La probabilità condizionata: 7 fatti interessanti da sapere

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Probabilità condizionale

Condizionale teoria della probabilità uscire dal concetto di correre un rischio enorme. ci sono molti problemi al giorno d'oggi che derivano dal gioco d'azzardo, come lanciare monete, lanciare un dado e giocare a carte. 

La teoria della probabilità condizionale viene applicata in molti domini diversi e la flessibilità di Probabilità condizionale fornisce strumenti per quasi tante esigenze diverse. teoria della probabilità e campioni relativi allo studio della probabilità del verificarsi di eventi.

Considera che X e Y sono entrambi due eventi di un esperimento accidentale. Successivamente, la probabilità degli eventi di X nella circostanza che Y si sia già verificata con P (Y) ≠ 0, è nota come probabilità condizionata ed è denotata da P (X / Y).

Pertanto, P (X / Y) = La probabilità del verificarsi di X, se ammesso che Y sia già accaduto.

P(X ⋂ Y)/P( Y ) = n(X ⋂ Y)/n (Y )

Allo stesso modo, P (Y / X) = La probabilità del verificarsi di Y, poiché X è già accaduto.

P(X ⋂ Y)/P( X ) = n(X ⋂ Y)/n (Y )

In breve, per alcuni casi, P (X / Y) viene utilizzato per specificare la probabilità che si verifichi X quando si verifica Y. Allo stesso modo, P (Y / X) viene utilizzato per specificare la probabilità che Y accada mentre X si verifica.

Cos'è il teorema di moltiplicazione sulla probabilità?

Se X e Y sono entrambi eventi autosufficienti (indipendenti) di un esperimento arbitrario, allora

P(x ⋂ Y) = P(X). P( X/Y ), se P ( X ) ≠ 0

P(x ⋂ Y) = P( Y ). P( Y/X ), se P ( Y ) ≠ 0

Cosa sono i teoremi di moltiplicazione per eventi indipendenti? 

If X e Y sono entrambi eventi autoportanti (indipendenti) collegati a un esperimento arbitrario, quindi P (X ∩ Y) = P (X) .P (Y)

vale a dire, la probabilità di accadimento simultaneo di due eventi indipendenti è uguale alla moltiplicazione delle loro probabilità. Usando il teorema di moltiplicazione, abbiamo P (X ∩ Y) = P (Y) .P (Y / X)

 Poiché X e Y sono eventi indipendenti, quindi P (Y / X) = P (Y)

Implica, P (X ∩ Y) = P (X) .P (Y)

Mentre gli eventi si escludono a vicenda: 

Se X e Y sono eventi mutuamente esclusivi, allora ⇒ n(X ∩ Y)= 0 , P(X ∩ Y) = 0

P (XUY) = P (X) + P (Y)

Per tre eventi X, Y, Z che si escludono a vicenda, 

P (X ∩ Y) = P (Y ∩ Z) = P (Z ∩ X) = P (X ∩ Y ∩ Z) = 0

P (X ⋃ Y ⋃ Z) = P(X) + P(Y) + P(Z)

Mentre gli eventi sono indipendenti: 

Se X e Y sono eventi non vincolati (o indipendenti), allora

P(X ∩ Y) = P(X).P(Y)

P(XUY) = P(X) + P(Y) – P(X). P(Y)

Siano quindi X e Y due eventi connessi con un esperimento arbitrario (o casuale)

CodiceCogsEqn 1 2
CodiceCogsEqn 2 1

Se Y⊂ X, allora

CodiceCogsEqn 4

(b) P(Y) ≤ P(X)

Allo stesso modo se X⊂ Y, allora

CodiceCogsEqn 6

(b) P(X) ≤ P(Y)

La probabilità che non si verifichi né X né Y lo è 

CodiceCogsEqn 8

Esempio: Se da un mazzo di carte viene prelevata una singola carta. Qual è la possibilità che si tratti di una vanga o di un re?

soluzione:

P (A) = P (una carta di picche) = 13/52

P (B) = P (una carta re) = 4/52

P (carta di picche o re) = P (A o B)

= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)

= P (A) + P (B) -P (A) P (B)

=13/52+4/52-{(13/52)*(4/52)}

= 4 / 13

Esempio: Si sa che qualcuno colpisce il bersaglio con 3 possibilità su 4, mentre un'altra persona è nota per colpire il bersaglio con 2 possibilità su 3. Scopri se è probabile che quell'obiettivo venga raggiunto quando entrambe le persone ci provano.

soluzione:

 probabilità di centrare il bersaglio in prima persona = P (A) = 3/4

probabilità di bersaglio colpito dalla seconda persona = P (B) = 2/3

I due eventi non si escludono a vicenda, poiché entrambe le persone colpiscono lo stesso obiettivo = P (A o B)

= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)

= P (A) + P (B) -P (A) P (B)

=3/4+2/3-{(3/4)*(2/3)}

= 11 / 12

Esempio: If  A  ed B sono due eventi tali che P(A)=0.4 , P(A+B)=0.7 e P(AB)=0.2 allora P(B) ?

soluzione: Poiché abbiamo P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB)

=> 0.7 = 0.4 + P (B) -0.2

=> P (B) = 0.5

Esempio: Una carta viene scelta arbitrariamente da un mazzo di carte. Qual è la possibilità che la carta sia una carta di colore rosso o una regina.

Soluzione: La probabilità richiesta è

P (rosso + regina) -P (rosso ⋂ regina)

= P (rosso) + P (regina) -P (rosso ⋂ regina)

=26/52+4/52-2/52=28/52=7/13

Esempio: Se la probabilità che X fallisca nel test è 0.3 e che la probabilità di Y sia 0.2, allora trova la probabilità che X o Y fallisca nel test?

Soluzione: Qui P(X)=0.3, P(Y)=0.2

Ora P(X ∪ Y)= P(X) +P(Y) -P(X ⋂ Y)

Poiché questi sono eventi indipendenti, così

P (X ⋂ Y) = P (X). P (Y)

Quindi la probabilità richiesta è 0.3 + 0.2 -0.06 = 0.44

Esempio: Le possibilità di fallire in Fisica sono del 20% e le possibilità di fallire in Matematica sono del 10%. Quali sono le possibilità di fallire in almeno una materia?

Soluzione: Sia P(A) =20/100=1/5, P(B) =10/100=1/10

Poiché gli eventi sono indipendenti e dobbiamo trovare 

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) -P (A). P (B)

=(1/5)+(1/10)-(1/5). (1/10)= (3/10)-(1/50)=14/50

Quindi la possibilità di fallire in un soggetto è (14/50) X 100 = 28%

Esempio: Le probabilità di risolvere una domanda da parte di tre studenti sono rispettivamente 1/2,1, 4/1 e 6/XNUMX. Quale sarà la possibile possibilità di rispondere alla domanda?

Soluzione:

(i) Questa domanda può essere risolta anche da uno studente

(ii) Questa domanda può essere risolta da due studenti contemporaneamente.

(iii) Questa domanda può essere risolta da tre studenti tutti insieme.

P(A)=1/2, P(B)=1/4, P(C)=1/6

P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) - [P (A) .P (B) + P (B) .P (C) + P (C). P (A)] + [P (A) .P (B) .P (C)]

=(1/2)+(1/4)+(1/6)-[(1/2).(1/4)+(1/4).(1/6)+(1/6).(1/2)] +[(1/2).(1/4).(1/6)] =33/48

Esempio: Una variabile casuale X ha la distribuzione di probabilità

X12345678
P(X)0.150.230.120.100.200.080.070.05
Probabilità condizionata: esempio

Per gli eventi E ={X è un numero primo} e F={X<4}, trova la probabilità di P(E ∪ F) .

Soluzione:

E = {X è un numero primo}

P (E) = P (2) + P (3) + P (5) + P (7) = 0.62

F ={X < 4}, P(F) =P(1)+P(2)+P(3)=0.50

e P(E ⋂ F) = P(2)+ P(3) =0.35

P (E ∪ F) = P (E) + P (F) - P (E ⋂ F)

      = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77

Esempio: Si lanciano tre monete. Se una di esse appare con la coda, quale sarebbe la possibilità che tutte e tre le monete appaiano con la coda?

Soluzione: Prendere in considerazione E è l'evento in cui tutte e tre le monete appaiono coda e F è l'evento in cui appare una moneta coda. 

F = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

ed E = {TTT}

Probabilità richiesta = P (E / F) = P (E ⋂F) / P (E) = 1/7

Probabilità totale e regola di Baye

La legge della probabilità totale:

Per lo spazio campionario S e n eventi che si escludono a vicenda ed esaustivi E1 E2 … .En in relazione con un esperimento casuale. Se X è un evento specifico che si verifica con gli eventi E1 o E2 o o En, poi 

La regola di Baye: 

Prendere in considerazione S essere uno spazio campione ed E1, E2,… ..En be n eventi incongrui (o che si escludono a vicenda) tali che

gif

e P(Ei) > 0 per i = 1,2,…,n

Possiamo pensare EiÈ come i fattori che portano al risultato di un esperimento. Le probabilità P(Ei), i = 1, 2,… .., n sono chiamate probabilità precedenti (o precedenti). Se la valutazione risulta in un risultato dell'evento X, dove P(X)> 0. Quindi dobbiamo percepire la possibilità che l'evento X percepito fosse dovuto a causa Ei, cioè cerchiamo la probabilità condizionata P (Ei/X) . Queste probabilità sono conosciute come probabilità a posteriori, date dalla regola di Baye come

CodiceCogsEqn 11

Esempio: Ci sono 3 scatole che sono note per contenere 2 biglie blu e 3 verdi; 4 biglie blu e 1 verde e 3 biglie blu e 7 verdi rispettivamente. Una biglia viene estratta a caso da una delle caselle e trovata essere una pallina verde. Allora qual è la probabilità che sia stata estratta dalla scatola contenente il maggior numero di biglie verdi.

Soluzione: Considera i seguenti eventi:

A -> il marmo disegnato è verde;

E1 -> Viene scelta la casella 1;

E2 Viene scelta la casella 2

E3 Viene scelta la casella 3.

P (E1) = P (E2) = P (E3) = 1/3, p (A / E1) = 3/5

Poi

P (A / E2)=1/5, P(A/E3) = 7/10

Probabilità richiesta = P (E3/UN)

P (E3)P(A/E3)/P(E1)P(A/E1)+P(E2)P(A/E2)+P(E3)P(A/E3) = 7/15

Esempio: In un test d'ingresso ci sono domande a risposta multipla. Ci sono quattro probabili risposte corrette per ciascuna domanda e quale è quella giusta. La possibilità che un alunno percepisca la risposta giusta a una determinata domanda è del 90%. Se ottiene la risposta giusta a una particolare domanda, qual è la probabilità che stava prevedendo.

Soluzione: Definiamo i seguenti eventi:

A1 : Conosce la risposta.

A2 : Potrebbe non conoscere la risposta.

E: È consapevole della risposta giusta.

PAPÀ1) =9/10, P(A2) =1-9/10=1/10, P(E/A1) = 1,

PISELLO2) = 1/4

uLx44GwAKqC5FgaL3pOZbwf6PytzEThkEgj1wp1QOhW7NHbiboSvyGjKjfVSpcNTxeR nEuIiYOwQhKhUHvnIXZ7i58YjsAvAKyB7DJAQLePSkZLYRoLLbIIZd3JaC Ewhor dc Quindi la probabilità attesa

Probabilità condizionale
Probabilità condizionale

Esempio: Benna A contiene 4 biglie gialle e 3 biglie nere e un secchio B contiene 4 biglie nere e 3 gialle. Si prende un secchio a caso e si pesca una biglia e si nota che è gialla. Qual è la probabilità che arrivi Bucket B.

Soluzione: Si basa sul teorema di Baye. 

Probabilità di benna raccolta A , P(A)=1/2

Probabilità di benna raccolta B , P (B) = 1/2

Probabilità di marmo giallo raccolto dal secchio A  =P(A). P(G/A)=(1/2)x (4/7)=2/7 

Probabilità di marmo giallo raccolto dal secchio B = P(B).P(G/B)=(1/2)x(3/7)=3/14

Probabilità totale di biglie gialle= (2/7)+(3/14)=1/2

Probabilità di fatto che le biglie gialle siano estratte da Bucket B  

P(G/B)={P(B).P(G/B)}/{P(A).P(G/A)+P(B).P(G/B)}={(1/2)x(3/7)}/{[(1/2)x(4/7)]+[(1/2)+(3/7)]} =3/7

Conclusione:

 In questo articolo discutiamo principalmente sul Probabilità condizionale e teorema di Bayes con gli esempi di queste la conseguenza diretta e dipendente della prova di cui discutiamo finora negli articoli consecutivi mettiamo in relazione la probabilità con la variabile casuale e alcuni termini familiari relativi alla teoria della probabilità di cui discuteremo, se vuoi approfondire allora passa attraverso:

Schemi di probabilità e statistica di Schaum e W.pagina ikipedia.

Per ulteriori approfondimenti, fare riferimento al nostro pagina di matematica.