. In quanti modi possono sedersi?

Soluzione: Poiché è possibile selezionare 3 sedie 8C3 e poi 3 persone possono essere organizzate in 3! modi.

3 persone devono essere sedute su 8 sedie 8C3 (cioè 8 SCEGLI 3) disposizione

=8C3 X3! = {8! / 3! (8-3)!} X3!

= 56X6 = 336

In 336 modi possono sedersi.

Esempio: Per cinque uomini e 4 donne, verrà formato un gruppo di 6. In quanti modi questo può essere fatto in modo che il gruppo abbia più uomini.

Soluzione: qui il problema include diverse combinazioni come 5 SCEGLI 5, 5 SCEGLI 4, 5 SCEGLI 3 per gli uomini e per le donne include 4 SCEGLI 1, 4 SCEGLI 2 e 4 SCEGLI 3 come indicato di seguito

1 donna e 5 uomini =4C1 X 5C5 ={4!/1!(4-1)!} X{5!/5!(5-5)!}=4

           2 donne e 4 uomini =4C2 X 5C4 = {4!/2!(4-2)!} X{5!/4!(5-4)!}=30

           3 donne e 3 uomini =4C3 X 5C3 = {4!/3!(4-3)!} X {5!/3!(5-3)!} =40

    Quindi vie totali = 4 + 30 + 40 = 74.

Esempio: Il numero di modi in cui 12 ragazzi possono viaggiare in tre auto in modo che 4 ragazzi in ogni auto, supponendo che tre ragazzi in particolare non andranno nella stessa auto.

Soluzione: Prima ometti tre ragazzi in particolare, i rimanenti 9 ragazzi possono essere 3 in ogni macchina. Questo può essere fatto in 9 SCEGLI 3 ie 9C3 modi,

I tre ragazzi in particolare possono essere collocati in tre modi, uno in ciascuna macchina. Pertanto il numero totale di vie è = 3X9C3.

={9!/3!(9-3)!}X3= 252

quindi in 252 modi possono essere posizionati.

Esempio: In quanti modi 2 palline verdi e 2 nere sono uscite da un sacchetto contenente 7 palline verdi e 8 nere?

Soluzione: Qui il sacchetto contiene 7 verdi di cui dobbiamo scegliere 2 quindi è 7 il problema SCEGLI 2 e 8 palline nere da quello dobbiamo scegliere 2 quindi è 8 SCEGLI 2 problema.

Da qui il numero richiesto = 7C2 X 8C2 = {7!/2!(7-2)!}X{8!/2!(8-2)!}=21X28=588

quindi in 588 modi possiamo selezionare 2 verdi e 2 neri da quella borsa.

Esempio: Sono forniti dodici diversi caratteri di parole inglesi. Da queste lettere vengono formati 2 nomi alfabetici. Quante parole possono essere create quando almeno una lettera viene ripetuta.

Soluzione: qui dobbiamo scegliere parole di 2 lettere da 12 lettere quindi è 12 SCEGLI 2 problemi.

Numero di parole di 2 lettere in cui le lettere sono state ricorrenti ogni volta = 122

        Ma no. di parole sull'avere due lettere diverse su 12 =12C2 = {12!/2!(12-2)!} =66

        Numero di parole richieste = 122-66 = 144-66 = 78.

Esempio: Ci sono 12 punti sul piano in cui sei sono allineati, quindi quante linee possono essere disegnate unendo questi punti.

Soluzione: Per 12 punti in un piano per creare una linea, abbiamo bisogno di 2 punti uguali per sei punti collineari, quindi questo è il problema 12 SCEGLI 2 e 6 SCEGLI 2.

Il numero di righe è = 12C2 - 6C2 +1={12!/2!(12-2)!}-{6!/2!(6-2)!}+1 =66-15+1=52

Quindi in 52 modi è possibile tracciare le linee.

Esempio: Trova il numero di modi in cui un gabinetto di 6 membri può essere allestito da 8 signori e 4 donne in modo che il gabinetto sia composto da almeno 3 donne.

Soluzione: Per formare il comitato, possiamo scegliere tra 3 uomini e donne e 2 uomini e 4 donne, quindi il problema include 8 SCEGLI 3, 4 SCEGLI 3, 8 SCEGLI 2 e 4 SCEGLI 4.

Possono essere formati due tipi di cabinet

        (i) Avere 3 uomini e 3 donne

        (ii) Avere 2 uomini e 4 donne

        Possibile no. di modi = (8C3 X 4C3) + (8C2 X4C4)= {8!/3!(8-3)!}X{4!/3!(4-3)!} +{8!/2!(8-2)!}X{4!/4!(4-4)!} = 56X4+ 28X1 =252      

Quindi in 252 modi possiamo formare tale gabinetto.

       Questi sono alcuni esempi in cui possiamo confrontare la situazione di nPr vs nCr nel caso della permutazione, il modo in cui le cose sono organizzate è importante. Tuttavia in Combination l'ordine non significa nulla.

Conclusione

Una breve descrizione di Permutazione e combinazione ripetuta e non ripetuta con la formula di base e risultati importanti sono forniti sotto forma di esempi reali, in questa serie di articoli discuteremo in dettaglio i vari risultati e le formule con esempi pertinenti, se vuoi continuare a leggere:

SCHEMA DI TEORIA E PROBLEMI DI MATEMATICA DISCRETA DI SCHAUM

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

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