Sezioni di punti o formule di rapporto: 41 soluzioni critiche

Esempi di base sulle formule “Sezioni punto o rapporto”

Caso-I

Problemi 21: Trova le coordinate del punto P(x, y) che divide internamente il segmento di linea che unisce i due punti (1,1) e (4,1) nel rapporto 1:2.

Soluzione: Lo sappiamo già,

Se un punto P(x, y) divide il segmento di linea AB internamente nel rapporto m:n,dove coordinate di A ed B sono (x₁,y₁) ed (x₂,y₂) rispettivamente. Allora le coordinate di P sono

(Vedi grafico formule)

Usando questa formula possiamo dire , (x₁,y₁) (1,1) cioè x₁= 1, y₁=1 ;

(x₂,y₂)≌(4,1) cioè x₂= 4, y₂=1

m:n ≌ 1:2 es m=1,n=2

Perciò,

x =

( mettendo i valori di m & n in

oro, x =1*4+2*1/3 ( mettendo i valori di x₁ & x₂ pure )

oro, x = 4 + 2 / 3

oro, x = 6*3

Or, x = 2

Allo stesso modo otteniamo,

y =

( mettendo i valori di m & n in y =

oro, e =(1*1+2*1)/3 ( mettendo i valori di y₁ & y₂ pure )

oro, e = 1*1+2/3

oro, y = 3/3

oro, y = 1

Perciò, x=2 e y=1 sono le coordinate del punto P ie (2,1). (risposta)

Di seguito vengono forniti ulteriori problemi con risposta per ulteriori esercitazioni utilizzando la procedura descritta nel precedente problema 21: -

22 problema: Trova le coordinate del punto che divide internamente il segmento di linea che unisce i due punti (0,5) e (0,0) nel rapporto 2:3.

Risposta (0,2)

23 problema: Trova il punto che divide internamente il segmento di linea che unisce i punti (1,1) e (4,1) nel rapporto 2:1.

Risposta (3,1)

24 problema: Trova il punto che giace sul segmento di linea che unisce i due punti (3,5,) e (3,-5,) dividendo nel rapporto 1:1

Risposta (3,0)

25 problema: Trova le coordinate del punto che divide internamente il segmento di linea che unisce i due punti (-4,1) e (4,1) nel rapporto 3:5

Ans. (-1,1)

26 problema: Trova il punto che divide internamente il segmento di linea che unisce i due punti (-10,2) e (10,2) nel rapporto 1.5 : 2.5.

Vedi anche Variabile casuale normale: 3 fatti importanti

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Caso II

Problemi 27: Trova le coordinate del punto Q(x,y) che divide esternamente il segmento di linea che unisce i due punti (2,1) e (6,1) nel rapporto 3:1.

Soluzione: Lo sappiamo già,

Se un punto Q(x,y) divide il segmento di linea AB esternamente nel rapporto m:n,where coordinate of A ed B sono (x₁,y₁) ed (x₂,y₂) rispettivamente, allora le coordinate del punto P sono

(Vedi grafico formule)

Usando questa formula possiamo dire , (x₁,y₁) (2,1) cioè x₁= 2, y₁=1 ;

(x₂,y₂)(6,1) cioè x₂= 6, y₂=1 e

m:n 3:1 cioè m=3,n=1

Sezioni puntiformi — Rappresentazione grafica

Perciò,

x =

( mettendo i valori di m & n in x =

oro, x =(3*6)-(1*2)/2 ( mettendo i valori di x₁ & x₂ pure )

oro, x = 18-2/2

oro, x = 16 / 2

oro, x = 8

Allo stesso modo otteniamo,

y =

( mettendo i valori di m & n in y =

oro, y =

( mettendo i valori di y₁ & y₂ pure )

oro, e = 3-1/2

oro, y = 2/2

oro, y = 1

Perciò, x=8 e y=1 sono le coordinate del punto Q ie (8,1). (risposta)

Di seguito vengono forniti ulteriori problemi con risposta per ulteriori esercitazioni utilizzando la procedura descritta nel precedente problema 27: -

28 problema: Trova il punto che divide esternamente il segmento di linea che unisce i due punti (2,2) e (4,2) nel rapporto 3 : 1.

Risposta (5,2)

29 problema: Trova il punto che divide esternamente il segmento di linea che unisce i due punti (0,2) e (0,5) nel rapporto 5:2.

Risposta (0,7)

30 problema: Trova il punto che giace sulla parte estesa del segmento di linea che unisce i due punti (-3,-2) e (3,-2) nel rapporto 2 : 1.

Risposta (9,-2)

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Caso-III

Problemi 31: Trova le coordinate del punto medio del segmento di linea che unisce i due punti (-1,2) e (1,2).

Soluzione: Lo sappiamo già,

Se un punto R(x,y) essere il punto medio del segmento di linea che unisce Ascia₁,y₁) ed B(x₂,y₂).Allora coordinate di R sono

(Vedi grafico formule)

Il caso III è la forma del caso I mentre m=1 e n=1

Vedi anche Permutazione e combinazione: 7 fatti rapidi completi

Usando questa formula possiamo dire , (x₁,y₁) (-1,2) cioè x₁=-1, y₁=2 e

(x₂,y₂)(1,2) cioè x₂= 1, y₂=2

Screenshot 11 — Rappresentazione grafica

Perciò,

x =

( mettendo i valori di x₁ & x₂ in x =

oro, x = 0/2

oro, x = 0

Allo stesso modo otteniamo,

y =2 + 2 / 2 ( mettendo i valori di y₁ & y₂ in y =

oro, y = 4/2

oro, y = 2

Perciò, x=0 e y=2 sono le coordinate del punto medio R ie (0,2). (risposta)

Di seguito vengono forniti ulteriori problemi con risposta per ulteriori esercitazioni utilizzando la procedura descritta nel precedente problema 31: -

32 problema: Trova le coordinate del punto medio della linea che unisce i due punti (-1,-3) e (1,-4).

Risposta (0,3.5)

33 problema: Trova le coordinate del punto medio che divide il segmento di linea che unisce i due punti (-5,-7) e (5,7).

Risposta (0,0)

34 problema: Trova le coordinate del punto medio che divide il segmento di linea che unisce i due punti (10,-5) e (-7,2).

Risposta (1.5, -1.5)

35 problema: Trova le coordinate del punto medio che divide il segmento di linea che unisce i due punti (3,√2) e (1,3√2).

Risposta (2,2√2)

36 problema: Trova le coordinate del punto medio che divide il segmento di linea che unisce i due punti (2+3i,5) e (2-3i,-5).

Risposta (2,0)

Nota: come verificare se un punto divide una linea (lunghezza=d unità) internamente o esternamente per il rapporto m:n

Se ( m×d)/(m+n) + ( n×d)/(m+n) = d , allora dividendo internamente ed

Se ( m×d)/(m+n) – ( n×d)/(m+n) = d , allora dividendo esternamente

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Esempi di base sulle formule "Area di un triangolo"

Caso-I

Problemi 37: Qual è l'area del triangolo con due vertici? UN(1,2) ed B (5,3) ed altezza rispetto a AB be 3 unità nel piano delle coordinate?

Soluzione: Lo sappiamo già,

If "H" essere l'altezza e "B" essere la base del triangolo, allora L'area del triangolo è = ½ × b × h

(Vedi grafico formule)

image?w=366&h=269&rev=57&ac=1&parent=1Ug0lE5AOAhO4i0HE5fVqVUKTEbR0on8yfNNyWgAF Po — Rappresentazione grafica

Usando questa formula possiamo dire ,

h = 3 unità e b =

$(x2-x1)2+(y2-y1)2 $

ie √

$(5-1)2+(3-2)2 $

oro, b =

$(4) 2 +(1) 2$

oro, b =

$(16+1$

oro, b = 17 unità

Vedi anche 13 fatti sulla disuguaglianza di Chebyshev e sul teorema del limite centrale

Pertanto, l'area richiesta del triangolo è = ½ × b × h ie

= ½ × (√ 17 ) × 3 unità

= 3⁄2 × (√ 17 ) unità (Ans.)

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Caso II

Problemi 38:Qual è l'area del triangolo con i vertici? A(1,2), B(5,3) e C(3,5) nel piano delle coordinate?

Soluzione: Lo sappiamo già,

If Ascia₁,y₁), B(x₂,y₂) ed C(x₃,y₃) essere i vertici di un triangolo,

L'area del triangolo è =|½

$x1 ( y2 - _ y3 ) + x2 ( y3 - y2 ) + x3 ( y2 - y1 )$

(Vedi grafico formule)

Usando questa formula abbiamo ,

(x₁,y₁) (1,2) cioè x₁= 1, y₁=2 ;

(x₂,y₂) (5,3) cioè x₂= 5, y₂= 3 e

(x₃,y₃) (3,5) cioè x₃= 3, y₃=5

image?w=364&h=194&rev=207&ac=1&parent=1Ug0lE5AOAhO4i0HE5fVqVUKTEbR0on8yfNNyWgAF Po — Rappresentazione grafica

Pertanto, l'area del triangolo è = |½

$x1 ( y2 - y3 ) + x2 ( y3 - y1 ) + x3 ( y1 -y2 )$

| ie

= |½

$1 (3-5) + 5 (5-3) + 3 (3-2)$

| unità quadrate

= |½

$1x (-2) + (5×2) + (3×1)$

| unità quadrate

= |½

$-2+10+3$

| unità quadrate

= |½ x 11| unità quadrate

= 11/2 unità quadrate

= 5.5 unità quadrate (Risp.)

Di seguito vengono forniti ulteriori problemi con risposta per ulteriori esercitazioni utilizzando la procedura descritta nei problemi di cui sopra: -

39 problema: Trova l'area del triangolo i cui vertici sono (1,1), (-1,2) e (3,2).

Risposta 2 unità quadrate

40 problema: Trova l'area del triangolo i cui vertici sono (3,0), (0,6) e (6,9).

Risposta 22.5 unità quadrate

41 problema: Trova l'area del triangolo i cui vertici sono (-1,-2), (0,4) e (1,-3).

Risposta 6.5 unità quadrate

42 problema: Trova l'area del triangolo i cui vertici sono (-5,0,), (0,5) e (0,-5). Risposta 25 unità quadrate

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NASRINA PARVINA

Ciao….sono Nasrina Parvin. Ho completato la mia laurea in matematica, avendo 10 anni di esperienza di lavoro presso il Ministero della comunicazione e della tecnologia dell'informazione dell'India. Nel tempo libero amo insegnare e risolvere problemi di matematica. Fin dalla mia infanzia, la matematica è stata l'unica materia che mi ha affascinato di più.

Esempi di base sulle formule “Sezioni punto o rapporto”

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