Sezioni puntuali o formule di rapporto: 41 soluzioni critiche


Esempi di base sulle formule “Sezioni punto o rapporto”

Caso-I

Problemi 21: Trova le coordinate del punto P(x, y) che divide internamente il segmento di linea che unisce i due punti (1,1) e (4,1) nel rapporto 1:2.

Soluzione:   Lo sappiamo già,

Se un punto P(x, y) divide il segmento di linea AB internamente nel rapporto m:n,dove coordinate di A e B cambiano ciclicamente (x1,y1) e (x2,y2) rispettivamente. Allora le coordinate di P sono 

[latex]\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{x}_{2}\textbf{+}\textbf{n}\textbf{x}_ {1}}{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}[/latex]

e

[latex]\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{y}_{2}\textbf{+}\textbf{n}\textbf{y}_ {1}}{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}[/latex]

(Vedi grafico formule)

Usando questa formula possiamo dire , (x1,y1) (1,1) cioè   x1= 1, y1=1 ;

(x2,y2)(4,1) cioè   x2= 4, y2=1   

e

m:n  1:2 cioè   m=1,n=2

Rappresentazione grafica

Perciò,       

x =[latex]\mathbf{\frac{\sinistra ( 1\x2\destra )+\sinistra ( 2\x1 \destra )}{1+2}}[/latex] ( mettendo i valori di m e n in [latex]\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{x}_{2}\textbf{+}\textbf{n }\textbf{x}_{1}}{\textbf{m}\textbf{+}\textbf{n}}[/latex] )

oro, x =[latex]\mathbf{\textbf{}\tfrac{1×4+2×1}{3}}[/latex] ( mettendo i valori di x1 &  x2 pure )

oro, x = [latex]\mathbf{\tfrac{4+2}{3}}[/latex]

oro, x = [latex]\mathbf{\textbf{}\tfrac{6}{3}}[/latex]

 Or, x = 2

Allo stesso modo otteniamo,  

y =[latex]\mathbf{\frac{\left ( 1\times y2 \right )+\left ( 2\times y1 \right )}{1+2}}[/latex] ( mettendo i valori di m & n in     y =[latex]\mathbf{\frac{my2+ny1}{m+n}}[/latex])

oro, y =[latex]\mathbf{\frac{\left ( 1\times 1 \right )+\left ( 2\times 1 \right )}{3}}[/latex] ( mettendo i valori di y1 &  y2 pure )

oro, y = [latex] \mathbf{\frac{\left ( 1\times 1+2 \right )}{3}}[/latex]

oro, y =  [latex]\mathbf{\frac{3}{3}}[/latex]

oro, y = 1

 Perciò, x=2 e y=1 sono le coordinate del punto P ie (2,1).   (risposta)

Di seguito vengono forniti ulteriori problemi con risposta per ulteriori esercitazioni utilizzando la procedura descritta nel precedente problema 21: -

22 problema: Trova le coordinate del punto che divide internamente il segmento di linea che unisce i due punti (0,5) e (0,0) nel rapporto 2:3.

                     Risposta (0,2)

23 problema: Trova il punto che divide internamente il segmento di linea che unisce i punti (1,1) e (4,1) nel rapporto 2:1.

Risposta (3,1)

24 problema: Trova il punto che giace sul segmento di linea che unisce i due punti (3,5,) e (3,-5,) dividendo nel rapporto 1:1

Risposta (3,0)

25 problema: Trova le coordinate del punto che divide internamente il segmento di linea che unisce i due punti (-4,1) e (4,1) nel rapporto 3:5

Ans. (-1,1)

26 problema: Trova il punto che divide internamente il segmento di linea che unisce i due punti (-10,2) e (10,2) nel rapporto 1.5 : 2.5.

_____________________________

Caso II

Problemi 27:   Trova le coordinate del punto Q(x,y) che divide esternamente il segmento di linea che unisce i due punti (2,1) e (6,1) nel rapporto 3:1.

Soluzione:  Lo sappiamo già,

Se un punto Q(x,y) divide il segmento di linea AB esternamente nel rapporto m:n,where coordinate of A e B cambiano ciclicamente (x1,y1) e (x2,y2) rispettivamente, allora le coordinate del punto P sono 

[latex]\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{x}_{2}\textbf{-}\textbf{n}\textbf{x}_ {1}}{\textbf{m}\textbf{-}\textbf{n}}[/latex]

e

[latex]\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{m}\textbf{y}_{2}\textbf{-}\textbf{n}\textbf{y}_ {1}}{\textbf{m}\textbf{-}\textbf{n}}[/latex]

(Vedi grafico formule)

Usando questa formula possiamo dire ,  (x1,y1) (2,1) cioè  x1= 2, y1=1 ;

                                                    (x2,y2)(6,1) cioè   x2= 6, y2=1 e   

                                                    m:n  3:1 cioè    m=3,n=1   

Sezioni puntiformi
Rappresentazione grafica

Perciò, 

x =[latex]\mathbf{\frac{\left ( 3\times x2 \right )-\left ( 1\times x1 \right )}{3-1}}[/latex] ( mettendo i valori di m & n in     x  =[latex]\mathbf{\frac{mx2-nx1}{mn}}[/latex])

oro, x =[latex]\mathbf{\frac{\left ( 3\times 6 \right )-\left ( 1\times 2 \right )}{2}}[/latex] ( mettendo i valori di x1 &  x2 pure )

oro, x[latex] \mathbf{\frac{18-2}{2}}[/latex]

oro, x  =  [latex]\mathbf{\frac{16}{2}}[/latex]

oro, x = 8

Allo stesso modo otteniamo,  

y =[latex]\mathbf{\frac{\left ( 3\times y2 \right )-\left ( 1\times y1 \right )}{3-1}}[/latex] ( mettendo i valori di m & n in     y =[latex]\mathbf{\frac{my2-ny1}{mn}}[/latex])

oro, y =[latex]\mathbf{\frac{\left ( 3\times 1 \right )-\left ( 1\times 1 \right )}{2}}[/latex] ( mettendo i valori di y1 &  y2 pure )

oro, y = [latex] \mathbf{\frac{3-1}{2}}[/latex]

oro, y =  [latex]\mathbf{\frac{2}{2}}[/latex]

oro, y = 1

 Perciò, x=8 e y=1 sono le coordinate del punto Q ie (8,1).   (risposta)

Di seguito vengono forniti ulteriori problemi con risposta per ulteriori esercitazioni utilizzando la procedura descritta nel precedente problema 27: -

28 problema: Trova il punto che divide esternamente il segmento di linea che unisce i due punti (2,2) e (4,2) nel rapporto 3 : 1.

Risposta (5,2)

29 problema: Trova il punto che divide esternamente il segmento di linea che unisce i due punti (0,2) e (0,5) nel rapporto 5:2.

Risposta (0,7)

30 problema: Trova il punto che giace sulla parte estesa del segmento di linea che unisce i due punti (-3,-2) e (3,-2) nel rapporto 2 : 1.

Risposta (9,-2)

________________________________

Caso-III

Problemi 31:  Trova le coordinate del punto medio del segmento di linea che unisce i due punti (-1,2) e (1,2).

Soluzione:    Lo sappiamo già,

Se un punto R(x,y) essere il punto medio del segmento di linea che unisce Ascia1,y1) e B(x2,y2).Allora coordinate di R cambiano ciclicamente

[latex]\textbf{}\textbf{x}\textbf{=}\frac{\textbf{x}_{1}\textbf{+}\textbf{x}_{2}}{\textbf{2} }[/lattice]

e

[latex]\textbf{}\textbf{y}\textbf{=}\frac{\textbf{y}_{1}\textbf{+}\textbf{y}_{2}}{\textbf{2} }[/lattice]

(Vedi grafico formule)

Il caso III è la forma del caso I mentre m=1 e n=1

Usando questa formula possiamo dire ,  (x1,y1) (-1,2) cioè  x1=-1, y1=2 e

                                                    (x2,y2)(1,2) cioè   x2= 1, y2=2

Rappresentazione grafica

Perciò,

x =[latex]\mathbf{\frac{\left ( -1 \right )+1}{2}}[/latex] ( mettendo i valori di x1 &  x2  in x =[latex]\mathbf{\frac{x1+x2}{2}}[/latex])

oro, x  =  [latex]\mathbf{\frac{0}{2}}[/latex]

oro, x = 0

Allo stesso modo otteniamo, 

y =[latex]\mathbf{\frac{2+2}{2}}[/latex] ( mettendo i valori di y1 &  y2  in y =[latex]\mathbf{\frac{x1+x2}{2}}[/latex])

oro, y [latex]\mathbf{\frac{4}{2}}[/latex]

oro, y = 2

Perciò, x=0 e y=2 sono le coordinate del punto medio R ie (0,2).   (risposta)

Di seguito vengono forniti ulteriori problemi con risposta per ulteriori esercitazioni utilizzando la procedura descritta nel precedente problema 31: -

32 problema: Trova le coordinate del punto medio della linea che unisce i due punti (-1,-3) e (1,-4).

Risposta (0,3.5)

33 problema: Trova le coordinate del punto medio che divide il segmento di linea che unisce i due punti (-5,-7) e (5,7).

Risposta (0,0)

34 problema: Trova le coordinate del punto medio che divide il segmento di linea che unisce i due punti (10,-5) e (-7,2).

Risposta (1.5, -1.5)

35 problema: Trova le coordinate del punto medio che divide il segmento di linea che unisce i due punti (3,√2) e (1,32).

Risposta (2,2√2)

36 problema: Trova le coordinate del punto medio che divide il segmento di linea che unisce i due punti (2+3i,5) e (2-3i,-5).

Risposta (2,0)

Nota: come verificare se un punto divide una linea (lunghezza=d unità) internamente o esternamente per il rapporto m:n

Se ( m×d)/(m+n) + ( n×d)/(m+n) = d , allora dividendo internamente e

Se ( m×d)/(m+n) – ( ​​n×d)/(m+n) = d , allora dividendo esternamente

____________________________________________________________________________

Esempi di base sulle formule "Area di un triangolo"

Caso-I 

Problemi 37: Qual è l'area del triangolo con due vertici? A(1,2) e B (5,3) e altezza rispetto a AB be 3 unità nel piano delle coordinate?

 Soluzione:    Lo sappiamo già,

If "H" essere l'altezza e "B" essere la base del triangolo, allora  L'area del triangolo è = ½ × b × h

(Vedi grafico formule)

Rappresentazione grafica

Usando questa formula possiamo dire , 

 h = 3 unità e b = [(x2-x1)2+ (y2-y1)2 ] cioè  [(5-1)2+(3-2)2 ]

                    oro, b = [(4)2+ (1)2 ]

                    oro, b = [(16+1 ]

                    oro,  b = 17 unità

Pertanto, l'area richiesta del triangolo è   = ½ × b × h ie

= ½ × (√ 17 ) × 3 unità

= 3⁄2 × (√ 17 ) unità (Ans.)

______________________________________________________________________________________

Caso II

Problemi 38:Qual è l'area del triangolo con i vertici? A(1,2), B(5,3) e C(3,5) nel piano delle coordinate?

 Soluzione:    Lo sappiamo già,

If  Ascia1,y1), B(x2,y2) e C(x3,y3) essere i vertici di un triangolo,

L'area del triangolo è  =|½[x1 (y2-  y3) + x2 (y3-  y2) + x3 (y2- y1)]|

(Vedi grafico formule)

Usando questa formula abbiamo , 

                                              (x1,y1) (1,2) cioè   x1= 1, y1=2 ;

                                              (x2,y2) (5,3) cioè   x2= 5, y2=3 e

                                              (x3,y3) (3,5) cioè    x3= 3, y3=5

Rappresentazione grafica

Pertanto, l'area del triangolo è = |½[x1 (y2-  y3) + x2 (y3-  y1) + x3 (y1-y2)]| ie 

= |½[1 (3-5) + 5 (5-3) + 3 (3-2)]|  unità quadrate 

= |½[ 1x (-2) + (5×2) + (3×1)]|    unità quadrate

= |½[-2 + 10 + 3]|    unità quadrate

= x 11|     unità quadrate

= 11/2     unità quadrate

= 5.5      unità quadrate         (Risp.)

Di seguito vengono forniti ulteriori problemi con risposta per ulteriori esercitazioni utilizzando la procedura descritta nei problemi di cui sopra: -

39 problema: Trova l'area del triangolo i cui vertici sono (1,1), (-1,2) e (3,2).

Risposta 2 unità quadrate

40 problema: Trova l'area del triangolo i cui vertici sono (3,0), (0,6) e (6,9).

Risposta 22.5 unità quadrate

41 problema: Trova l'area del triangolo i cui vertici sono (-1,-2), (0,4) e (1,-3).

Risposta 6.5 unità quadrate

42 problema: Trova l'area del triangolo i cui vertici sono (-5,0,), (0,5) e (0,-5).                                 Risposta 25 unità quadrate

 _______________________________________________________________________________________

Per ulteriori post sulla matematica, segui il nostro Pagina di matematica.

NASRINA PARVINA

Sono Nasrina Parvin, con 10 anni di esperienza lavorativa nel Ministero della comunicazione e della tecnologia dell'informazione dell'India. Ho conseguito la Laurea in Matematica. Nel tempo libero amo insegnare, risolvere problemi di matematica. Fin dalla mia infanzia la matematica è l'unica materia che mi ha affascinato di più.

Post Recenti